कक्षा 9 गणित अध्याय 9 सममिति महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर

कक्षा 9 में सममिति सिर्फ सुंदर पैटर्न के बारे में नहीं है—यह तार्किक सोच और स्थानिक कल्पना को विकसित करती है, दो ऐसे कौशल जिन्हें CBSE बोर्ड स्पष्ट रूप से महत्व देता है। तर्कसंगत पाठ्यक्रम ने इस अध्याय से भारी निर्देशांक ज्यामिति हटाई है, लेकिन तीन उच्च-मूल्य वाले सीखने के परिणाम बनाए रखे हैं: (1) 2D आकृतियों में सममिति की पंक्तियों की पहचान और रेखाचित्र बनाना; (2) प्रतिबिंब को एक दर्पण परिवर्तन के रूप में समझना; (3) घूर्णी सममिति की समझ (क्रम और घूर्णन का कोण)। बोर्ड परीक्षाएं एक अनुमानित वितरण का पालन करती हैं: सममित आकृतियों की पहचान पर 1–2 एक अंक वाले MCQ, सममिति की पंक्तियों को खींचने या कुल्हाड़ियों की गणना करने पर 2–3 दो अंक वाले सवाल, और घूर्णी क्रम की आरेखण और लिखित व्याख्या की आवश्यकता वाले 1–2 पाँच अंक वाले सवाल। इन 18 सवालों का अभ्यास बोर्ड प्रारूप में—सख्त समय सीमा और कैलकुलेटर के बिना—पूर्ण अंक प्राप्त करने के लिए आवश्यक प्रवाह बनाता है। नीचे दिए गए प्रत्येक सवाल का प्रकार पिछले 3 वर्षों के वास्तविक बोर्ड सवाल पैटर्न को दर्शाता है।

एक अंक वाले बहुविकल्पीय सवाल एक नज़र में सममिति गुणों की पहचान करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करते हैं। ये गति परीक्षण हैं—वास्तविक परीक्षा में आपके पास प्रति सवाल लगभग 30 सेकंड हैं। **सवाल 1:** अंग्रेजी वर्णमाला के निम्नलिखित में से किस अक्षर में रेखा सममिति और क्रम 2 की घूर्णी सममिति दोनों हैं? (A) A (B) B (C) H (D) L **उत्तर:** (C) H। अक्षर H की एक ऊर्ध्वाधर सममिति पंक्ति है (बीच से) और क्रम 2 की घूर्णी सममिति है (180° घुमाने पर समान दिखता है)। **सवाल 2:** एक वृत्त के कितने सममिति की पंक्तियाँ हैं? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) अनंत **उत्तर:** (D) अनंत। वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली कोई भी पंक्ति सममिति की पंक्ति के रूप में कार्य करती है। **सवाल 3:** एक वर्ग की घूर्णी सममिति का क्रम है: (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 **उत्तर:** (C) 4। एक वर्ग अपने केंद्र के 90°, 180°, 270° और 360° घुमाव पर समान दिखता है। **सवाल 4:** किस आकृति के पास कोई सममिति पंक्ति नहीं है लेकिन घूर्णी सममिति है? (A) समबाहु त्रिभुज (B) समांतर चतुर्भुज (आयत नहीं) (C) समद्विबाहु त्रिभुज (D) समचतुर्भुज **उत्तर:** (B) समांतर चतुर्भुज। एक गैर-आयताकार समांतर चतुर्भुज में 180° घूर्णी सममिति है लेकिन कोई सममिति पंक्ति नहीं है। **सवाल 5:** एक नियमित षट्भुज के कितने सममिति की पंक्तियाँ हैं? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 **उत्तर:** (D) 6। एक नियमित षट्भुज में विपरीत शीर्षों से 3 पंक्तियाँ और विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं से 3 पंक्तियाँ होती हैं, कुल 6 सममिति पंक्तियाँ।

