कक्षा 9 गणित अध्याय 9 रचनाएं: हल किए गए पिछले वर्ष के प्रश्न (2020–2025)

कई कक्षा 9 के छात्र अपनी नोटबुक में सुंदर रचना आरेख बनाने में घंटों लगाते हैं, फिर भी परीक्षा में अंक खो देते हैं। क्यों? क्योंकि पाठ्यपुस्तक पढ़ना आपको *क्या* रचना है यह सिखाता है, लेकिन पिछले साल के पेपर आपको *परीक्षकों को यह कैसे चाहिए* यह सिखाते हैं। जब आप SSS द्वारा त्रिभुज की रचना पर एक पिछले साल का प्रश्न हल करते हैं, तो आप खोज करते हैं कि अंक चरण-दर-चरण दिए जाते हैं: (1) पहली भुजा को पैमाने के अनुसार खींचना, (2) दो चाप के लिए परकार खोलना, (3) प्रतिच्छेद बिंदु की पहचान करना, (4) कोणों और भुजाओं को लेबल करना। पाठ्यपुस्तक का पांच मिनट का उदाहरण आपको ये सभी महत्वपूर्ण बिंदु नहीं दिखाएगा। पिछले साल के पेपर परीक्षकों द्वारा उपयोग की जाने वाली भाषा भी सामने लाते हैं। यदि कोई प्रश्न कहता है 'त्रिभुज ABC की रचना करो जहाँ AB = 5 cm, BC = 6 cm, AC = 7 cm है,' तो आपको तुरंत पता होना चाहिए कि कौन सा नियम लागू होता है (SSS)। CBSE के 5 साल के पेपर में, कुछ रचनाएं बार-बार आती हैं: भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक, कोण समद्विभाजक, एकांतर कोणों का उपयोग करके समांतर रेखाएं, और RHS त्रिभुज। 10–15 पिछले साल के प्रश्नों को हल करके, आप इन पैटर्न को पहचान लेंगे और किसी भी नई रचना का आत्मविश्वास से सामना कर सकेंगे। आप समय प्रबंधन भी सीखेंगे — रचना प्रश्नों को खींचने और साफ-सुथरे तरीके से लेबल करने में 3–5 मिनट लगते हैं, और पिछले साल के पेपर का अभ्यास आपको परीक्षा की गति से काम करने के लिए तैयार करता है। अंत में, अभ्यास के पिछले साल के प्रश्नों पर जो गलतियां आप करते हैं वे वास्तविक परीक्षा में की गई गलतियों से कहीं कम हानिकारक हैं। नीचे दिए गए पेपर को हल करें, अपने आरेख की गुणवत्ता को चिह्नित करें, और अपनी तकनीक को परिष्कृत करें।

रचना में एक अंक के प्रश्न आमतौर पर एक एकल परिभाषा, नियम, या बहुत ही संक्षिप्त रचना सत्यापन के लिए पूछते हैं। ये ज्ञान-जांच के प्रश्न हैं। यहाँ पाँच आमतौर पर दोहराए गए प्रकार हैं: **Q1. त्रिभुज निर्माण में SSS का पूरा नाम क्या है?** Ans: Side–Side–Side (भुजा-भुजा-भुजा)। जब त्रिभुज की सभी तीन भुजाएं दी गई हों, तो आप SSS नियम का उपयोग करके त्रिभुज को अद्वितीय रूप से निर्मित करते हैं। उदाहरण: यदि AB = 4 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm दिया है, तो SSS का उपयोग करके त्रिभुज ABC की रचना करो। **Q2. त्रिभुज को अद्वितीय रूप से निर्मित करने के लिए कितनी शर्तों की आवश्यकता है?** Ans: न्यूनतम तीन स्वतंत्र माप। ये तीन भुजाएं (SSS), दो भुजाएं और एक सम्मिलित कोण (SAS), दो कोण और एक भुजा (ASA), या समकोण त्रिभुज में समकोण और दो भुजाएं (RHS) हो सकती हैं। **Q3. लंबवत और लंबवत समद्विभाजक में अंतर क्या है?