कक्षा 9 गणित अध्याय 7 भिन्न: महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

अध्याय 7: भिन्न, 2024–25 CBSE कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम का एक मूलभूत अध्याय है जो कई प्रश्न प्रारूपों में आता है। बोर्ड परीक्षकर्ता भिन्नों की जाँच सीधी गणना (1-अंक MCQs), अवधारणात्मक समझ (2-अंक संक्षिप्त उत्तर), और अनुप्रयोग-आधारित समस्या समाधान (3 और 5-अंक प्रश्न) के माध्यम से करते हैं। भिन्न अध्याय 8 (घातांक और करणी), अध्याय 12 (हेरॉन का सूत्र), और अध्याय 13 (पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन)—विषयों के लिए पूर्वापेक्षा के रूप में भी कार्य करते हैं जहाँ भिन्नात्मक गुणांक और परिमेय संक्रियाएँ आवश्यक हैं। समान और असमान भिन्नों, तुल्य भिन्नों की पहचान, और भिन्नात्मक और दशमलव रूपों के बीच रूपांतरण की क्षमता में निपुणता सीधे अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति खंडों में आपके अंकों को बढ़ाएगी। इसके अलावा, HOTS (उच्च क्रम विचार कौशल) प्रश्न अब आपसे भिन्न संक्रियाओं को वास्तविक संदर्भों पर लागू करने की अपेक्षा करते हैं: रेसिपी स्केलिंग, समय विभाजन, या संसाधन साझाकरण। यह गाइड परीक्षा के दिन आपको मिलने वाली सटीक कठिनाई प्रगति और प्रारूप को दर्शाता है।

**प्रश्न 1:** कौन सी जोड़ी तुल्य भिन्नों को दर्शाती है? (a) 3/4 और 6/8 (b) 5/6 और 10/13 (c) 2/5 और 4/9 (d) 7/8 और 14/15 **उत्तर:** (a) 3/4 और 6/8 **व्याख्या:** दो भिन्नें तुल्य होती हैं यदि एक दूसरे का सरलीकरण है। 3/4 और 6/8 के लिए: 6/8 = (6÷2)/(8÷2) = 3/4। ✓ --- **प्रश्न 2:** 7/5 को मिश्र संख्या के रूप में व्यक्त करें। (a) 1 2/5 (b) 2 1/5 (c) 1 3/5 (d) 2 2/5 **उत्तर:** (a) 1 2/5 **व्याख्या:** 7 को 5 से विभाजित करें: 7 = 5 × 1 + 2, इसलिए 7/5 = 1 2/5। --- **प्रश्न 3:** तुलना करें: 4/9 ___ 5/11 (a) > (b) < (c) = (d) तुलना नहीं कर सकते **उत्तर:** (b) < **व्याख्या:** क्रॉस-गुणा करें: 4 × 11 = 44 और 5 × 9 = 45। चूंकि 44 < 45, हमारे पास 4/9 < 5/11 है। --- **प्रश्न 4:** कौन सी भिन्न संख्या रेखा पर 1/3 और 1/2 के बीच स्थित है? (a) 2/5 (b) 2/7 (c) 1/5 (d) 3/7 **उत्तर:** (a) 2/5 **व्याख्या:** 1/3 ≈ 0.333, 1/2 = 0.5, 2/5 = 0.4। चूंकि 0.333 < 0.4 < 0.5, 2/5 इनके बीच स्थित है। --- **प्रश्न 5:** 5/8 का दशमलव निरूपण क्या है? (a) 0.625 (b) 0.725 (c) 0.525 (d) 0.825 **उत्तर:** (a) 0.625 **व्याख्या:** 5 ÷ 8 = 0.625। सत्यापन: 0.625 × 8 = 5। ✓

**प्रश्न 1:** 12/18 को सबसे सरल रूप में व्यक्त करें और फिर हर 30 के साथ एक तुल्य भिन्न लिखें। **हल:** चरण 1: GCD(12, 18) ज्ञात करें। 