दो-अंक वाले सवालों के लिए संक्षिप्त लिखित व्याख्या या सरल निर्माण की आवश्यकता होती है। वे परिभाषाओं की समझ और नई आकृतियों पर उन्हें लागू करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं। **सवाल 1:** एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए सममिति की पंक्ति(यों) को खींचिए। इसके कितने सममिति की पंक्तियाँ हैं? **उत्तर:** एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल 1 सममिति पंक्ति है। यह पंक्ति शीर्ष (शीर्ष कोण) से गुजरती है और आधार को समकोण पर विभाजित करती है। यदि हम त्रिभुज ABC को AB = AC के साथ लेबल करते हैं, तो सममिति की पंक्ति A से BC के मध्यबिंदु तक की ऊँचाई है। यह एकमात्र पंक्ति है जो त्रिभुज को दो सर्वांगसम दर्पण हालवों में विभाजित करती है। **सवाल 2:** बताएं कि समचतुर्भुज के पास रेखा सममिति, घूर्णी सममिति, या दोनों हैं। अपने उत्तर को सही ठहराएं। **उत्तर:** समचतुर्भुज के पास दोनों हैं। इसके 2 सममिति पंक्तियाँ हैं (दोनों विकर्ण), और इसके पास क्रम 2 की घूर्णी सममिति है (180° घुमाव इसे स्वयं पर मैप करता है)। जब आप किसी विकर्ण पर समचतुर्भुज को प्रतिबिंबित करते हैं, तो आपको वही आकार मिलता है। जब आप इसे अपने केंद्र के 180° घुमाते हैं, तो यह भी समान दिखता है। **सवाल 3:** एक आयत के 2 सममिति पंक्तियाँ हैं। समझाएं कि इसमें वर्ग की तरह 4 सममिति पंक्तियाँ क्यों नहीं हैं। **उत्तर:** आयत की सभी भुजाएँ लंबाई में समान नहीं होती हैं। इसके 2 सममिति पंक्तियाँ हैं: एक क्षैतिज (ऊपरी और निचली भुजाओं के मध्यबिंदुओं से) और एक ऊर्ध्वाधर (बाईं और दाईं भुजाओं के मध्यबिंदुओं से)। आयत के विकर्ण सममिति की पंक्तियाँ नहीं हैं क्योंकि विकर्ण पर प्रतिबिंब आयत को स्वयं पर मैप नहीं करता है—अनुपात बदलते हैं। एक वर्ग एक विशेष आयत है जहाँ सभी भुजाएँ समान होती हैं, इसलिए इसके विकर्ण सममिति की पंक्तियाँ बन जाती हैं, कुल 4 देती हैं। **सवाल 4:** घूर्णी सममिति को परिभाषित करें और क्रम 2 से अधिक घूर्णी सममिति वाली दो आकृतियों के उदाहरण दें। **उत्तर:** घूर्णी सममिति का मतलब है कि एक आकृति एक निर्धारित बिंदु (केंद्र) के 360° से कम कोण से घूमने पर समान दिखती है। उदाहरण 1: एक समबाहु त्रिभुज में क्रम 3 की घूर्णी सममिति है (120°, 240°, 360° घुमाव)। उदाहरण 2: एक नियमित पंचभुज में क्रम 5 की घूर्णी सममिति है (72°, 144°, 216°, 288°, 360° घुमाव)। दोनों ही मामलों में, आकृति 360° के एक अंश से घूमने के बाद स्वयं पर मैप होती है। **सवाल 5:** एक आकृति में क्रम 4 की घूर्णी सममिति है। घूर्णन का कोण क्या है? **उत्तर:** यदि किसी आकृति में क्रम n की घूर्णी सममिति है, तो घूर्णन का कोण 360°/n है। क्रम 4 के लिए, कोण 360°/4 = 90° है। इसका मतलब है कि आकृति अपने केंद्र के 90°, 180°, 270° और 360° घुमाव पर समान दिखती है। एक वर्ग और एक नियमित हीरा (पतंग) उदाहरण हैं।

