कक्षा 9 गणित अध्याय 7 राशियों की तुलना: महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर

अध्याय 7 राशियों की तुलना (Comparing Quantities) अंतिम बोर्ड परीक्षा में लगभग 8–12 अंक लेकर आता है (40-मिनट के स्लॉट में बंटा हुआ)। NCERT के तर्कसंगतकरण में रटने से ज्यादा समस्या-समाधान पर जोर है, यानी परीक्षक ऐसे सवाल पूछते हैं जो अवधारणाओं को मिलाते हैं—जैसे छूट के बाद GST निकालना, या वास्तविक परिस्थिति से चक्रवृद्धि ब्याज की दर खोजना। यह अध्याय चार मूल योग्यताओं को परखता है: (1) प्रतिशत और अनुपात के रूपांतरण में निपुणता, (2) लाभ-हानि और छूट के सूत्रों को सही तरीके से लागू करने की क्षमता, (3) सरल ब्याज (SI) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) के शब्द समस्याएं महीनों या सालों के समय के साथ हल करना, और (4) तालिकाओं या शब्द कथनों से आर्थिक डेटा की व्याख्या करना। बोर्ड परीक्षक चाहते हैं कि आप सभी कार्य के चरण दिखाएं, केवल अंतिम उत्तर नहीं, खासकर 3-अंक और 5-अंक के सवालों के लिए। कई छात्र लाभ% को लाभ की राशि से भ्रमित करके या SI सूत्र को CI समस्याओं के लिए इस्तेमाल करके अंक खो देते हैं। यह गाइड प्रत्येक सवाल के प्रकार को पूरी तरह हल किए गए उदाहरणों के साथ अलग करता है ताकि आप परीक्षा से पहले इन गलतियों को पहचान सकें और बच सकें।

बहुविकल्पीय प्रश्न अवधारणा की याद और तेजी से गणना को परखते हैं। प्रत्येक सवाल 1 अंक का है; बोर्ड परीक्षा में राशियों की तुलना पर आम तौर पर 2–4 MCQ होते हैं। हर विकल्प को ध्यान से पढ़ें और गलत उत्तरों को तरीके से हटाते जाएं। **Q1.** यदि किसी वस्तु का अंकित मूल्य ₹500 है और छूट 20% है, तो विक्रय मूल्य है: (a) ₹400 (b) ₹100 (c) ₹600 (d) ₹450 **उत्तर:** (a) ₹400 **समाधान:** छूट = ₹500 का 20% = 0.20 × 500 = ₹100। विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य − छूट = 500 − 100 = ₹400। **Q2.** एक व्यक्ति ₹1200 में एक साइकिल खरीदता है और ₹1500 में बेचता है। लाभ प्रतिशत है: (a) 25% (b) 20% (c) 33.33% (d) 40% **उत्तर:** (a) 25% **समाधान:** लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = 1500 − 1200 = ₹300। लाभ% = (लाभ/क्रय मूल्य) × 100 = (300/1200) × 100 = 25%। **Q3.** ₹2000 पर 5% वार्षिक दर से 2 साल का सरल ब्याज है: (a) ₹100 (b) ₹200 (c) ₹400 (d) ₹500 **उत्तर:** (b) ₹200 **समाधान:** SI = (P × R × T)/100 = (2000 × 5 × 2)/100 = 20000/100 = ₹200। **Q4.** यदि किसी संख्या का 60% = 120 है, तो वह संख्या है: (a) 72 (b) 180 (c) 200 (d) 240 **उत्तर:** (c) 200 **समाधान:** माना संख्या x है। तब 0.60 × x = 120, इसलिए x = 120/0.60 = 200। **Q5.** ₹1000 पर 10% वार्षिक दर से 1 साल का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक रूप से संयोजित) है: (a) ₹100 (b) ₹110 (c) ₹200 (d) ₹210 **उत्तर:** (a) ₹100 **समाधान:** मिश्रधन = P(1 + R/100)ᵗ = 1000(1 + 10/100)¹ = 1000 × 1.10 = ₹1100। CI = मिश्रधन − मूलधन = 1100 − 1000 = ₹100।