** Ans: एक लंबवत एक रेखा है जो दूसरी रेखा के 90° पर हो। एक लंबवत समद्विभाजक एक रेखा है जो एक खंड के लिए लंबवत है और इसके मध्यबिंदु से होकर जाती है, इसे दो बराबर भागों में विभाजित करती है। **Q4. एकांतर कोणों का उपयोग करके समांतर रेखाएं निर्मित करने के लिए प्रयुक्त अभिगृहीत बताएं।** Ans: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि एकांतर अंतः कोण बराबर हों, तो दोनों रेखाएं समांतर होती हैं (Alternate Angle Axiom)। **Q5. परकार और पटरी का उपयोग करके कोण को समद्विभाजित करने के लिए आप कितने चाप खींचते हैं?** Ans: कुल तीन चाप — शीर्ष से एक चाप दोनों भुजाओं को प्रतिच्छेद करते हुए, फिर भुजाओं पर दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं से समद्विभाजक बिंदु पर मिलने के लिए दो चाप।

रचना में तीन अंक के प्रश्न आपसे स्पष्ट चरणों के साथ पूर्ण निर्माण करने को कहते हैं। अंक विभाजित होते हैं: आमतौर पर सही विधि/चरणों के लिए 1 अंक, सटीक रचना के लिए 1 अंक, सही लेबलिंग और माप के लिए 1 अंक। यहाँ पाँच उच्च-आवृत्ति वाले प्रकार हैं: **Q1. त्रिभुज ABC की रचना करो जहाँ AB = 5 cm, AC = 6 cm, और ∠BAC = 60° है। [3 अंक]** Ans: (1) पटरी का उपयोग करके AB = 5 cm खींचो। (2) A पर, परकार का उपयोग करके 60° कोण की रचना करो (30°–60°–90° सेट या प्रोट्रेक्टर)। (3) 60° की रेखा पर, बिंदु C को इस प्रकार चिह्नित करो कि AC = 6 cm हो। (4) BC को मिलाओ। त्रिभुज ABC तैयार है। सभी भुजाओं और कोण को लेबल करो। *विधि अंक: AB और कोण सही तरीके से खींचना; सटीकता अंक: माप बिल्कुल सही; लेबल अंक: सभी शीर्ष और कोण चिह्नित।* **Q2. एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना करो जिसमें कर्ण AC = 7 cm और एक भुजा BC = 5 cm है। [3 अंक]** Ans: यह RHS (समकोण–कर्ण–भुजा) है। (1) कर्ण AC = 7 cm खींचो। (2) AC का मध्यबिंदु M ज्ञात करो। (3) AC को व्यास मानकर एक अर्धवृत्त खींचो। (4) अर्धवृत्त पर बिंदु B को इस प्रकार चिह्नित करो कि BC = 5 cm हो। (5) AB को मिलाओ। B पर कोण स्वतः 90° है (अर्धवृत्त में कोण)। लेबल करो और AB² + BC² = AC² को सत्यापित करो। **Q3. एक रेखा खंड AB = 6 cm खींचो। AB का लंबवत समद्विभाजक बनाओ। [3 अंक]** Ans: (1) AB = 6 cm खींचो। (2) परकार को AB के आधे से अधिक खोलो। (3) बिंदु A से AB के ऊपर और नीचे चाप खींचो। (4) समान त्रिज्या रखते हुए, B से चाप खींचो जो पहले चापों को बिंदु P और Q पर काटे। (5) P और Q को मिलाओ। रेखा PQ, AB का लंबवत समद्विभाजक है। यह AB को मध्यबिंदु (A और B दोनों से 3 cm) पर समकोण पर काटता है। **Q4. प्रोट्रेक्टर का उपयोग किए बिना एक रेखा खंड PQ पर एक बिंदु P पर 45° का कोण बनाओ। [3 अंक]** Ans: (1) P पर, परकार का उपयोग करके PQ के लिए एक लंबवत बनाओ (PQ पर P से समान दूरी पर दो चाप, फिर लंबवत रेखा ढूंढने के लिए ऊपर चाप)। (2) इस 90° कोण को समद्विभाजित करो: P पर परकार रखो, लंबवत