तीन-अंक वाले सवालों के लिए अधिक विस्तृत तर्क की आवश्यकता होती है और अक्सर दो अवधारणाओं को जोड़ते हैं (जैसे, सममिति पंक्तियों की गणना करना और घूर्णी क्रम की पहचान करना)। **सवाल 1:** एक नियमित बहुभुज में 8 सममिति पंक्तियाँ हैं। (a) इसकी कितनी भुजाएँ हैं? (b) इसका घूर्णी सममिति क्रम क्या है? (c) घूर्णन के कोण की गणना करें। **उत्तर:** (a) n भुजाओं वाले नियमित बहुभुज में n सममिति पंक्तियाँ होती हैं। यदि इसके पास 8 सममिति पंक्तियाँ हैं, तो यह एक नियमित अष्टभुज है (n = 8)। (b) एक नियमित n-भुजी बहुभुज में क्रम n की घूर्णी सममिति होती है। तो एक नियमित अष्टभुज में क्रम 8 की घूर्णी सममिति है। (c) घूर्णन का कोण = 360°/8 = 45°। अष्टभुज 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315° और 360° घुमाव पर समान दिखता है। **सवाल 2:** एक आकृति खींचिए जिसमें (i) ठीक 2 सममिति पंक्तियाँ और क्रम 2 की घूर्णी सममिति है, और (ii) ठीक 3 सममिति पंक्तियाँ और क्रम 3 की घूर्णी सममिति है। प्रत्येक आकृति का नाम दें। **उत्तर:** (i) आयत (या गैर-वर्ग आयत)। इसमें 2 लंबवत सममिति पंक्तियाँ हैं (केंद्र के माध्यम से क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर) और क्रम 2 की घूर्णी सममिति है (180° घुमाव)। (ii) समबाहु त्रिभुज। इसमें 3 सममिति पंक्तियाँ हैं (प्रत्येक शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्यबिंदु तक, जिसे ऊँचाई/माध्यिका भी कहते हैं) और क्रम 3 की घूर्णी सममिति है (120° घुमाव)। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर सममिति अक्षों के साथ एक आयत खींचिए; तीनों सममिति पंक्तियों को शीर्षों से विपरीत भुजाओं तक एक समबाहु त्रिभुज खींचिए। **सवाल 3:** अक्षर 'Z' और अक्षर 'N' दोनों के पास कोई रेखा सममिति नहीं है। क्या इनमें से किसी के पास घूर्णी सममिति है? समझाएं। **उत्तर:** अक्षर 'Z' में क्रम 2 की घूर्णी सममिति है। जब अपने केंद्र के 180° घुमाया जाता है, तो यह बिल्कुल समान दिखता है। अक्षर 'N' में घूर्णी सममिति नहीं है। यदि आप इसे 180° घुमाते हैं, तो यह एक उल्टा या पिछला 'N' जैसा दिखेगा, जो मूल अभिविन्यास के समान नहीं है। (नोट: यह फ़ॉन्ट पर निर्भर करता है; मानक ब्लॉक फ़ॉन्ट में, Z में 180° घूर्णी सममिति है लेकिन N में नहीं।) **सवाल 4:** एक पतंग (चतुर्भुज जिसमें आसन्न समान भुजाओं के दो युग्म हों) में ठीक 1 सममिति पंक्ति है। समझाएं कि इसमें 2 सममिति पंक्तियाँ क्यों नहीं हैं, और पहचानें कि क्या इसमें घूर्णी सममिति है। **उत्तर:** एक पतंग में 1 सममिति पंक्ति है: विकर्ण जो उन शीर्षों को जोड़ता है जहाँ असमान भुजाएँ मिलती हैं (सममिति की धुरी)। इसमें दूसरी सममिति पंक्ति नहीं है क्योंकि दूसरा विकर्ण पतंग को सममित रूप से विभाजित नहीं करता है—समान भुजाओं के दो युग्मों की लंबाई भिन्न होती है, इसलिए दूसरे विकर्ण पर प्रतिबिंब पतंग को स्वयं पर मैप नहीं करता है। एक पतंग में कोई घूर्णी सममिति नहीं है (360° के तुच्छ घुमाव को छोड़कर) क्योंकि 360° से कम कोण से घूमने से समान-दिखने वाली आकृति नहीं बनती है। भुजाओं की असममित व्यवस्था घूर्णी संपाती को रोकती है।