दो-अंक के प्रश्न सूत्रों के बुनियादी अनुप्रयोग और सीधी दो-चरणीय समस्याओं को परखते हैं। स्पष्ट कार्य दिखाएं; एक अंक अक्सर विधि के लिए और एक सही उत्तर के लिए मिलता है। **Q1.** एक दुकानदार कमीजें ₹400 में खरीदता है और ₹480 में बेचता है। प्रति कमीज लाभ और लाभ प्रतिशत ज्ञात करें। **उत्तर:** प्रति कमीज लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = 480 − 400 = ₹80। लाभ% = (लाभ/क्रय मूल्य) × 100 = (80/400) × 100 = 20%। **Q2.** किसी वस्तु का मूल्य ₹250 से बढ़कर ₹300 हो जाता है। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करें। **उत्तर:** वृद्धि = 300 − 250 = ₹50। प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि/मूल मूल्य) × 100 = (50/250) × 100 = 20%। **Q3.** ₹5000 पर 6% वार्षिक दर से 3 साल का सरल ब्याज ज्ञात करें। **उत्तर:** SI = (P × R × T)/100 = (5000 × 6 × 3)/100 = 90000/100 = ₹900। **Q4.** ₹800 पर अंकित एक वस्तु पर 15% छूट दी जाती है। विक्रय मूल्य क्या है? **उत्तर:** छूट = 800 का 15% = 0.15 × 800 = ₹120। विक्रय मूल्य = 800 − 120 = ₹680। **Q5.** यदि किसी राशि का 35% = ₹280 है, तो वह राशि ज्ञात करें। **उत्तर:** माना राशि x है। तब 0.35x = 280, इसलिए x = 280/0.35 = ₹800।

तीन-अंक के प्रश्नों के लिए बहु-चरणीय तर्क की जरूरत होती है, अक्सर दो अवधारणाओं को मिलाते हुए (जैसे छूट + लाभ, या SI + प्रतिशत)। सभी चरणों को स्पष्ट रूप से लिखें और मध्यवर्ती परिणामों को लेबल करें। **Q1.** एक व्यापारी अपनी वस्तुओं पर क्रय मूल्य से 25% अधिक अंकित करता है। फिर वह अंकित मूल्य पर 10% की छूट देता है। उसका लाभ प्रतिशत ज्ञात करें। **उत्तर:** माना क्रय मूल्य = ₹100 (सरलता के लिए)। अंकित मूल्य = क्रय मूल्य + क्रय मूल्य का 25% = 100 + 25 = ₹125। छूट = अंकित मूल्य का 10% = 0.10 × 125 = ₹12.50। विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य − छूट = 125 − 12.50 = ₹112.50। लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = 112.50 − 100 = ₹12.50। लाभ% = (12.50/100) × 100 = 12.5%। **Q2.** किसी शहर की जनसंख्या एक साल में 50,000 से बढ़कर 55,000 हो जाती है। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करें। यदि जनसंख्या इसी दर से बढ़ती रहे, तो 2 साल बाद जनसंख्या क्या होगी? **उत्तर:** वर्ष 1: वृद्धि = 55,000 − 50,000 = 5,000। प्रतिशत वृद्धि = (5000/50000) × 100 = 10%। वर्ष 2: जनसंख्या = 55,000 + 55,000 का 10% = 55,000 + 5,500 = 60,500। वैकल्पिक रूप से, 2 साल बाद: जनसंख्या = 50,000(1.10)² = 50,000 × 1.21 = 60,500। **Q3.