और PQ दोनों को काटने वाला एक चाप खींचो, फिर 45° पाने के लिए समद्विभाजित करो। (3) 45° कोण रेखा को PR के रूप में लेबल करो। **Q5. एक रेखा खंड AB = 8 cm खींचो। A पर, B से गुजरने वाली दी गई रेखा l के समांतर एक रेखा बनाओ, कोण अभिगृहीत का उपयोग करते हुए। [3 अंक]** Ans: (1) AB = 8 cm खींचो और B से होकर रेखा l खींचो जो AB के समांतर न हो। (2) B पर, l और BA के बीच का कोण मापो। (3) A पर, AB के विपरीत ओर, बराबर कोण (एकांतर कोण) बनाओ। (4) A से होकर यह कोण बनाने वाली रेखा l के समांतर है। पटरी या सेट स्क्वेयर से सत्यापित करो।

पाँच अंक के प्रश्नों के लिए प्रमाण या सत्यापन के साथ एक पूर्ण, बहु-चरणीय निर्माण की आवश्यकता होती है। ये आमतौर पर संयुक्त निर्माण होते हैं: एक त्रिभुज बनाना और फिर इसके अंदर या इस पर कुछ निर्मित करना (कोण समद्विभाजक, लंबवत, समांतर)। यहाँ तीन विस्तृत समाधान हैं: **Q1. त्रिभुज ABC की रचना करो जहाँ AB = 6 cm, ∠A = 45°, ∠B = 60° है। साथ ही, भुजा AC का लंबवत समद्विभाजक बनाओ। [5 अंक]** समाधान: (i) पटरी का उपयोग करके AB = 6 cm खींचो। (ii) A पर, परकार का उपयोग करके 45° बनाओ: AB को और A से दूसरी रेखा को काटने वाला एक चाप खींचो; समकोण (90°) को समद्विभाजित करो और फिर एक परिणामी 45° को सत्यापित करने के लिए समद्विभाजित करो, या 45°–45°–90° सेट का उपयोग करो। (iii) B पर, परकार का उपयोग करके 60° बनाओ: एक चाप खींचो, और दो प्रतिच्छेद 60° अलग चिह्नित करो (समबाहु त्रिभुज विधि या प्रोट्रेक्टर)। (iv) दोनों कोण रेखाओं को बढ़ाओ जब तक वे बिंदु C पर मिलें। (v) त्रिभुज ABC अब निर्मित है। सत्यापित करो: ∠C = 180° − 45° − 60° = 75°। (vi) AC का लंबवत समद्विभाजक बनाने के लिए: परकार का उपयोग करके मध्यबिंदु ढूंढो (A और C से चाप, त्रिज्या > AC/2, ऊपर और नीचे प्रतिच्छेद करते हुए)। (vii) समद्विभाजक रेखा AC को इसके मध्यबिंदु पर काटती है और लंबवत है (90°)। इसे स्पष्ट रूप से चिह्नित और लेबल करो। अंक: (1) AB सही तरीके से खींचा गया, (2) A पर कोण सही, (3) B पर कोण सही, (4) C पर सटीक प्रतिच्छेद, (5) लंबवत समद्विभाजक विधि और सटीकता। **Q2. त्रिभुज PQR की रचना करो जहाँ PQ = 7 cm, QR = 6 cm, और RP = 5.5 cm है (SSS)। फिर कोण Q का कोण समद्विभाजक बनाओ। [5 अंक]** समाधान: (i) PQ = 7 cm खींचो। (ii) परकार को 5.5 cm तक खोलो। P से, PQ के ऊपर एक चाप खींचो। (iii) परकार को 6 cm तक खोलो। Q से, पहले चाप को R पर काटने वाला एक चाप खींचो। (iv) PR और QR को मिलाओ। त्रिभुज PQR पूर्ण है। सभी तीन भुजाओं को मापो और लेबल करो। (v) कोण Q को समद्विभाजित करने के लिए: परकार बिंदु को Q पर रखो, QP और QR को दो बिंदु X और Y पर काटने वाला एक चाप खींचो। (vi) परकार को XY के आधे से अधिक तक खोलो। X और Y से, कोण के अंदर बिंदु Z पर प्रतिच्छेद करने वाले चाप खींचो। (vii) QZ को मिलाओ। यह ∠Q का कोण समद्विभाजक है। दोनों