कक्षा 9 गणित अध्याय 6: घन और घनमूल – संपूर्ण महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

CBSE कक्षा 9 गणित बोर्ड परीक्षा रटंत सीखने की बजाय अवधारणात्मक स्पष्टता और प्रयोग पर जोर देती है। अध्याय 6 (घन और घनमूल) आमतौर पर अंतिम प्रश्नपत्र में 4–6 अंक का योगदान देता है, जो 1-अंक के बहुविकल्पीय प्रश्न, 2-अंक के संक्षिप्त उत्तर वाले प्रश्न और कभी-कभी 3-अंक के केस स्टडी या समस्या समाधान वाले प्रश्नों में फैला होता है। संशोधित पाठ्यक्रम तीन मुख्य योग्यताओं पर केंद्रित है: (1) पूर्ण घन की पहचान और निर्माण; (2) अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके घनमूल को कुशलतापूर्वक खोजना; (3) घनमूल के पैटर्न को पहचानना और उन्हें वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग करना। हाल के बोर्ड प्रश्नपत्र सीधी गणना से हटकर तर्क-आधारित प्रश्नों की ओर बढ़ गए हैं। उदाहरण के लिए, 'Find ³√1728' पूछने की बजाय, परीक्षार्थी अब 'अगर घन का आयतन 512 cm³ है, तो इसकी भुजा की लंबाई खोजें' या 'दिखाएं कि 2³ × 3³ एक पूर्ण घन है' पूछते हैं। यह गाइड पैटर्न-आधारित, अवधारणात्मक प्रश्नों को प्राथमिकता देती है जो आपको परीक्षार्थी की तरह सोचने के लिए प्रशिक्षित करते हैं। इन 18 प्रश्नों को व्यवस्थित रूप से अभ्यास करके, आप अप्रत्याशित प्रश्न भिन्नताओं को संभालने के लिए लचीलापन विकसित करेंगे—CBSE परीक्षाओं में उच्च अंक प्राप्त करने के लिए एक महत्वपूर्ण कौशल।

कक्षा 9 घन और घनमूल में बहुविकल्पीय प्रश्न परिभाषाओं, बुनियादी गुणों और मानसिक गणना की जल्दी याद रखने का परीक्षण करते हैं। यहाँ 5 प्रतिनिधि 1-अंक के प्रश्न दिए गए हैं: **Q1.** निम्नलिखित में से कौन पूर्ण घन है? (a) 125 (b) 130 (c) 135 (d) 140 **उत्तर: (a) 125** व्याख्या: 125 = 5³। जांचें: 5 × 5 × 5 = 125। बाकी पूर्ण घन नहीं हैं। **Q2.** 27 का घनमूल है: (a) 3 (b) 9 (c) 81 (d) 729 **उत्तर: (a) 3** व्याख्या: ³√27 = ³√(3³) = 3। **Q3.** अगर a³ = 216 है, तो a = (a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 **उत्तर: (a) 6** व्याख्या: 6 × 6 × 6 = 216, इसलिए a = 6। **Q4.** कौन पूर्ण घन नहीं है? (a) 64 (b) 125 (c) 216 (d) 100 **उत्तर: (d) 100** व्याख्या: 64 = 4³, 125 = 5³, 216 = 6³। लेकिन 100 ≠ किसी भी पूर्णांक³। **Q5.** ³√(8/27) = (a) 2/3 (b) 8/27 (c) 4/9 (d) 1 **उत्तर: (a) 2/3** व्याख्या: ³√(8/27) = ³√8 / ³√27 = 2/3।

संक्षिप्त उत्तर वाले प्रश्नों के लिए आपको कार्य दिखाना और घनमूल गणना और गुणों की समझ प्रदर्शित करनी होती है। **Q1.** अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके ³√512 खोजें। **समाधान:** 512 = 2 × 256 = 2 × 2 × 128 = 2 × 2 × 2 × 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 512 = 2⁹ ³√512 = ³√(2⁹) = ³√(2³ × 2³ × 2³) = 2 × 2 × 2 = 8 वैकल्पिक: 512 = 2⁹ = (2³)³, इसलिए ³√512 = 2³ = 8। **Q2.** क्या 1728 एक पूर्ण घन है? अगर हाँ, तो इसका घनमूल खोजें। **समाधान:** 1728 का अभाज्य गुणनखंडन: 1728 ÷ 2 = 864 864 ÷ 2 = 432 432 ÷ 2 = 216 216 ÷ 2 = 108 108 ÷ 2 = 54 54 ÷ 2 = 27 27 ÷ 3 = 9 9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1 तो 1728 = 2⁶ × 3³ = (2²)³ × 3³ = (4 × 3)³ = 12³ हाँ, 1728 एक पूर्ण घन है, और ³√1728 = 12। **Q3.** ³√(-343) खोजें। **समाधान:** 343 = 7³ (क्योंकि 7 × 7 × 7 = 343) नकारात्मक संख्याओं के लिए: ³√(-a³) = -³√(a³) = -a ³√(-343) = ³√((-7)³) = -7 **Q4.** ³√(64 × 125) को सरल करें। **समाधान:** ³√(64 × 125) = ³√64 × ³√125 = ³√(4³) × ³√(5³) = 4 × 5 = 20 वैकल्पिक: 64 × 125 = 8000 = 20³, इसलिए ³√8000 = 20। **Q5.** अगर a³ = 1000 है, तो a का मान खोजें और फिर 3a + 2 की गणना करें। **समाधान:** 1000 = 10³, इसलिए a = 10 3a + 2 = 3(10) + 2 = 30 + 2 = 32