पाँच-अंक वाले सवालों को पूर्ण कार्य, आरेख और विस्तृत व्याख्या की आवश्यकता होती है। ये आमतौर पर भाग B में या अनुभाग A के अंत में (लंबे-उत्तर प्रारूप) दिखाई देते हैं। **सवाल 1:** एक नियमित पंचभुज की सममिति (रेखा और घूर्णी दोनों) का वर्णन करें। सभी सममिति पंक्तियों को दिखाने वाला एक साफ़ आरेख खींचिए और अपने निष्कर्षों की व्याख्या करें। **पूर्ण समाधान:** एक नियमित पंचभुज एक 5-भुजी बहुभुज है जिसकी सभी भुजाएँ और कोण समान हैं। **रेखा सममिति:** एक नियमित पंचभुज में ठीक 5 सममिति पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति एक शीर्ष से गुजरती है और विपरीत भुजा को समकोण पर विभाजित करती है। यदि हम शीर्षों को क्रम में A, B, C, D, E लेबल करते हैं, तो 5 सममिति पंक्तियाँ हैं: 1. शीर्ष A से भुजा CD के मध्यबिंदु तक 2. शीर्ष B से भुजा DE के मध्यबिंदु तक 3. शीर्ष C से भुजा EA के मध्यबिंदु तक 4. शीर्ष D से भुजा AB के मध्यबिंदु तक 5. शीर्ष E से भुजा BC के मध्यबिंदु तक इनमें से प्रत्येक पंक्ति पंचभुज को दो सर्वांगसम हालवों में विभाजित करती है जो दर्पण प्रतिबिंब हैं। **घूर्णी सममिति:** एक नियमित पंचभुज में क्रम 5 की घूर्णी सममिति है। घूर्णन का कोण 360°/5 = 72° है। पंचभुज अपने केंद्र के 72°, 144°, 216°, 288° और 360° घुमाव पर समान दिखता है। **आरेख:** [एक नियमित पंचभुज खींचिए जिसके सभी 5 शीर्षों को A, B, C, D, E लेबल किया गया हो। 5 सममिति पंक्तियाँ खींचिए: प्रत्येक एक शीर्ष से केंद्र के माध्यम से विपरीत भुजा के मध्यबिंदु तक। केंद्र को O लेबल करें। 72° घूर्णन कोणों को चिह्नित करें।] **निष्कर्ष:** n भुजाओं वाले नियमित बहुभुज में n सममिति पंक्तियाँ होती हैं और क्रम n की घूर्णी सममिति होती है। एक पंचभुज के लिए, n = 5। **सवाल 2:** एक डिज़ाइन एक आयत और एक अर्धवृत्त से बना है जो इसकी एक छोटी भुजा से जुड़ा है। इस समग्र आकृति की सममिति का विश्लेषण करें। **पूर्ण समाधान:** मान लीजिए आयत की लंबाई l और चौड़ाई w है (जहाँ l > w), और व्यास w का एक अर्धवृत्त ऊपरी छोटी भुजा से जुड़ा है। **रेखा सममिति:** समग्र आकृति में ठीक 1 सममिति पंक्ति है—आयत की चौड़ाई के मध्यबिंदु से होकर गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर पंक्ति जो अर्धवृत्त के आधार के केंद्र से भी गुजरती है (शीर्ष किनारे की लंबवत द्विभाजक)। यह पंक्ति आकृति को दो सर्वांगसम दर्पण हालवों में विभाजित करती है। इस पंक्ति पर प्रतिबिंब आयत को स्वयं पर और अर्धवृत्त को स्वयं पर मैप करता है। **क्या इसमें क्षैतिज सममिति पंक्ति है?** नहीं। आयत का नीचला भाग बंद है, जबकि ऊपर एक घुमावदार अर्धवृत्त है। केंद्र के माध्यम से एक क्षैतिज पंक्ति पर प्रतिबिंब आकृति को स्वयं पर मैप नहीं करता है। **घूर्णी सममिति:** इस समग्र आकृति में 1 से अधिक क्रम की कोई घूर्णी सममिति नहीं है। 180° घुमाव अर्धवृत्त को नीचे रखता है और आयत को उलट देता है, एक भिन्न-दिखने वाली आकृति बनाता है। **आरेख:** [(0,0), (l,0), (l,w), (0,w) पर शीर्षों के साथ एक आयत खींचिए। शीर्ष किनारे के ऊपर (0,w) से (l,w) तक बाहर की ओर घुमावदार एक अर्धवृत्त जोड़ें। x = l/2 पर एक लंबवत बिंदीदार पंक्ति खींचिए जो एक सममिति पंक्ति दिखाती है।] **अनुप्रयोग:** यह डिज़ाइन कई वास्तविक-विश्व संदर्भों में दिखाई देता है—एक ताबूत का शीर्ष, एक गोदाम दरवाज़ा, या एक सजावटी मेहराब। इसकी एकल सममिति पंक्ति को समझना विनिर्माण और कलात्मक डिज़ाइन में मदद करता है। **सवाल 3:** अक्षर 'A' में 1 सममिति पंक्ति है। समझाएं कि दो समान 'A' अक्षरों को मिलाकर बनाई गई कौन सी आकृतियों में कई सममिति पंक्तियाँ होंगी, और उनके घूर्णी क्रमों की पहचान करें। **पूर्ण समाधान:** अक्षर 'A' (मानक ब्लॉक रूप में) इसके केंद्र में ऊर्ध्वाधर सममिति पंक्ति है। यदि हम दो समान 'A' अक्षरों को मिलाते हैं, तो विभिन्न व्यवस्थाएँ विभिन्न सममिति