ओर बराबर कोण चिह्नित करो (वैकल्पिक: प्रोट्रेक्टर का उपयोग करके सत्यापित करो कि वे बराबर हैं)। अंक: (1) सभी तीन भुजाएं सटीक लंबाई तक खींची गई, (2) त्रिभुज बंद करना सटीक, (3) SSS नियम की सही पहचान, (4) कोण समद्विभाजक विधि सटीक, (5) लेबलिंग और अंतिम आरेख स्पष्टता। **Q3. आयत ABCD की रचना करो जिसकी लंबाई AB = 8 cm और चौड़ाई BC = 5 cm है। साथ ही, शीर्ष D से विकर्ण AC पर एक लंबवत बनाओ। [5 अंक]** समाधान: (i) पटरी का उपयोग करके AB = 8 cm खींचो। (ii) B पर, परकार का उपयोग करके 90° कोण बनाओ: B पर परकार रखो, AB पर बराबर चाप और एक लंबवत रेखा खींचो, फिर लंबवत पर BC = 5 cm चिह्नित करो। (iii) A पर, एक और 90° बनाओ और AD = 5 cm चिह्नित करो। (iv) D पर, 90° बनाओ और DC = 8 cm चिह्नित करो। आयत ABCD पूर्ण है। (v) विकर्ण AC खींचो A और C को जोड़कर। (vi) D से AC पर एक लंबवत गिराने के लिए: D पर परकार रखो, AC को दो बिंदु E और F पर काटने वाला एक चाप खींचो। (vii) E और F से, AC के नीचे (D की ओर) बिंदु G पर प्रतिच्छेद करने वाले चाप खींचो। (viii) DG को मिलाओ। DG, AC के लिए लंबवत है। प्रतिच्छेद बिंदु पर 90° कोण चिह्नित करो। अंक: (1) AB और A व B पर कोण सटीक, (2) भुजाएं BC और AD सही, (3) DC सटीक, (4) विकर्ण AC स्पष्टता से खींचा गया, (5) D से AC पर लंबवत विधि और सटीकता। सभी 5-अंक की रचनाएँ आवश्यकता हैं: (a) सटीक माप, (b) सही ज्यामितीय विधि, (c) सभी बिंदुओं और कोणों की स्पष्ट लेबलिंग, (d) जहाँ लागू हो, प्रमाण या सत्यापन।

2024–25 CBSE युक्तिसंगतकरण ने ज्यामिति की व्यापकता को कम किया लेकिन गहराई और तर्क को बढ़ाया। कक्षा 9 में रचना के लिए, यहाँ देखने के लिए मुख्य बदलाव हैं: **बदलाव 1: 'कैसे' के साथ 'क्यों' पर अधिक जोर** पुराने पेपर अक्सर पूछते थे: 'त्रिभुज ABC की रचना करो जहाँ…' नए पेपर तेजी से पूछते हैं: 'क्या दिए गए मापों के साथ त्रिभुज निर्मित किया जा सकता है? एक निर्माण नियम का उपयोग करके न्यायसंगत बनाओ।' इसका मतलब है कि आपको न केवल *कैसे* निर्मित करना है, बल्कि *क्यों* मापों का एक विशेष सेट काम करता है (या नहीं) यह जानना चाहिए। उदाहरण: 'क्या आप 3 cm, 4 cm, 8 cm भुजाओं के साथ त्रिभुज निर्मित कर सकते हैं? क्यों नहीं?' उत्तर: नहीं, क्योंकि 3 + 4 = 7 < 8, त्रिभुज असमानता प्रमेय का उल्लंघन करता है। **बदलाव 2: संयुक्त रचनाओं का बढ़ा हुआ उपयोग** पुराने पेपर: 'त्रिभुज ABC की रचना करो जहाँ AB = 5 cm, BC = 6 cm, CA = 7 cm है।' नए पेपर: 'ऊपर के अनुसार त्रिभुज ABC की रचना करो। फिर C से AB पर एक लंबवत की रचना करो, जो AB को बिंदु D पर मिले। CD को मापो।' यह एक प्रश्न में कई कौशल का परीक्षण करता है और NCERT जोर को एकीकृत समस्या-समाधान के साथ संरेखित करता है। **बदलाव 3: समांतर रेखाओं और कोण-पकड़ पर मजबूत ध्यान** कुछ बीजगणित-भारी अध्यायों को हटाने के साथ, समांतर रेखा निर्माण और उनके कोण