** कोई राशि सरल ब्याज पर 4 साल में दुगुनी हो जाती है। इसमें कितने प्रतिशत वार्षिक दर से ब्याज लगाया गया है? **उत्तर:** माना मूलधन = P, तब मिश्रधन = 2P (क्योंकि दुगुना हो गया)। सरल ब्याज = मिश्रधन − मूलधन = 2P − P = P। SI = (P × R × T)/100 का उपयोग करते हुए: P = (P × R × 4)/100। P को काटने से: 1 = (R × 4)/100, इसलिए R = 100/4 = 25% वार्षिक। **Q4.** एक दुकानदार 100 पेन ₹5 में खरीदता है और 50 नोटबुकें ₹8 में खरीदता है। वह सभी पेन ₹6 में और सभी नोटबुकें ₹10 में बेचता है। कुल लाभ और पूरे लेनदेन पर लाभ प्रतिशत ज्ञात करें। **उत्तर:** 100 पेन का क्रय मूल्य = 100 × 5 = ₹500। 50 नोटबुकों का क्रय मूल्य = 50 × 8 = ₹400। कुल क्रय मूल्य = 500 + 400 = ₹900। 100 पेन का विक्रय मूल्य = 100 × 6 = ₹600। 50 नोटबुकों का विक्रय मूल्य = 50 × 10 = ₹500। कुल विक्रय मूल्य = 600 + 500 = ₹1100। कुल लाभ = 1100 − 900 = ₹200। लाभ% = (200/900) × 100 = 22.22% (लगभग)।

पाँच-अंक के प्रश्न गहन अवधारणात्मक समझ और बहु-चरणीय समस्या-समाधान को परखते हैं, अक्सर मिश्रित अवधारणाओं के साथ। हर गणना चरण और तर्क दिखाएं। **Q1.** रमेश ने ₹8000 को 5% वार्षिक दर पर 3 साल के लिए चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किया। (a) 3 साल बाद की राशि, (b) अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज, और (c) इस निवेश के लिए सरल ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच अंतर की व्याख्या करें। **उत्तर:** (a) A = P(1 + R/100)ᵗ का उपयोग करते हुए 3 साल बाद राशि: A = 8000(1 + 5/100)³ = 8000(1.05)³। गणना: (1.05)³ = 1.05 × 1.05 × 1.05 = 1.157625। A = 8000 × 1.157625 = ₹9261। (b) चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन − मूलधन = 9261 − 8000 = ₹1261। (c) 3 साल के लिए सरल ब्याज: SI = (P × R × T)/100 = (8000 × 5 × 3)/100 = 120000/100 = ₹1200। अंतर = CI − SI = 1261 − 1200 = ₹61। यह अंतर इसलिए मौजूद है क्योंकि CI में, ब्याज की गणना पिछले वर्षों में अर्जित ब्याज पर भी की जाती है (ब्याज पर ब्याज), जबकि SI हमेशा केवल मूल मूलधन पर ही गणना की जाती है। **Q2.** एक विक्रेता सेब ₹20 प्रति किग्रा खरीदता है और उन्हें 30% लाभ पर बेचता है। लेकिन वह नापतोल में गलती करता है और 1 किग्रा का दावा करते समय केवल 900 ग्राम देता है। (a) वास्तविक विक्रय मूल्य प्रति किग्रा (जो वह वास्तव में देता है), (b) क्रय मूल्य पर लाभ प्रतिशत, और (c) बेचे गए वास्तविक किग्रा पर अर्जित लाभ निकालें। **उत्तर:** (a) दावा किया गया विक्रय मूल्य प्रति किग्रा = क्रय मूल्य + 30% लाभ = 20 + 0.30 × 20 = 20 + 6 = ₹26 प्रति किग्रा (दावा)। लेकिन वह केवल 900 ग्राम के लिए ₹26 लेता है। वास्तविक विक्रय मूल्य प्रति किग्रा (वास्तविक वजन) = (26/900) × 1000 = ₹28.89 (लगभग)। (b) वास्तविक लाभ = वास्तविक विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = 28.89 − 20 = ₹8.89 प्रति किग्रा। लाभ% = (8.89/20) × 100 = 44.44% (लगभग)। वैकल्पिक रूप से: हर 900 ग्राम के लिए वह ₹26 लेता है, लेकिन 900 ग्राम का क्रय मूल्य = 20 × (900/1000) = ₹18। 