कक्षा 9 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन: 18 महत्वपूर्ण प्रश्न पूर्ण समाधान सहित

CBSE कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम (2024–25 में युक्तिसंगत) गुणनखंडन को बीजगणितीय तर्क के केंद्र में रखती है। रटंत सीखने के विपरीत, गुणनखंडन को वैचारिक समझ की आवश्यकता होती है—छात्रों को प्रत्येक व्यंजक के लिए सबसे कुशल विधि पहचाननी चाहिए, चाहे वह साधारण गुणनखंडन, समूहीकरण हो या सर्वसमिका का प्रयोग। हाल के बोर्ड पेपरों में, 60–70% बीजगणित प्रश्नों में गुणनखंडन समीकरणों को हल करने या भिन्नों को सरल बनाने की सीढ़ी के रूप में शामिल होता है। परीक्षक केवल यांत्रिक कौशल नहीं बल्कि समस्या-समाधान की समझदारी का परीक्षण करते हैं: 4x² + 12xy + 9y² जैसे व्यंजक को देखकर, क्या आप तुरंत पूर्ण वर्ग सर्वसमिका (2x + 3y)² को पहचान सकते हैं? या, 6xy + 9x + 4y + 6 के साथ सामना करने पर, क्या आप इसे (3x + 2)(2y + 3) में पुनर्गठित कर सकते हैं? हमने जो प्रश्न तैयार किए हैं वे वास्तविक बोर्ड अपेक्षाओं को दर्शाते हैं: MCQs गति और सर्वसमिका की पहचान का परीक्षण करते हैं, 2-अंक के प्रश्न विधि चयन की जांच करते हैं, 3-अंक के प्रश्न कई चरणों को जोड़ते हैं, और 5-अंक के दीर्घ उत्तर पूर्ण कार्य और तार्किक प्रवाह की मांग करते हैं। HOTS परिदृश्यों के लिए आपको गुणनखंडन को वास्तविक संदर्भों में लागू करना होता है—बाड़ के क्षेत्र, उत्पाद के आयाम, या व्यावहारिक सेटिंग्स में बहुपद विभाजन। इन 18 प्रश्नों में महारत हासिल करना आपको किसी भी कक्षा 9 परीक्षा में गुणनखंडन घटक में 8/8 या 12/12 अंक प्राप्त करने के लिए तैयार करता है।

**Q1.** 7x – 7 का गुणनखंडन है: (a) 7(x – 1) (b) 7x(1) (c) x(7 – 7) (d) 7x – 1 **उत्तर: (a) 7(x – 1)** व्याख्या: 7 दोनों पदों में साधारण गुणनखंड है। इसे निकालिए: 7x – 7 = 7(x – 1)। **Q2.** निम्नलिखित में से कौन 6a²b + 9ab² का गुणनखंड है? (a) 3ab (b) 2a (c) 3b (d) 6ab **उत्तर: (a) 3ab** व्याख्या: 6a²b = 3ab × 2a और 9ab² = 3ab × 3b। इसलिए 3ab सबसे बड़ा साधारण गुणनखंड है। **Q3.** सर्वसमिका a² – b² = (a + b)(a – b) का उपयोग करके 25x² – 16 का गुणनखंडन कीजिए: (a) (5x – 4)² (b) (5x + 4)(5x – 4) (c) (25x – 16) (d) (5x)² – (4)² **उत्तर: (b) (5x + 4)(5x – 4)** व्याख्या: 25x² = (5x)² और 16 = 4²। वर्गों का अंतर लागू करिए: (5x)² – 4² = (5x + 4)(5x – 4)। **Q4.** 4x² + 4xy + y² का गुणनखंडन कीजिए: (a) (2x + y)(2x + y) (b) (4x + y)² (c) 4(x + y)² (d) (2x – y)² **उत्तर: (a) (2x + y)(2x + y) या (2x + y)²** व्याख्या: यह a² + 2ab + b² = (a + b)² से मेल खाता है। यहाँ a = 2x, b = y। तो (2x + y)²। **Q5.** जब हम 12a²b को 3ab से विभाजित करते हैं, तो भागफल है: (a) 4ab (b) 4a (c) 12a (d) 4 **उत्तर: (b) 4a** व्याख्या: 12a²b ÷ 3ab = (12 ÷ 3) × (a² ÷ a) × (b ÷ b) = 4a × 1 = 4a।