गुण अब अधिक कठोरता से परीक्षण किए जाते हैं। अपेक्षा करो: 'AB के समांतर एक बाहरी बिंदु P के माध्यम से एक रेखा की रचना करो, और एकांतर कोणों या सह-आंतरिक कोणों का उपयोग करके सत्यापित करो।' **बदलाव 4: वास्तविक-दुनिया अनुप्रयोग भाषा** नई CBSE पेपर भाषा का उपयोग करती हैं जैसे: 'एक सर्वेक्षणकर्ता को 12 m, 15 m, 18 m भुजाओं के साथ एक भूखंड का प्रतिनिधित्व करने वाले त्रिभुज की रचना करनी चाहिए। 1 cm = 2 m के पैमाने पर त्रिभुज की रचना करो।' यह रचनाओं को सांदर्भिक बनाता है और खींचने से पहले मापों को स्केल करने की आवश्यकता होती है। **बदलाव 5: 5-अंक की शुद्ध रचना में संभावित कमी, 3-अंक बहु-चरण में वृद्धि** 2025 के शुरुआती पेपरों से प्रतिक्रिया दर्शाती है कि CBSE स्टैंडअलोन 5-अंक की निर्माण प्रश्नों से दूर जा सकता है। इसके बजाय, 3-अंक की 'निर्मित और मापो' या 'निर्मित और सत्यापित करो' प्रश्न अधिक आवृत्ति वाले हैं। हालांकि, निर्माण को कोण/लंबाई गणनाओं के साथ जोड़ने वाले 5-अंक के प्रश्न आम रहते हैं। **तैयारी सुझाव:** 'प्रमाण-आधारित' निर्माण का अभ्यास करो: हर निर्माण के बाद, एक वाक्य लिखो जो यह न्यायसंगत करता हो कि आपकी विधि एक प्रमेय या अभिगृहीत का उपयोग करके क्यों काम करती है। यह नई पैटर्न के साथ संरेखित है।

रचनाएँ Class 9 की परीक्षाओं में असामान्य होती हैं क्योंकि वे केवल वैचारिक ज्ञान नहीं, बल्कि सटीकता का परीक्षण करती हैं। कम्पास का एक छोटा सा गलत खुलना या एक अस्पष्ट कोण आपके अंक खो सकता है। यहाँ एक परीक्षण किया हुआ रणनीति है जो 25-30 मिनट में (एक पूर्ण पत्र में सभी Constructions प्रश्नों के लिए विशिष्ट समय) आपके अंकों को अधिकतम करने में मदद करेगी: **चरण 1: पूरी रचना को एक बार पढ़ें। (1 मिनट)** पहचानिए: (a) मैं क्या आकार बना रहा हूँ? त्रिभुज, कोण, समानांतर, लंबवत? (b) दिए गए मापन क्या हैं? (c) अतिरिक्त निर्माण क्या आवश्यक है (समद्विभाजक, लंबवत, आदि)? एक त्वरित नोट लिखें: 'Triangle ABC, SSS rule, sides 5-6-7 cm.' **चरण 2: नियम की पहचान करें। (1 मिनट)** क्या यह SSS, SAS, ASA, RHS, या समग्र (त्रिभुज + लंबवत) है? मुख्य शब्दों को देखें: 'सभी तीन भुजाएँ' → SSS, 'दो भुजाएँ और अंतर्भुज कोण' → SAS, 'दो कोण और एक भुजा' → ASA, 'समकोण और कर्ण और एक भुजा' → RHS। यदि स्पष्ट न हो, दिए गए डेटा को फिर से पढ़ें और किसी नियम से मिलाएँ। **चरण 3: रेखांकन से पहले क्रम की योजना बनाएँ। (2 मिनट)** पहले एक मोटे कागज़ पर चरणों को लिखें: (1) AB = 5 cm खींचें। (2) A से, 6 cm त्रिज्या का चाप खींचें। (3) B से, 7 cm त्रिज्या का चाप खींचें। (4) प्रतिच्छेदन को C के रूप में चिह्नित करें। (5) AC और BC को जोड़ें। (6) सभी भुजाओं और कोणों को लेबल करें। यह रचना के बीच में होने वाली गलतियों से बचाता है। **चरण 4: प्राथमिक निर्माण से शुरुआत करें। (एक पूर्ण त्रिभुज के लिए 12-15 मिनट)** अपने उत्तर स्थान के शीर्ष-बाईं ओर एक ruler का उपयोग करके पहली भुजा खींचें, रचना के बढ़ने के लिए जगह छोड़ें। एक तीक्ष्ण पेंसिल (HB या B) का उपयोग करें। सभी चाप हल्के और पतले बनाएँ ताकि वे दिखाई दें लेकिन गंदे न लगें। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को छोटे बिंदुओं से स्पष्ट रूप से चिह्नित करें। एक बार जब आप सभी तीन भुजाएँ खींच लें, तो चाप रेखाओं को एक साफ eraser से हल्के से मिटा दें (चाप निर्माण सहायक हैं, कुछ परीक्षा प्रारूपों में अंतिम उत्तर का हिस्सा नहीं हैं — अपने विशिष्ट पत्र के निर्देशों की जांच करें)। **चरण 5: सभी बिंदुओं और मापों को लेबल करें। (3 मिनट)** शीर्षों (A, B, C, P, Q, R, आदि) को बिंदुओं पर या बहुत करीब लेबल करें। भुजाओं की लंबाई भुजाओं के बगल में लिखें: 'AB = 5 cm'। यदि आवश्यक हो तो कोणों को लिखें। लेबलों को साफ-सुथरा रखने के लिए एक ruler का उपयोग करें। गलत जगह पर लगाए गए लेबल अंक खो देते हैं। **चरण 6: माध्यमिक निर्माण करें (यदि कोई हो)। (5-8 मिनट)** यदि प्रश्न एक लंबवत समद्विभाजक, कोण समद्विभाजक, या समानांतर रेखा के लिए पूछता है, तो उसी चरण-दर-चरण विधि का पालन करें। कम्पास चाप को विरल और जानबूझकर उपयोग करें। फिर से, स्पष्ट रूप से लेबल करें। **चरण 7: मापों को सत्यापित करें (अंतिम 2 मिनट)** यदि समय बचे, तो एक ruler का उपयोग करके एक या दो भुजाओं की लंबाई की जांच करें। यदि कोई माप 2 mm से अधिक है, तो आपको समस्या है। यदि आप इसे देर से पकड़ते हैं, तो घबराएँ नहीं — अपने उत्तर में बताएँ 'चित्रण सीमाओं के कारण, मामूली भिन्नताएँ हो सकती हैं' या बस इसे छोड़ दें; परीक्षक छोटी चित्रण त्रुटियों के लिए खाता बनाते हैं। **समय बफर:** यदि आपकी रचना एक 5-अंक के प्रश्न के लिए 20 मिनट में समाप्त हो जाती है, तो शेष 5 मिनटों का उपयोग (a) अंतिम चित्र की रेखाओं को गहरा करने के लिए ताकि वे बहुत स्पष्ट हों, (b) लेबलों की दोबारा जांच करने के लिए, (c) यदि समग्र निर्माण है, तो सत्यापित करें कि माध्यमिक भाग सटीक हैं। जल्दबाजी न करें; सफाई और सटीकता अंकों का 50% हैं। **आम गलतियाँ जिनसे बचना है:** (1) कम्पास को अस्पष्ट रूप से खोलना — प्रत्येक चाप से पहले ruler के विरुद्ध दोबारा जांच करें। (2) लेबल करना भूलना — यदि परीक्षक यह नहीं जानते कि प्रत्येक रेखा क्या प्रतिनिधित्व करती है तो वे अंक नहीं दे सकते। (3) निर्माण चाप को बहुत गहरा खींचना — वे चित्र को अस्त-व्यस्त करते हैं। (4) जब आपको कम्पास समद्विभाजन का उपयोग करना चाहिए तब protractor से कोणों को मापना (जब तक स्पष्ट रूप से न कहा जाए)। (5) शुरू करने से पहले नियम को सत्यापित न करना — शुरू करने से पहले दिए गए डेटा को एक बार फिर से पढ़ें।