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12 18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18 GCD = 6 चरण 2: 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3 को सरल करें चरण 3: हर 30 के साथ तुल्य भिन्न ज्ञात करें। 2/3 = (2 × 10)/(3 × 10) = 20/30 **उत्तर:** सबसे सरल रूप 2/3 है; हर 30 के साथ तुल्य भिन्न 20/30 है। --- **प्रश्न 2:** 3/7 + 2/5 जोड़ें। अपने उत्तर को मिश्र संख्या के रूप में व्यक्त करें। **हल:** चरण 1: LCM(7, 5) = 35 ज्ञात करें (चूंकि 7 और 5 सहअभाज्य हैं)। चरण 2: समान भिन्नों में रूपांतरित करें: 3/7 = (3 × 5)/(7 × 5) = 15/35 2/5 = (2 × 7)/(5 × 7) = 14/35 चरण 3: जोड़ें: 15/35 + 14/35 = 29/35 चरण 4: जाँचें कि क्या 29/35 को सरल किया जा सकता है या मिश्र संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि 29 < 35, यह 29/35 रहता है (उचित भिन्न, मिश्र संख्या नहीं)। **उत्तर:** 29/35 --- **प्रश्न 3:** 5/6 में से 1/4 घटाएँ और अपने उत्तर का सत्यापन करें। **हल:** चरण 1: LCM(6, 4) = 12 ज्ञात करें। चरण 2: रूपांतरित करें: 5/6 = (5 × 2)/(6 × 2) = 10/12 1/4 = (1 × 3)/(4 × 3) = 3/12 चरण 3: घटाएँ: 10/12 − 3/12 = 7/12 चरण 4: वापस जोड़कर सत्यापित करें: 7/12 + 3/12 = 10/12 = 5/6 ✓ **उत्तर:** 7/12 --- **प्रश्न 4:** 4/9 को 3/8 से गुणा करें और सबसे सरल रूप में व्यक्त करें। **हल:** चरण 1: अंशों और हरों को गुणा करें: (4 × 3)/(9 × 8) = 12/72 चरण 2: GCD(12, 72) ज्ञात करके सरल करें। 12 = 2² × 3 72 = 2³ × 3² GCD = 2² × 3 = 12 चरण 3: कम करें: 12/72 = (12÷12)/(72÷12) = 1/6 **उत्तर:** 1/6 --- **प्रश्न 5:** 5/6 को 2/3 से विभाजित करें और सरल करें। **हल:** चरण 1: याद रखें: a/b ÷ c/d = a/b × d/c (व्युत्क्रम से गुणा करें) चरण 2: लागू करें: 5/6 ÷ 2/3 = 5/6 × 3/2 = (5 × 3)/(6 × 2) = 15/12 चरण 3: सरल करें: GCD(15, 12) = 3 15/12 = (15÷3)/(12÷3) = 5/4 = 1 1/4 **उत्तर:** 5/4 या 1 1/4

**प्रश्न 1:** एक रेसिपी को 2 3/4 कप मैदा की आवश्यकता है। यदि आप रेसिपी का 1/2 बनाना चाहते हैं, तो आपको कितनी मैदा की आवश्यकता है? अपना काम दिखाएँ। **हल:** चरण 1: मिश्र संख्या को विषम भिन्न में रूपांतरित करें: 2 3/4 = (2 × 4 + 3)/4 = 11/4 कप चरण 2: 1/2 से गुणा करें: 11/4 × 1/2 = 11/8 कप चरण 3: मिश्र संख्या में रूपांतरित करें: 11/8 = 1 3/8 कप **उत्तर:** आपको 1 3/8 कप मैदा की आवश्यकता है। --- **प्रश्न 2:** एक पानी की टंकी 3/5 भरी है। यदि टंकी की क्षमता का 1/4 प्रयोग किया जाता है, तो टंकी का कितना हिस्सा भरी हुई रहती है? **हल:** चरण 1: टंकी वर्तमान में अपनी क्षमता का 3/5 रखती है। चरण 2: टंकी की क्षमता का 1/4 प्रयोग किया जाता है। शेष = 3/5 − 1/4 चरण 3: LCM(5, 4) = 20 ज्ञात करें। 