**Q1.** गुणनखंडन कीजिए: 3x + 6y + 9z **समाधान:** 3x, 6y और 9z का सबसे बड़ा साधारण गुणनखंड (GCF) 3 है। 3x + 6y + 9z = 3(x + 2y + 3z) **सत्यापन:** 3(x) + 3(2y) + 3(3z) = 3x + 6y + 9z ✓ **Q2.** पुनर्समूहन द्वारा गुणनखंडन कीजिए: ax + ay + bx + by **समाधान:** पदों को जोड़ियों में समूहित करिए: ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) प्रत्येक समूह से साधारण गुणनखंड निकालिए: = a(x + y) + b(x + y) (x + y) को साधारण गुणनखंड के रूप में निकालिए: = (x + y)(a + b) **Q3.** सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का उपयोग करके गुणनखंडन कीजिए: x² + 6x + 9 **समाधान:** पहचानिए कि x² = x², 9 = 3², और 6x = 2(x)(3)। यह a² + 2ab + b² पैटर्न से मेल खाता है। तो x² + 6x + 9 = (x + 3)² **सत्यापन:** (x + 3)² = x² + 6x + 9 ✓ **Q4.** 15m³n² को 5mn से विभाजित कीजिए और सरल कीजिए: **समाधान:** 15m³n² ÷ 5mn = (15 ÷ 5) × (m³ ÷ m) × (n² ÷ n) = 3 × m² × n = 3m²n **Q5.** गुणनखंडन कीजिए: 9x² – 25y² **समाधान:** इसे a² – b² के रूप में पहचानिए जहाँ a = 3x और b = 5y। सर्वसमिका a² – b² = (a + b)(a – b) का उपयोग करिए: 9x² – 25y² = (3x)² – (5y)² = (3x + 5y)(3x – 5y) **सत्यापन:** (3x + 5y)(3x – 5y) = 9x² – 15xy + 15xy – 25y² = 9x² – 25y² ✓

**Q1.** गुणनखंडन कीजिए: 6xy + 4y + 9x + 6 **समाधान:** चरण 1: पदों को जोड़ियों में समूहित करिए: 6xy + 4y + 9x + 6 = (6xy + 4y) + (9x + 6) चरण 2: प्रत्येक समूह से साधारण गुणनखंड निकालिए: = 2y(3x + 2) + 3(3x + 2) चरण 3: (3x + 2) को साधारण गुणनखंड के रूप में निकालिए: = (3x + 2)(2y + 3) **सत्यापन:** (3x + 2)(2y + 3) = 6xy + 9x + 4y + 6 ✓ **Q2.** पूर्ण रूप से गुणनखंडन कीजिए: 2x³ – 8x **समाधान:** चरण 1: सबसे बड़ा साधारण गुणनखंड (2x) निकालिए: 2x³ – 8x = 2x(x² – 4) चरण 2: x² – 4 को वर्गों के अंतर (a² – b²) के रूप में पहचानिए: = 2x[(x)² – (2)²] चरण 3: a² – b² = (a + b)(a – b) लागू करिए: = 2x(x + 2)(x – 2) **सत्यापन:** 2x(x + 2)(x – 2) = 2x(x² – 4) = 2x³ – 8x ✓ **Q3.** सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन कीजिए: 4a² – 12ab + 9b² **समाधान:** चरण 1: पैटर्न a² – 2ab + b² को पहचानिए: 4a² = (2a)², 9b² = (3b)², और 12ab = 2(2a)(3b) चरण 2: a² – 2ab + b² = (a – b)² लागू करिए: 4a² – 12ab + 9b² = (2a)² – 2(2a)(3b) + (3b)² = (2a – 3b)² **सत्यापन:** (2a – 3b)² = 4a² – 12ab + 9b² ✓ **Q4.** बहुपद (6x² + 9x) को 3x से विभाजित कीजिए और गुणनखंडन के रूप में व्यक्त कीजिए: **समाधान:** चरण 1: अंश से साधारण पद 3x निकालिए: 6x² + 9x = 3x(2x + 3) चरण 2: 3x से विभाजित करिए: (6x² + 9x) ÷ 3x = [3x(2x + 3)] ÷ 3x = 2x + 3 चरण 3: गुणनखंडन लिखिए: 6x² + 9x = 3x(2x + 3) **उत्तर:** भागफल 2x + 3 है, और व्यंजक 3x(2x + 3) के रूप में गुणनखंडित है।