रचनाएँ (2024-25 के संशोधित NCERT Class 9 में अध्याय 9) कम्पास, straightedge (अचिह्नित ruler), और कभी-कभी एक protractor का उपयोग करके मौलिक ज्यामितीय चित्रण कौशल को कवर करती हैं। अध्याय चार मुख्य क्षेत्रों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक परीक्षाओं में नियमित रूप से परीक्षा किया जाता है: **1. त्रिभुजों का निर्माण** तीन स्वतंत्र जानकारी दी गई है, आप एक अद्वितीय त्रिभुज का निर्माण करते हैं। चार शर्तें हैं: (a) SSS (Side-Side-Side): सभी तीन भुजाएँ ज्ञात हैं, (b) SAS (Side-Angle-Side): दो भुजाएँ और अंतर्भुज कोण ज्ञात हैं, (c) ASA (Angle-Side-Angle): दो कोण और अंतर्भुज भुजा ज्ञात हैं, (d) RHS (Right angle-Hypotenuse-Side): एक समकोण त्रिभुज कर्ण और एक अन्य भुजा के साथ। प्रत्येक शर्त एक अद्वितीय त्रिभुज की गारंटी देती है (सर्वांगसमता तक)। परीक्षाएँ आपकी क्षमता का परीक्षण करती हैं कि कौन सी शर्त लागू होती है और सटीकता के साथ निर्माण को निष्पादित करती हैं। **2. लंबवत का निर्माण** एक लंबवत एक दूसरी रेखा या खंड के लिए 90° पर एक रेखा है। तीन उप-प्रकार परीक्षा किए जाते हैं: (a) रेखा पर दिए गए बिंदु पर एक रेखा के लिए लंबवत (90° कोण निर्माण का उपयोग करके), (b) एक बिंदु से बाहर एक रेखा के लिए लंबवत (सबसे कम दूरी), (c) एक खंड का लंबवत समद्विभाजक (मध्य बिंदु से 90° पर गुज़रता है)। सभी समान-त्रिज्या सिद्धांत के आधार पर कम्पास चाप का उपयोग करके निर्मित होते हैं। **3. कोण समद्विभाजकों का निर्माण** एक कोण समद्विभाजक एक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। शीर्ष से कम्पास को खोलकर निर्मित, दोनों भुजाओं पर चाप खींचे जाते हैं, फिर इन बिंदुओं से कोण के अंदर मिलने के लिए बराबर चाप खींचे जाते हैं। शीर्ष से इस प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से रेखा समद्विभाजक है। अक्सर त्रिभुज निर्माणों के साथ संयुक्त: 'Triangle ABC का निर्माण करें और फिर कोण A को समद्विभाजित करें।' **4. समानांतर रेखाओं का निर्माण** दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि वे कभी नहीं मिलती हैं। Alternate Angle Axiom का उपयोग करके निर्मित: यदि एक transversal (दो रेखाओं को काटने वाली रेखा) बराबर वैकल्पिक कोण बनाती है, तो दो रेखाएँ समानांतर हैं। वैकल्पिक विधि: संबंधित कोणों या सह-आंतरिक कोणों (पूरक) का उपयोग करें। यह इस तरह के प्रश्नों के साथ परीक्षा किया जाता है: 'बिंदु P के माध्यम से AB के समानांतर एक रेखा का निर्माण करें' और 'कोणों का उपयोग करके सत्यापित करें।' सभी निर्माण कम्पास सटीकता और ruler सीधेपन पर निर्भर करते हैं। NCERT केवल अंतिम चित्र नहीं बल्कि चरण-दर-चरण विधि और प्रत्येक चरण के पीछे की ज्यामितीय सिद्धांत पर जोर देता है। अंक इसके लिए दिए जाते हैं: (1) सही विधि (उपयोग किए गए नियम को बताना), (2) सटीक निष्पादन (1-2 mm के भीतर मापन), (3) स्पष्ट लेबलिंग। नए 2026-27 पाठ्यक्रम में, ऐसे प्रश्नों की अपेक्षा करें जो कई निर्माणों को एकीकृत करें और तर्क या सत्यापन के लिए पूछें।