ये प्रश्न गहन समझ का आकलन करते हैं, जिन्हें बहु-चरणीय तर्क और घन गुणों के प्रयोग की आवश्यकता होती है। **Q1.** दिखाएं कि 2³ × 3³ एक पूर्ण घन है। इसका घनमूल खोजें। **समाधान:** 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³ = 216 चूंकि 2³ × 3³ = (2 × 3)³, यह एक पूर्ण घन है। घनमूल है: ³√(2³ × 3³) = 2 × 3 = 6 सत्यापन: 6³ = 216, और 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216 ✓ **Q2.** एक घनाकार जल टंकी का आयतन 1,000,000 cm³ है। टंकी की एक भुजा की लंबाई खोजें। **समाधान:** एक घन के लिए, आयतन = भुजा³ 1,000,000 = भुजा³ भुजा = ³√1,000,000 अभाज्य गुणनखंडन: 1,000,000 = 10⁶ = (10²)³ = 100³ भुजा = ³√(100³) = 100 cm वैकल्पिक: 10⁶ = (10²)³, इसलिए ³√(10⁶) = 10² = 100 cm। **Q3.** ³√(64/729) खोजें और इसे सरलतम रूप में भिन्न के रूप में व्यक्त करें। **समाधान:** ³√(64/729) = ³√64 / ³√729 64 = 4³ और 729 = 9³ ³√64 = 4 और ³√729 = 9 इसलिए: ³√(64/729) = 4/9 सत्यापन: (4/9)³ = 64/729 ✓ **Q4.** निम्नलिखित में से कौन सी संख्या एक पूर्ण घन है? 216, 243, 260। अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके अपना कारण दिखाएं। **समाधान:** 216 = 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³ ✓ पूर्ण घन 243 = 3⁵ = 3³ × 3²। पूर्ण घन नहीं (3 का घातांक 3 से विभाज्य नहीं है) 260 = 4 × 65 = 4 × 5 × 13 = 2² × 5 × 13। पूर्ण घन नहीं (सभी घातांक 3 से विभाज्य नहीं हैं) उत्तर: केवल 216 एक पूर्ण घन है।

दीर्घ उत्तर वाले प्रश्न एकीकृत समझ का परीक्षण करते हैं, जो घन गुणों, अभाज्य गुणनखंडन और समस्या समाधान को जोड़ते हैं। **Q1.** एक व्यापारी के पास 24,389 घन मीटर का भंडारण स्थान है। वह इसे एक घनाकार कंटेनर में व्यवस्थित करना चाहता है। घनाकार कंटेनर का आयाम खोजें। साथ ही, अगर निर्माण की लागत ₹50 प्रति वर्ग मीटर है, तो घन के सभी छह फलकों को बनाने के लिए कुल लागत की गणना करें। **समाधान:** चरण 1: घनाकार कंटेनर की भुजा की लंबाई खोजें। आयतन = 24,389 m³ भुजा³ = 24,389 भुजा = ³√24,389 24,389 का अभाज्य गुणनखंडन: 24,389 ÷ 29 = 841 841 ÷ 29 = 29 29 ÷ 29 = 1 तो 24,389 = 29³ भुजा = ³√(29³) = 29 m चरण 2: पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल लागत की गणना करें। एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा² = 6 × 29² = 6 × 841 = 5,046 m² कुल लागत = 5,046 × ₹50 = ₹2,52,300 **Q2.** सिद्ध करें कि अगर m = a³ और n = b³ हैं, तो mn भी एक पूर्ण घन है। अपने प्रमाण को सत्यापित करने के लिए a = 2 और b = 3 लें। **समाधान:** प्रमाण: m = a³ और n = b³ mn = a³ × b³ = (a × b)³ चूंकि mn = (ab)³, यह एक पूर्ण घन है। a = 2, b = 3 के साथ सत्यापन: m = 2³ = 8 n = 3³ = 27 mn = 8 × 27 = 216 (ab)³ = (2 × 3)³ = 6³ = 216 इसलिए mn = 216, जो एक पूर्ण घन है (= 6³) ✓ **Q3.** 0.000027 का घनमूल खोजें और इसे दशमलव रूप में व्यक्त करें। **समाधान:** 0.000027 = 27 / 1,000,000 = 27 / 10⁶ ³√0.000027 = ³√(27/10⁶) = ³√27 / ³√(10⁶) = ³√(3³) / ³√(10⁶) = 3 / (10²) = 3 / 100 = 0.03 सत्यापन: (0.03)³ = 0.000027 ✓