900 ग्राम पर लाभ = 26 − 18 = ₹8। लाभ% = (8/18) × 100 = 44.44%। (c) बेचे गए वास्तविक किग्रा पर लाभ = ₹8.89 (भाग a से) या इस तरह गणना करें: 1 किग्रा का क्रय मूल्य = ₹20; वह केवल 900 ग्राम देता है लेकिन ₹26 लेता है, इसलिए लाभ = ₹26 − ₹18 = ₹8 प्रति 900 ग्राम बेचा गया। प्रति किग्रा: (8/900) × 1000 = ₹8.89। **Q3.** एक बैंक ₹10,000 की जमा पर दो योजनाएं देता है: योजना A, 2 साल के लिए 8% वार्षिक दर पर सरल ब्याज, और योजना B, 2 साल के लिए 7% वार्षिक दर पर चक्रवृद्धि ब्याज। कौन सी योजना अधिक रिटर्न देती है? कितना अधिक? **उत्तर:** योजना A (सरल ब्याज): SI = (P × R × T)/100 = (10000 × 8 × 2)/100 = 160000/100 = ₹1600। कुल राशि = 10000 + 1600 = ₹11,600। योजना B (चक्रवृद्धि ब्याज): मिश्रधन = P(1 + R/100)ᵗ = 10000(1 + 7/100)² = 10000(1.07)²। (1.07)² = 1.1449। मिश्रधन = 10000 × 1.1449 = ₹11,449। CI = 11449 − 10000 = ₹1449। तुलना: योजना A ₹11,600 देती है; योजना B ₹11,449 देती है। योजना A बेहतर है ₹11,600 − ₹11,449 = ₹151 अधिक। निष्कर्ष: कम दर के बावजूद, योजना A के 2 साल का सरल ब्याज इस मामले में योजना B के 2 साल के चक्रवृद्धि ब्याज से अधिक रिटर्न देता है।

**केस स्टडी प्रश्न:** एक मोबाइल फोन निर्माण कंपनी अपने खुदरा विक्रेताओं को निम्नलिखित प्रचारात्मक योजना प्रदान करती है: • ₹20,000 और उससे अधिक कीमत के फोन की खरीद पर, खुदरा विक्रेता को 15% व्यापार छूट मिलती है। • व्यापार छूट के बाद अंतिम राशि पर, यदि खुदरा विक्रेता बल्क में खरीद करता है (10 या अधिक इकाइयां) तो अतिरिक्त 5% की छूट दी जाती है। • अंतिम छूट वाली कीमत पर 12% की दर से GST लागू होता है। एक खुदरा विक्रेता ₹20,000 प्रत्येक पर 12 फोन खरीदता है। **(a) खुदरा विक्रेता को कुल राशि की गणना करें (GST सहित)।** **चरण 1 (व्यापार छूट):** 12 फोन का अंकित मूल्य (MP) = 12 × 20,000 = ₹2,40,000। व्यापार छूट = MP का 15% = 0.15 × 2,40,000 = ₹36,000। व्यापार छूट के बाद कीमत = 2,40,000 − 36,000 = ₹2,04,000। **चरण 2 (बल्क छूट):** बल्क छूट (अतिरिक्त 5%) = 2,04,000 का 5% = 0.05 × 2,04,000 = ₹10,200। बल्क छूट के बाद कीमत = 2,04,000 − 10,200 = ₹1,93,800। **चरण 3 (GST):** GST = 1,93,800 का 12% = 0.12 × 1,93,800 = ₹23,256। अंतिम राशि = 1,93,800 + 23,256 = ₹2,17,056। **(b) यदि खुदरा विक्रेता प्रत्येक फोन को ₹24,000 पर बेचता है, तो उसके लाभ प्रतिशत की गणना करें।** **खुदरा विक्रेता के लिए लागत मूल्य = 2,17,056/12 = ₹18,088 प्रति फोन (लगभग)।** विक्रय मूल्य = ₹24,000 प्रति फोन। प्रति फोन लाभ = 24,000 − 18,088 = ₹5,912। लाभ% = (5,912/18,088) × 100 = 32.68% (लगभग)। **(c) खुदरा विक्रेता का दावा है कि अपने ग्राहकों को 8% की छूट देने के बाद भी वह 20% का लाभ अर्जित करता है। इस दावे को सत्यापित करें।