**केस-स्टडी प्रश्न:** एक वस्त्र डिजाइनर दिवाली के लिए एक पारंपरिक रंगोली पैटर्न बना रहा है। आधार डिजाइन एक वर्ग है जिसके अंदर एक वृत्त खींचा गया है, और 4 समान समद्विबाहु त्रिभुज प्रत्येक कोने पर रखे गए हैं (वृत्त के बाहर, वर्ग की भुजाओं और वृत्त के बीच)। **(a) इस पैटर्न में सममितता की कितनी रेखाएं हैं?** पैटर्न में सममितता की 4 रेखाएं हैं: दो विकर्ण रेखाएं (वर्ग के विपरीत कोनों को जोड़ती हैं) और दो सीधी रेखाएं (क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर, केंद्र से गुजरती हैं)। ऐसा इसलिए है क्योंकि वर्ग और वृत्त दोनों के पास ये सममितताएं हैं, और कोनों पर 4 समान त्रिभुज उन्हें संरक्षित रखते हैं। **(b) इस रंगोली की घूर्णन सममितता का क्रम क्या है?** घूर्णन सममितता का क्रम 4 है। पूरा पैटर्न केंद्र के बारे में 90°, 180°, 270°, और 360° से घुमाने पर समान दिखाई देता है। **(c) अगर डिजाइनर वर्ग के ऊपरी कोने पर एक पांचवां समान त्रिभुज जोड़ना चाहे, तो सममितताएं कैसे बदलेंगी?** एक पांचवां त्रिभुज जोड़ने से घूर्णन सममितता टूट जाती है (यह अब क्रम 4 नहीं रह जाता; यह प्लेसमेंट के आधार पर क्रम 1 या 2 बन जाता है)। पैटर्न अपनी 4-गुना रेखा और घूर्णन सममितता खो देगा। अगर 5वां त्रिभुज बिल्कुल ऊपरी किनारे पर रखा जाए (कोने पर नहीं), तो केवल 1 ऊर्ध्वाधर सममितता रेखा रहेगी (या कोई नहीं, प्लेसमेंट के आधार पर)। यह दिखाता है कि एक भी तत्व को तोड़ने से डिजाइन की पूरी सममितता कैसे नष्ट हो जाती है। **(d) अधिकतम सममितता को बहाल करने के लिए 5 अतिरिक्त तत्वों के लिए एक सममित प्लेसमेंट का प्रस्ताव दें।** 5 तत्वों के साथ सममितता बहाल करने के लिए, ऊपरी मध्यबिंदु पर 1 रखें (ऊपरी भुजा के लंबवत) और इसे अन्य 3 भुजाओं के लिए 3 बार और मिरर करें (4 तत्व)। फिर केंद्र में 1 रखें। यह 4 सममितता रेखाओं और घूर्णन क्रम 4 वाला एक नया पैटर्न बनाता है, जबकि सभी 9 दृश्य तत्वों को शामिल करता है (मूल 4 त्रिभुज + 4 नई किनारे तत्व + 1 केंद्र तत्व)। वैकल्पिक रूप से, 4 कोनों के मध्यबिंदुओं पर (मौजूदा त्रिभुजों के बीच) 1-1 तत्व जोड़ें और केंद्र में 1, सभी सममितताओं को बहाल करते हुए। **यह क्यों महत्वपूर्ण है:** सममितता केवल गणितीय नहीं है—यह डिजाइन, कला और वास्तुकला के लिए मौलिक है। मानव आंख सममित पैटर्न को संतुलित और सुंदर के रूप में देखती है। सममितता के सिद्धांतों को समझने से डिजाइनर रंगोली, इस्लामिक ज्यामितीय टाइलवर्क और पारंपरिक मेहंदी डिजाइन जैसे सांस्कृतिक रूप से प्रासंगिक पैटर्न बना सकते हैं। cbsetutor.ai पर 3-दिन की निःशुल्क परीक्षा शुरू करें ताकि HOTS प्रश्नों और केस स्टडीज का अभ्यास AI-निर्देशित प्रतिक्रिया के साथ करें।

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