उच्च-स्तरीय चिंतन कौशल प्रश्न घनों और घनमूलों को वास्तविक संदर्भों में शामिल करते हैं, जिनमें विश्लेषण और संश्लेषण की आवश्यकता होती है। **केस स्टडी:** एक खिलौना कंपनी 64 cm³, 216 cm³ और 512 cm³ आयतन वाले घनाभी पासे बनाती है। एक स्कूल ऐसे पासे का ऑर्डर देना चाहता है कि उनकी भुजाएं समांतर श्रेणी बनाएं। ज्ञात करें: (क) प्रत्येक पासे की भुजा; (ख) सार्व अंतर; (ग) तीनों पासों का कुल आयतन; (घ) यदि एक डिब्बा 30 पासे रख सकता है, तो 1,800 पासों के लिए कितने डिब्बों की आवश्यकता है? **समाधान:** **चरण 1: घनमूल का उपयोग करके प्रत्येक पासे की भुजा ज्ञात करें।** पासा 1: आयतन = 64 cm³ → भुजा = ³√64 = ³√(4³) = 4 cm पासा 2: आयतन = 216 cm³ → भुजा = ³√216 = ³√(6³) = 6 cm पासा 3: आयतन = 512 cm³ → भुजा = ³√512 = ³√(8³) = 8 cm **चरण 2: जांचें कि क्या भुजाएं समांतर श्रेणी बनाती हैं।** भुजाएं: 4, 6, 8 अंतर: 6 − 4 = 2 और 8 − 6 = 2 हां, वे सार्व अंतर d = 2 cm के साथ समांतर श्रेणी बनाती हैं। **चरण 3: कुल आयतन की गणना करें।** कुल आयतन = 64 + 216 + 512 = 792 cm³ **चरण 4: आवश्यक डिब्बों की संख्या निर्धारित करें।** ऑर्डर किए जाने वाले कुल पासे = 1,800 प्रति डिब्बा पासे = 30 डिब्बों की संख्या = 1,800 ÷ 30 = 60 डिब्बे **उत्तर:** (क) भुजाएं 4 cm, 6 cm और 8 cm हैं (ख) सार्व अंतर = 2 cm (ग) कुल आयतन = 792 cm³ (घ) 1,800 पासों के लिए 60 डिब्बों की आवश्यकता है

एक बार प्रश्न हल करना काफी नहीं है—अधिगम धारण पर शोध से पता चलता है कि विभिन्न प्रश्न प्रकारों के साथ समय-अंतराल पर दोहराव वैचारिक कौशल को मजबूत करता है। cbsetutor.ai पर, हमारे कृत्रिम-बुद्धिमत्ता ट्यूटर आपकी पिछली कोशिशों के प्रदर्शन का विश्लेषण करके घनों और घनमूलों पर व्यक्तिगत दैनिक ड्रिल जेनरेट करते हैं। यदि आप अभाज्य गुणनखंडन में संघर्ष करते हैं, तो सिस्टम अधिक घनमूल-गुणनखंडन प्रश्नों को प्राथमिकता देता है। यदि आप पूर्ण घन पहचान में उत्कृष्ट हैं, तो यह जटिल तर्क प्रश्नों (जैसे ऊपर दिया गया केस-स्टडी) तक बढ़ता है। प्रत्येक ड्रिल सत्र वास्तविक समय में अनुकूल होता है: यदि आप एक अंकगणितीय त्रुटि करते हैं, तो कृत्रिम-बुद्धिमत्ता समान प्रश्न प्रस्तुत करने से पहले अवधारणा को दृश्य रूप से दोहराती है। हमारा सिस्टम संबंधित विषयों को भी जोड़ता है—जब आप घनमूल का अभ्यास करते हैं, तो कृत्रिम-बुद्धिमत्ता पूर्णांक घातांक नियमों और संख्या गुणों को सुदृढ़ करती है, जिससे ज्ञान में कोई अंतराल न रहे। माता-पिता और शिक्षक सराहते हैं कि cbsetutor.ai प्रगति को पारदर्शी रूप से ट्रैक करता है, कमजोर क्षेत्रों को निदान रिपोर्ट के साथ चिह्नित करता है। अधिकांश छात्र सुसंगत उपयोग के 6–8 सप्ताह के भीतर गणित में 1–2 ग्रेड सुधार देखते हैं। cbsetutor.ai पर 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण शुरू करें और व्यक्तिगत शिक्षा का अनुभव करें—कोई क्रेडिट कार्ड की आवश्यकता नहीं है, कक्षा 9 गणित के सभी अध्यायों तक पूर्ण पहुंच।