कक्षा 9 गणित अध्याय 8: भिन्नों के साथ कार्य करना – महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

अध्याय 8—भिन्नों के साथ कार्य करना—बोर्ड परीक्षाओं में भारी वजन रखता है क्योंकि यह मौलिक अंकगणित और बीजगणितीय सोच को जोड़ता है। नए सुसंगत CBSE पाठ्यक्रम में, परीक्षक यांत्रिक गणना के बजाय संकल्पनात्मक समझ पर ध्यान केंद्रित करते हैं। 2026-27 की बोर्ड परीक्षा आपकी समझ को परखेगी: (1) भिन्नों के गुणन और विभाजन के नियम, (2) एक भिन्न और उसके व्युत्क्रम के बीच संबंध, (3) भिन्नात्मक संक्रियाओं की तुलना यह पहचानने के लिए कि कौन सी बड़ा या छोटा परिणाम देती है, और (4) व्यावहारिक संदर्भों में भिन्न संक्रियाओं की आवश्यकता वाली बहु-चरणीय शब्द समस्याएं (व्यंजन विधि, दूरियाँ, समय, धन)। ये कौशल अपरिहार्य हैं क्योंकि वे उच्च बीजगणित, अनुपात-और-समानुपात समस्याओं और यहाँ तक कि ज्यामिति का आधार बनाते हैं। प्रश्न तीनों उत्तर प्रारूपों में दिखाई देते हैं: 1-अंक MCQs (तेजी से स्मरण और सामान्य गलतफहमियों का परीक्षण), 2-अंक लघु उत्तर (प्रक्रियात्मक सटीकता जाँचना), 3-अंक समस्या-समाधान, और 5-अंक एकीकृत प्रश्न जो कई संक्रियाओं को जोड़ते हैं। इन चुनिंदा प्रश्नों का अभ्यास करके, आप परीक्षकों द्वारा अपेक्षित पैटर्न को आंतरिक करेंगे और परीक्षा के दिन महँगी गलतियों से बचेंगे।

MCQ प्रश्न तेजी से स्मरण, संकल्पना की स्पष्टता और सामान्य त्रुटियों का परीक्षण करते हैं। यहाँ 5 प्रतिनिधि प्रश्न हैं: **Q1:** यदि a/b एक भिन्न है, तो इसका व्युत्क्रम है: (A) b/a (B) -a/b (C) a/(−b) (D) 1/(a/b) **उत्तर:** (A) b/a। a/b का व्युत्क्रम अंश और हर को स्वैप करके प्राप्त किया जाता है, जिससे b/a मिलता है (बशर्ते a ≠ 0)। **Q2:** 3/4 × 8/9 क्या है? (A) 24/36 (B) 2/3 (C) 11/13 (D) 3/4 **उत्तर:** (B) 2/3। गुणा करें: (3 × 8)/(4 × 9) = 24/36 = 2/3 (सामान्य गुणनखंड को रद्द करने के बाद)। **Q3:** 5/6 को 10/12 से भाग देना इसके समान है: (A) 5/6 × 10/12 (B) 5/6 × 12/10 (C) 6/5 × 10/12 (D) 5/6 ÷ 10/12 **उत्तर:** (B) 5/6 × 12/10। किसी भिन्न से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणन के बराबर है। **Q4:** कौन सा बड़ा है: 7/8 या 6/7? (A) 7/8 (B) 6/7 (C) दोनों बराबर (D) निर्धारित नहीं किया जा सकता **उत्तर:** (A) 7/8। तुलना करें: 7/8 = 49/56 और 6/7 = 48/56; 49/56 > 48/56। **Q5:** यदि किसी संख्या का 2/5 हिस्सा 16 है, तो संख्या है: (A) 32 (B) 40 (C) 6.4 (D) 20 **उत्तर:** (B) 40। संख्या को x माना; (2/5)x = 16 → x = 16 × (5/2) = 40।

इन प्रश्नों को संक्षिप्त गणना और व्याख्या की आवश्यकता है: **Q1:** सरल बनाएँ: 4/5 × 15/16 ÷ 3/8 **समाधान:** = (4/5 × 15/16) ÷ 3/8 = (60/80) ÷ 3/8 = (3/4) ÷ 3/8 [60/80 को सरल बनाएँ] = (3/4) × (8/3) [भाग = व्युत्क्रम से गुणन] = 24/12 = 2 **उत्तर:** 2 **Q2:** 45/2 मीटर लंबाई की एक रिबन को टुकड़ों में काटा जाता है, प्रत्येक 9/4 मीटर लंबा। कितने टुकड़े प्राप्त होते हैं? **समाधान:** टुकड़ों की संख्या = (45/2) ÷ (9/4) = (45/2) × (4/9) = (45 × 4)/(2 × 9) = 180/18 = 10 **उत्तर:** 10 टुकड़े **Q3:** 3 1/4 (मिश्र संख्या के रूप में 3 और 1/4) का व्युत्क्रम ज्ञात करें। **समाधान:** अनुचित भिन्न में परिवर्तित करें: 3 1/4 = 13/4 व्युत्क्रम = 4/13 **उत्तर:** 4/13 **Q4:** सरल बनाएँ: (2/3 + 1/6) × 3/5 **समाधान:** = (4/6 + 1/6) × 3/5 = (5/6) × 3/5 = 15/30 = 1/2 **उत्तर:** 1/2 **Q5:** यदि एक टंकी का 3/8 हिस्सा 120 लीटर रखता है, तो पूर्ण क्षमता क्या है? **समाधान:** क्षमता को x माना; (3/8)x = 120 x = 120 × (8/3) = 960/3 = 320 लीटर **उत्तर:** 320 लीटर