3/5 = (3 × 4)/(5 × 4) = 12/20 1/4 = (1 × 5)/(4 × 5) = 5/20 चरण 4: घटाएँ: 12/20 − 5/20 = 7/20 **उत्तर:** टंकी का 7/20 हिस्सा भरी हुई रहती है। --- **प्रश्न 3:** एक खेत को तीन किसानों में विभाजित किया जाता है। किसान A को 2/5, किसान B को 3/10, और किसान C को बाकी मिलता है। किसान C को कितना हिस्सा मिलता है? किसे सबसे बड़ा हिस्सा मिलता है? **हल:** चरण 1: किसान A और B जो हिस्सा पाते हैं: A + B = 2/5 + 3/10 चरण 2: LCM(5, 10) = 10 ज्ञात करें: 2/5 = 4/10 A + B = 4/10 + 3/10 = 7/10 चरण 3: किसान C को मिलता है: C = 1 − 7/10 = 10/10 − 7/10 = 3/10 चरण 4: हिस्सों की तुलना करें: A = 2/5 = 4/10 B = 3/10 C = 3/10 चूंकि 4/10 > 3/10, किसान A को सबसे बड़ा हिस्सा मिलता है। **उत्तर:** किसान C को 3/10 मिलता है; किसान A का हिस्सा सबसे बड़ा है (2/5)। --- **प्रश्न 4:** सरल करें: (3/4 + 1/8) ÷ (5/6 − 1/3) **हल:** चरण 1: अंश को सरल करें (3/4 + 1/8): LCM(4, 8) = 8 3/4 = 6/8 6/8 + 1/8 = 7/8 चरण 2: हर को सरल करें (5/6 − 1/3): LCM(6, 3) = 6 1/3 = 2/6 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2 चरण 3: विभाजित करें: 7/8 ÷ 1/2 = 7/8 × 2/1 = 14/8 = 7/4 = 1 3/4 **उत्तर:** 7/4 या 1 3/4

**प्रश्न 1:** एक कर्मचारी सोमवार को किसी प्रकल्प का 2/5 पूरा करता है और मंगलवार को 3/10। बुधवार को, वह शेष काम का 1/6 पूरा करता है। काम का कितना अंश शेष रहता है? यदि प्रकल्प को गुरुवार को 6 और घंटे लगते हैं, तो कुल प्रकल्प समय क्या था? **हल:** चरण 1: सोमवार और मंगलवार को पूरा किया गया काम: सोमवार + मंगलवार = 2/5 + 3/10 LCM(5, 10) = 10 2/5 = 4/10 4/10 + 3/10 = 7/10 पूरा चरण 2: मंगलवार के बाद शेष काम: 1 − 7/10 = 3/10 प्रकल्प का चरण 3: बुधवार को पूरा किया गया काम: बुधवार = शेष काम का 1/6 = 1/6 × 3/10 = 3/60 = 1/20 चरण 4: बुधवार तक कुल पूरा किया गया काम: 7/10 + 1/20 LCM(10, 20) = 20 7/10 = 14/20 14/20 + 1/20 = 15/20 = 3/4 चरण 5: बुधवार के बाद शेष काम: 1 − 3/4 = 1/4 चरण 6: यदि 1/4 काम = 6 घंटे: कुल प्रकल्प समय = 6 ÷ (1/4) = 6 × 4 = 24 घंटे **उत्तर:** शेष अंश = 1/4; कुल प्रकल्प समय = 24 घंटे। --- **प्रश्न 2:** तीन कंटेनर में रस है। कंटेनर A में 5 1/2 लीटर, कंटेनर B में 3 2/3 लीटर, और कंटेनर C में 4 1/4 लीटर है। यदि