**Q1.** पूर्ण रूप से गुणनखंडन कीजिए: 12x³y – 27xy³ **संपूर्ण समाधान:** चरण 1: सबसे बड़ा साधारण गुणनखंड (GCF) पहचानिए। सभी पदों में 3, x और y हैं। 12x³y = 3xy × 4x² 27xy³ = 3xy × 9y² GCF = 3xy चरण 2: साधारण गुणनखंड निकालिए: 12x³y – 27xy³ = 3xy(4x² – 9y²) चरण 3: 4x² – 9y² को वर्गों के अंतर के रूप में पहचानिए: 4x² = (2x)² और 9y² = (3y)² चरण 4: a² – b² = (a + b)(a – b) लागू करिए: 4x² – 9y² = (2x + 3y)(2x – 3y) चरण 5: संपूर्ण गुणनखंडन लिखिए: 12x³y – 27xy³ = 3xy(2x + 3y)(2x – 3y) **सत्यापन:** 3xy(2x + 3y)(2x – 3y) = 3xy[(2x)² – (3y)²] = 3xy(4x² – 9y²) = 12x³y – 27xy³ ✓ **Q2.** पुनर्समूहन द्वारा गुणनखंडन कीजिए: x³ + 2x² + 3x + 6 **संपूर्ण समाधान:** चरण 1: पहले दो और अंतिम दो पदों को समूहित करिए: x³ + 2x² + 3x + 6 = (x³ + 2x²) + (3x + 6) चरण 2: प्रत्येक समूह से साधारण गुणनखंड निकालिए: (x³ + 2x²) से: x² निकालिए → x²(x + 2) (3x + 6) से: 3 निकालिए → 3(x + 2) चरण 3: पुनः लिखिए: = x²(x + 2) + 3(x + 2) चरण 4: (x + 2) को साधारण गुणनखंड के रूप में निकालिए: = (x + 2)(x² + 3) चरण 5: जाँचिए कि क्या x² + 3 को आगे गुणनखंडित किया जा सकता है। चूंकि x² + 3 के कोई वास्तविक गुणनखंड नहीं हैं, अंतिम गुणनखंडन है: x³ + 2x² + 3x + 6 = (x + 2)(x² + 3) **सत्यापन:** (x + 2)(x² + 3) = x³ + 3x + 2x² + 6 = x³ + 2x² + 3x + 6 ✓ **Q3.** सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन और विभाजन कीजिए: (16a⁴ – 81b⁴) ÷ (4a² – 9b²) **संपूर्ण समाधान:** चरण 1: अंश 16a⁴ – 81b⁴ का गुणनखंडन करिए। इसे वर्गों के अंतर के रूप में पहचानिए जहाँ a = 4a² और b = 9b²: 16a⁴ = (4a²)² और 81b⁴ = (9b²)² 16a⁴ – 81b⁴ = (4a²)² – (9b²)² = (4a² + 9b²)(4a² – 9b²) चरण 2: गुणनफल में 4a² – 9b² को आगे गुणनखंडित करिए: 4a² – 9b² = (2a)² – (3b)² = (2a + 3b)(2a – 3b) चरण 3: अंश को पुनः लिखिए: 16a⁴ – 81b⁴ = (4a² + 9b²)(2a + 3b)(2a – 3b) चरण 4: (4a² – 9b²) से विभाजित करिए: (16a⁴ – 81b⁴) ÷ (4a² – 9b²) = [(4a² + 9b²)(4a² – 9b²)] ÷ (4a² – 9b²) = 4a² + 9b² **उत्तर:** भागफल 4a² + 9b² है।

**केस स्टडी:** एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल (20x² + 50x) वर्ग मीटर है। लंबाई (4x + 10) मीटर है। एक परिदृश्य डिजाइनर क्षेत्रफल व्यंजक को गुणनखंडित करना चाहता है ताकि चौड़ाई ज्ञात की जा सके और फिर भाग देकर सत्यापन किया जा सके। **भाग (a):** क्षेत्रफल व्यंजक 20x² + 50x को गुणनखंडित करें। **भाग (a) का समाधान:** चरण 1: महत्तम समापवर्तक की पहचान करें। 20x² = 10x × 2x 50x = 10x × 5 GCF = 10x चरण 2: सामान्य गुणनखंड निकालें: 20x² + 50x = 10x(2x + 5) **उत्तर:** गुणनखंडित रूप 10x(2x + 5) वर्ग मीटर है। **भाग (b):** क्षेत्रफल को लंबाई से भाग देकर बगीचे की चौड़ाई ज्ञात करें। **भाग (b) का समाधान:** चरण 1: चौड़ाई का सूत्र लिखें: चौड़ाई = क्षेत्रफल ÷ लंबाई = (20x² + 50x) ÷ (4x + 10) चरण 2: अंश और हर दोनों को गुणनखंडित करें: अंश: 20x² + 50x = 10x(2x + 5) [भाग (a) से] हर: 4x + 10 = 2(2x + 5) चरण 3: प्रतिस्थापित करें: चौड़ाई = [10x(2x + 5)] ÷ [2(2x + 5)] चरण 4: सामान्य गुणनखंड (2x + 5) को रद्द करें: चौड़ाई = (10x) ÷ 2 = 5x मीटर **भाग (c):** लंबाई × चौड़ाई को गुणा करके अपने उत्तर का सत्यापन करें। **भाग (c) का समाधान:** लंबाई × चौड़ाई = (4x + 10) × 5x = 4x(5x) + 10(5x) = 20x² + 50x ✓ यह मूल क्षेत्रफल व्यंजक से मेल खाता है, जो हमारे उत्तर की पुष्टि करता है। **यह क्यों महत्वपूर्ण है:** वास्तविक ज्यामिति समस्याओं के लिए गुणनखंडन और भाग दोनों कौशल की आवश्यकता होती है। सामान्य गुणनखंडों को पहचानकर और सरल करके, हमने परीक्षण-त्रुटि के बिना एक अज्ञात आयाम के लिए हल किया—यह तकनीक उन्नत बीजगणित और भौतिकी के लिए आवश्यक है।