इन्हें बहु-चरणीय तर्क और अनुप्रयोग की आवश्यकता है: **Q1:** एक बेकर एक केक बेकना करने के लिए 2/3 किग्रा आटा उपयोग करता है। उसके पास 8 किग्रा आटा है। (a) वह कितने पूर्ण केक बेक कर सकती है? (b) कितना आटा शेष रहेगा? **समाधान:** (a) केकों की संख्या = 8 ÷ (2/3) = 8 × (3/2) = 24/2 = 12 केक (b) उपयोग किया गया आटा = 12 × (2/3) = 8 किग्रा शेष आटा = 8 − 8 = 0 किग्रा **उत्तर:** (a) 12 केक (b) 0 किग्रा (कोई आटा शेष नहीं) **Q2:** दशमलव में परिवर्तित किए बिना 5/12 और 7/18 की तुलना करें। कौन सा बड़ा है? **समाधान:** 12 और 18 का LCM ज्ञात करें: 12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3² LCM = 2² × 3² = 36 5/12 = 15/36; 7/18 = 14/36 चूंकि 15/36 > 14/36, इसलिए 5/12 > 7/18 **उत्तर:** 5/12 बड़ा है **Q3:** एक व्यंजन विधि को 3/4 कप चीनी की आवश्यकता है। यदि आप व्यंजन विधि को तीन गुना करते हैं, तो कितनी चीनी की आवश्यकता है? मिश्र संख्या के रूप में व्यक्त करें। **समाधान:** चीनी की आवश्यकता = 3 × (3/4) = 9/4 = 2 1/4 कप **उत्तर:** 2 1/4 कप **Q4:** सरल बनाएँ और सत्यापित करें: (4/9 × 3/8) ÷ (1/6)। **समाधान:** = (12/72) ÷ (1/6) = (1/6) ÷ (1/6) [12/72 को 1/6 में सरल बनाएँ] = (1/6) × 6 = 1 **सत्यापन:** (1/6) ÷ (1/6) = 1 ✓ **उत्तर:** 1

ये प्रश्न कई संक्रियाओं को जोड़ते हैं और पूर्ण औचित्य की आवश्यकता है: **Q1:** एक जल टंकी 3/5 भरी हुई है। यदि टंकी में 3/4 पानी का उपयोग किया जाता है, तो टंकी की क्षमता का कौन सा हिस्सा शेष रहता है? **समाधान:** शुरुआती पानी = टंकी क्षमता का 3/5 उपयोग किया गया पानी = (3/4) × (3/5) = 9/20 टंकी क्षमता का शेष पानी = (3/5) − (9/20) LCD = 20 में परिवर्तित करें: 3/5 = 12/20 शेष = 12/20 − 9/20 = 3/20 टंकी क्षमता का **उत्तर:** टंकी की क्षमता का 3/20 **Q2:** एक छात्र दिन 1 पर किताब का 2/5 हिस्सा पढ़ता है और दिन 2 पर किताब का 1/3 हिस्सा पढ़ता है। (a) दो दिनों में किताब का कौन सा हिस्सा पढ़ा जाता है? (b) कितना हिस्सा अपढ़ा रहता है? (c) यदि किताब में 300 पृष्ठ हैं, तो कितने पृष्ठ शेष रहते हैं? **समाधान:** (a) पढ़ा गया हिस्सा = 2/5 + 1/3 5 और 3 का LCD = 15 2/5 = 6/15; 1/3 = 5/15 पढ़ा गया हिस्सा = 6/15 + 5/15 = 11/15 (b) अपढ़ा हिस्सा = 1 − 11/15 = 15/15 − 11/15 = 4/15 (c) अपढ़े पृष्ठ = (4/15) × 300 = (4 × 300)/15 = 1200/15 = 80 पृष्ठ **उत्तर:** (a) 11/15 (b) 4/15 (c) 80 पृष्ठ **Q3:** सिद्ध करें कि (a/b) × (b/a) = 1 किसी भी भिन्न a/b के लिए (जहाँ a ≠ 0 और b ≠ 0)। फिर यह समझाने के लिए इसका उपयोग करें कि किसी संख्या को एक भिन्न से गुणा करना और फिर इसके व्युत्क्रम से गुणा करना मूल संख्या को वापस क्यों करता है। **समाधान:** (a/b) × (b/a) = (a × b)/(b × a) = ab/ab = 1 (बशर्ते a ≠ 0, b ≠ 0) एक संख्या n पर विचार करें। भिन्न p/q से गुणा करें, फिर व्युत्क्रम q/p से गुणा करें: n × (p/q) × (q/p) = n × [(p/q) × (q/p)] = n × 1 = n यह दर्शाता है कि किसी भिन्न और उसके व्युत्क्रम से गुणन व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं—वे एक दूसरे को 'पूर्ववत्' करते हैं और मूल मान को पुनः स्थापित करते हैं। यह सिद्धांत बीजगणित में समीकरण-समाधान का आधार है। **उत्तर:** प्रमाण दिया गया है; सिद्धांत उदाहरण n × (3/5) × (5/3) = n से सत्यापित है।