कुल रस का 2/3 एक बड़े टंकी में डाला जाता है, तो कंटेनर में कितना रस बचा रहता है? एक दशमलव स्थान तक राउंड करें। **हल:** चरण 1: मिश्र संख्याओं को विषम भिन्नों में रूपांतरित करें: A = 5 1/2 = 11/2 लीटर B = 3 2/3 = 11/3 लीटर C = 4 1/4 = 17/4 लीटर चरण 2: कुल रस ज्ञात करें: कुल = 11/2 + 11/3 + 17/4 LCM(2, 3, 4) = 12 11/2 = 66/12 11/3 = 44/12 17/4 = 51/12 कुल = (66 + 44 + 51)/12 = 161/12 लीटर चरण 3: टंकी में डाला गया रस: डाला = 2/3 × 161/12 = 322/36 = 161/18 लीटर चरण 4: शेष रस: शेष = 161/12 − 161/18 LCM(12, 18) = 36 161/12 = 483/36 161/18 = 322/36 शेष = (483 − 322)/36 = 161/36 ≈ 4.472 लीटर **उत्तर:** कंटेनर में लगभग 4.5 लीटर रस बचा रहता है। --- **प्रश्न 3:** एक दर्जी के पास 8 3/4 मीटर कपड़ा है। वह 2/5 का उपयोग कमीज के लिए करते हैं, शेष का 1/3 पैंट के लिए, और बाकी जैकेट के लिए। (a) प्रत्येक परिधान के लिए कितना कपड़ा प्रयोग किया जाता है? (b) प्रत्येक को दशमलव के रूप में व्यक्त करें। (c) आरोही क्रम में व्यवस्थित करें। **हल:** चरण 1: प्रारंभिक कपड़े को विषम भिन्न में रूपांतरित करें: 8 3/4 = 35/4 मीटर चरण 2: कमीज के लिए प्रयुक्त कपड़ा: कमीज = 2/5 × 35/4 = (2 × 35)/(5 × 4) = 70/20 = 7/2 मीटर चरण 3: कमीज के बाद शेष कपड़ा: शेष = 35/4 − 7/2 = 35/4 − 14/4 = 21/4 मीटर चरण 4: पैंट के लिए प्रयुक्त कपड़ा: पैंट = 1/3 × 21/4 = 21/12 = 7/4 मीटर चरण 5: जैकेट के लिए प्रयुक्त कपड़ा: जैकेट = 21/4 − 7/4 = 14/4 = 7/2 मीटर चरण 6: दशमलव में रूपांतरित करें: कमीज = 7/2 = 3.5 मीटर पैंट = 7/4 = 1.75 मीटर जैकेट = 7/2 = 3.5 मीटर चरण 7: आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 1.75 < 3.5 = 3.5 पैंट < कमीज = जैकेट **उत्तर:** (a) कमीज: 7/2 मीटर, पैंट: 7/4 मीटर, जैकेट: 7/2 मीटर। (b) कमीज: 3.5 मीटर, पैंट: 1.75 मीटर, जैकेट: 3.5 मीटर। (c) पैंट (1.75 मीटर) < कमीज और जैकेट (3.5 मीटर)।

**केस स्टडी:** एक स्कूल कैंटीन में छात्रों को दोपहर का खाना परोसा जाता है। सोमवार को, 3/8 छात्रों ने बिरयानी चुनी और 2/5 ने नूडल्स चुने। बाकी सभी ने दाल-चावल चुना। मंगलवार को, कम उपस्थिति के कारण, छात्रों की संख्या सोमवार के कुल का 4/5 थी। मंगलवार के छात्रों में से, 1/2 ने बिरयानी चुनी, 1/4 ने नूडल्स चुने, और बाकी सभी ने दाल-चावल चुना। **भाग (a):** सोमवार को, कितने अंश ने दाल-चावल चुना? **समाधान:** बिरयानी और नूडल्स चुनने वाले का अंश = 3/8 + 2/5 LCM(8, 5) = 40 3/8 = 15/40 2/5 = 16/40 कुल = 31/40 दाल-चावल चुनने वाले का अंश = 1 − 31/40 = 9/40 --- **भाग (b):** अगर सोमवार को 800 छात्र थे, तो दोनों दिनों में प्रत्येक वस्तु को कितने छात्रों ने चुना? **समाधान:** **सोमवार (800 छात्र):** बिरयानी: 3/8 × 800 = 300 छात्र नूडल्स: 2/5 × 800 = 320 छात्र दाल-चावल: 9/40 × 800 = 180 छात्र **मंगलवार (4/5 × 800 = 640 छात्र):** बिरयानी: 1/2 × 640 = 320 छात्र नूडल्स: 1/4 × 640 = 160 छात्र दाल-चावल: (1 − 1/2 − 1/4) × 640 = 1/4 × 640 = 160 छात्र --- **भाग (c):** किस दिन कम छात्रों ने दाल-चावल चुना, और सोमवार की कुल संख्या का कितना अंश अंतर है? **समाधान:** सोमवार दाल-चावल: 180 छात्र मंगलवार दाल-चावल: 160 छात्र अंतर: 180 − 160 = 20 छात्र सोमवार की कुल संख्या (800) के अंश के रूप में: 20/800 = 1/40 मंगलवार को, 1/40 कम छात्रों (सोमवार की कुल के सापेक्ष) ने दाल-चावल चुना। **उत्तर:** (a) 9/40 ने सोमवार को दाल-चावल चुना। (b) सोमवार: बिरयानी 300, नूडल्स 320, दाल-चावल 180; मंगलवार: बिरयानी 320, नूडल्स 160, दाल-चावल 160। (c) मंगलवार को कम; अंतर सोमवार की कुल का 1/40 है।

महत्वपूर्ण प्रश्नों का अभ्यास अकेले आपको सिर्फ यहीं तक ले जा सकता है—गहरी महारत के लिए अनुकूलित प्रतिक्रिया, दोहराया जाने वाला अंतराल, और आपकी सीखने की गति के अनुसार तैयार किए गए चरण-दर-चरण मार्गदर्शन की आवश्यकता होती है। CBSETUTOR.ai का AI ट्यूटर प्रतिदिन इन अंश पैटर्नों को ड्रिल करता है, आपकी ताकत और कमजोरियों के अनुरूप रीयल-टाइम में अनुकूलित होता है। जब आप कोई प्रश्न हल करते हैं, तो AI सिर्फ इसे सही या गलत नहीं मानता; यह निदान करता है कि क्या आप GCD खोजने, LCM खोजने, क्रॉस-गुणन, या समान अंशों की वैचारिक समझ में संघर्ष कर रहे हैं। फिर यह उस विशिष्ट कौशल को मजबूत करने के लिए व्यक्तिगत सूक्ष्म पाठ और अनुवर्ती समस्याएं तैयार करता है। हमारा मंच लाइव अंश संख्या-रेखा दृश्यकरण, तात्कालिक समाधान और ऑडियो व्याख्या के साथ, और साप्ताहिक प्रदर्शन रिपोर्ट प्रदान करता है जो समान अंशों, संक्रियाओं और दशमलव रूपांतरण में आपकी प्रगति दिखाता है। स्थिर कार्यपत्रकों के विपरीत, प्रत्येक सत्र आपके पिछले उत्तरों से सीखता है—तो अगर आप असमान अंश जोड़ में भ्रम करते हैं, तो अगला समस्या सेट उस सटीक कमजोरी को लक्षित करेगा। भारत भर में अब 45,000+ कक्षा 9 के छात्र CBSETUTOR.ai का उपयोग करके 'मैं समझ गया' से 'मैं इसमें माहिर हूँ' तक जाते हैं। cbsetutor.ai पर 3-दिन की निःशुल्क परीक्षा शुरू करें—कोई क्रेडिट कार्ड आवश्यक नहीं है, और आप देखेंगे कि कैसे एक AI ट्यूटर प्रत्येक अंश समस्या को केवल आपके लिए व्यक्तिगत करता है।