CBSETUTOR.ai में, हमने CBSE कक्षा 9 के लिए एक व्यक्तिगत शिक्षण इंजन तैयार किया है जो केवल अवधारणाओं को सिखाता नहीं है—यह सटीक प्रश्न पैटर्न को ड्रिल करता है जो आपकी परीक्षा में आएंगे। यहाँ हम अध्याय 12 गुणनखंडन के साथ कैसे काम करते हैं: **अनुकूली कौशल अनुक्रमण:** हमारा AI निदान करता है कि आप सामान्य गुणनखंड निष्कर्षण, पुनर्समूहन तर्क, पहचान मान्यता, या बहुपद विभाजन में सबसे अधिक संघर्ष करते हैं। फिर यह एक कस्टम दैनिक ड्रिल तैयार करता है: पैटर्न गति के लिए 2–3 बहुविकल्पीय प्रश्न, विधि चयन के लिए 1–2 लघु-उत्तर प्रश्न, और गहन कार्य के लिए 1 दीर्घ-उत्तर प्रश्न। आप जिन अवधारणाओं में माहिर हैं उन पर समय बर्बाद नहीं करते। **वास्तविक परीक्षा प्रश्न बैंक:** हमने 150 से अधिक वास्तविक CBSE बोर्ड पत्रों (2015–2024) को अनुक्रमित किया है और प्रत्येक गुणनखंडन प्रश्न भिन्नता को संकलित किया है। आप सामान्य समस्याओं को ड्रिल नहीं करते—आप सटीक प्रारूप, शब्दावली और कठिनाई स्तर को ड्रिल करते हैं जो आपका परीक्षक अपेक्षा करता है। **तत्काल त्रुटि निदान:** जब आप कोई प्रश्न का प्रयास करते हैं, तो हमारा AI इसे केवल सही या गलत नहीं मानता। यह विशिष्ट गलती की पहचान करता है: क्या आपने एक सामान्य गुणनखंड मिस किया? क्या आपने गलत पहचान लागू की? क्या आप पुनर्समूहन के बाद दोनों समाधानों की जांच करना भूल गए? प्रत्येक त्रुटि एक माइक्रो-पाठ वीडियो (90 सेकंड) और एक अनुवर्ती ड्रिल को ट्रिगर करती है। **आत्मविश्वास स्कोरिंग:** आप सभी चार विधियों में अपनी महारत को ट्रैक करते हैं। जब आपका आत्मविश्वास स्कोर किसी कौशल में 85%+ तक पहुंचता है, तो AI आपको आगे बढ़ाता है; यदि आप पिछड़ जाते हैं, तो यह अगले दिन उस कौशल को दोबारा देखता है। यह वितरित पुनरावृत्ति वैज्ञानिक रूप से आपकी परीक्षा से पहले शिक्षा को दीर्घकालिक स्मृति में बंद कर देती है। **मॉक पूर्ण-पत्र अनुभव:** हर सप्ताहांत, एक समयबद्ध 40-मिनट गुणनखंडन मिश्रित-प्रश्न पत्र लें (आपकी अर्ध-वार्षिक या बोर्ड परीक्षा संरचना के समान)। तुरंत अपना स्कोर देखें, कमजोर अध्यायों की पहचान करें, और अपने साप्ताहिक ड्रिल पर ध्यान केंद्रित करें। cbsetutor.ai पर एक निःशुल्क 3-दिन का परीक्षण शुरू करें—कोई क्रेडिट कार्ड आवश्यक नहीं—और देखें कि कैसे हमारा AI अध्याय 12 को एक कमजोर बिंदु से आपकी परीक्षा शक्ति में बदल देता है।