**केस स्टडी: भिन्नों के साथ भोजन योजना** एक स्कूल के कैंटीन प्रबंधक एक सप्ताह भर का भोजन कार्यक्रम बना रही हैं। वह 60 किग्रा चावल खरीदती हैं। सोमवार को, वह चावल का 2/5 भाग उपयोग करती हैं। मंगलवार को, वह शेष चावल का 1/3 भाग उपयोग करती हैं (मूल 60 किग्रा का नहीं)। बुधवार को, वह फिर से स्टॉक करने का निर्णय लेती हैं और सोमवार को उपयोग किए गए चावल का 1/4 भाग खरीदती हैं। **प्रश्न:** (a) सोमवार को कितना चावल उपयोग किया गया? (b) मंगलवार के बाद कितना चावल बचा? (c) बुधवार को उसने कितना चावल खरीदा? (d) बुधवार की शाम को पकाने के बाद कुल कितना चावल उपलब्ध है? **चरण-दर-चरण समाधान:** (a) सोमवार को उपयोग किया गया चावल = (2/5) × 60 = 24 किग्रा (b) सोमवार के बाद शेष चावल = 60 − 24 = 36 किग्रा मंगलवार को उपयोग किया गया चावल = (1/3) × 36 = 12 किग्रा [नोट: शेष का 1/3, मूल का नहीं] मंगलवार के बाद शेष चावल = 36 − 12 = 24 किग्रा (c) बुधवार को खरीदा गया चावल = (1/4) × 24 = 6 किग्रा [सोमवार को उपयोग किए गए का 1/4] (d) बुधवार की शाम को उपलब्ध कुल चावल = 24 + 6 = 30 किग्रा (पकाने से पहले) **यह HOTS क्यों है:** यह प्रश्न सावधानीपूर्वक पठन ('शेष' और 'मूल' में अंतर), कई क्रमिक संक्रियाएं, और संदर्भात्मक भिन्न (उदाहरणार्थ, 'सोमवार को उपयोग किए गए का 1/4') की मांग करता है। यह वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग और तार्किक अनुक्रमण परीक्षा करता है—ये कौशल बोर्ड सफलता के लिए आवश्यक हैं।

अध्याय 8 की वैचारिक महारत केवल एक बार समाधान पढ़ने से नहीं होती—इसके लिए जानबूझकर, अनुकूलित अभ्यास की आवश्यकता है। CBSETUTOR.ai का AI ट्यूटर इन सटीक प्रश्न पैटर्नों को दैनिक रूप से ड्रिल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो आपकी सीखने की गति के अनुकूल है। प्रत्येक सत्र ऊपर दिखाए गए 18+ प्रश्न प्रकारों के यादृच्छिक भिन्नताएं प्रस्तुत करता है: आप 2-अंकीय संक्षिप्त उत्तर हल करते हैं, तुरंत चरण-दर-चरण सुधारों के साथ प्रतिक्रिया प्राप्त करते हैं, फिर तुरंत कमजोर जगहों को मजबूत करने के लिए एक समान समस्या का सामना करते हैं। प्लेटफॉर्म ट्रैक करता है कि कौन से विषय आपको धीमा करते हैं (जैसे प्रतिलोम बनाम विभाजन) और कमजोरियों को दूर करने के बाद ही कठिनाई को बढ़ाता है। 3 दिन के निःशुल्क उपयोग में, आप गुणा, विभाजन, शब्द समस्याओं और तुलना को कवर करने वाले कम से कम 6 पूर्ण प्रश्न सेट पूरे करेंगे—ये सटीक विषय जो बोर्ड परीक्षाओं में आते हैं। परीक्षा के दिन तक, ये प्रश्न पैटर्न परिचित महसूस होंगे, चिंता और असावधानीपूर्वक त्रुटियों को कम करेंगे। cbsetutor.ai पर 3-दिवसीय निःशुल्क परीक्षण शुरू करें और देखें कि अनुकूलित सीखना आपके भिन्न आत्मविश्वास को कैसे रूपांतरित करता है।