** **20% लाभ के साथ अपेक्षित विक्रय मूल्य = CP × 1.20 = 18,088 × 1.20 = ₹21,705.60।** 8% छूट के बाद वास्तविक विक्रय मूल्य = 24,000 − (24,000 का 8%) = 24,000 − 1,920 = ₹22,080। चूँकि ₹22,080 > ₹21,705.60, दावा **सत्य** है। खुदरा विक्रेता 8% छूट के बाद भी 20% से अधिक लाभ अर्जित करता है।

CBSETUTOR.ai का कृत्रिम बुद्धिमत्ता-संचालित गणित ट्यूटरिंग इंजन कक्षा 9 के छात्रों को दैनिक, अनुकूली अभ्यास के माध्यम से राशियों की तुलना में महारत हासिल करने में सहायता के लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किया गया है। यहाँ बताया गया है कि हमारा प्लेटफ़ॉर्म इन सटीक प्रश्न प्रकारों को कैसे सुदृढ़ करता है: **व्यक्तिगत समस्या पीढ़ी:** हमारा AI आपके प्रदर्शन स्तर के अनुसार लाभ-हानि, छूट और ब्याज समस्याओं की असीमित भिन्नताएँ तैयार करता है। यदि आप चक्रवृद्धि ब्याज गणनाओं में संघर्ष करते हैं, तो सिस्टम स्वचालित रूप से CI समस्या की आवृत्ति बढ़ाता है और व्याख्याओं को चरण-दर-चरण स्पष्ट करता है। **वास्तविक समय त्रुटि विश्लेषण:** जब आप कोई प्रश्न हल करते हैं, तो AI केवल इसे गलत चिह्नित नहीं करता—यह पहचानता है कि आपने त्रुटि *क्यों* की है। सामान्य गलतियाँ जैसे लाभ% को लाभ राशि से भ्रमित करना, या छूट समस्याओं में GST को भूलना, लक्षित सूक्ष्म पाठ को ट्रिगर करते हैं जो सेकंडों में अवधारणा को स्पष्ट करते हैं। **संदर्भ के साथ दोहराया गया अंतराल:** CBSETUTOR.ai एक साथ 50 समान प्रश्न हल करने के बजाय, आपके अभ्यास को रणनीतिक रूप से दूर रखता है। जब आप एक 5-अंक की CI समस्या हल करते हैं, तो सिस्टम 2–3 दिन प्रतीक्षा करता है, फिर एक थोड़ी कठिन भिन्नता प्रस्तुत करता है। यह दूरी दीर्घकालिक प्रतिधारण को मजबूत करती है और क्रैमिंग की थकान को रोकती है। **चरण-दर-चरण समाधान वाकथ्रू:** हमारे सिस्टम में प्रत्येक प्रश्न में टिप्पणीयुक्त, पंक्ति-दर-पंक्ति समाधान शामिल हैं। जब आप फंस जाते हैं, तो आप क्रमिक रूप से संकेत अनलॉक कर सकते हैं (सूत्र अनुस्मारक → पहला चरण → पूर्ण समाधान), इसलिए आप हमेशा सीखते हैं, कभी केवल प्रतिलिपि नहीं करते। **मॉक परीक्षा अनुकरण:** CBSETUTOR.ai पूर्ण अध्याय 7 मॉक टेस्ट होस्ट करता है जो सटीक 2024-25 बोर्ड पैटर्न को दर्शाते हैं: 1-अंक MCQ, 2-अंक शॉर्ट, 3-अंक विश्लेषणात्मक, और 5-अंक केस स्टडी, सभी समयबद्ध। आपकी स्कोर रिपोर्ट कमजोर क्षेत्रों की पहचान करती है ताकि आप दक्षता से संशोधन पर ध्यान केंद्रित कर सकें। **अभिभावक डैशबोर्ड:** अभिभावकों को साप्ताहिक प्रगति सारांश प्राप्त होते हैं जो दिखाते हैं कि उनके बच्चे ने कौन से प्रश्न प्रकारों में महारत हासिल की है और कहाँ अंतराल बने हुए हैं—घर पर सूचित समर्थन सक्षम करता है।