Class 9 Mathematics Chapter 6 Number Play Previous Year Questions (2020–2025)

अध्याय 6 की नोट्स एक बार पढ़ने से आपको *पूर्णांक क्या हैं* यह सिखता है; पिछली परीक्षाओं के पेपर हल करने से आपको *परीक्षकों द्वारा उन्हें कैसे जांचते हैं* यह सिखता है। PYQs पैटर्न उजागर करते हैं: कौन से गुण सबसे अधिक दिखते हैं (जोड़ के तहत समापन, क्रमविनिमेयता बनाम घटाव), कौन सी गलतियां आम हैं (विभाजन में चिह्न त्रुटियां, संचालन का क्रम), और पूर्ण अंक के लिए कौन सी गहराई की व्याख्या चाहिए। जब आप नकारात्मक संख्याओं के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग पर 5 अंकों का प्रश्न हल करते हैं, तो आप एक काम के उदाहरण को फिर से पढ़ने की तुलना में पैटर्न पहचान को कहीं अधिक मजबूत करते हैं। CBSE परीक्षकों ने पेपर तैयार किए हैं ताकि वे वैचारिक समझ और प्रक्रियात्मक प्रवाहशीलता दोनों का परीक्षण करें—PYQs उस इरादे की सीधी खिड़की हैं। आप देखेंगे कि 1 अंकीय प्रश्न अक्सर 'गुण को पहचानें' पूछते हैं न कि 'उत्तर की गणना करें,' जबकि 3 अंकीय प्रश्न गणना *और* न्यायसंगतता दोनों की मांग करते हैं। इन 13 सवालों को हल करके, आप अपने आप को परीक्षा हॉल में इन सूक्ष्मताओं को पहचानने, समय को बेहतर तरीके से प्रबंधित करने, और आत्मविश्वास बनाने के लिए प्रशिक्षित करेंगे। यह दृष्टिकोण विशेष रूप से Number Play के लिए मूल्यवान है, जहां एक भी गलत स्थान पर नकारात्मक चिह्न या भूला हुआ गुण एक बहु-चरणीय समाधान को ध्वस्त कर सकता है।

इस अध्याय के 1 अंकीय प्रश्न गुणों की त्वरित याद और बुनियादी संचालन का परीक्षण करते हैं। ये पांच सबसे आम पैटर्न का प्रतिनिधित्व करते हैं: **Q1: कौन सा गुण (–5) + 7 = 7 + (–5) द्वारा दर्शाया गया है?** उत्तर: जोड़ की क्रमविनिमेयता गुण। व्याख्या: पूर्णांकों का जोड़ क्रमविनिमेय है; क्रम योग को नहीं बदलता है। **Q2: सरल करें: (–12) ÷ (–3)।** उत्तर: 4। व्याख्या: दो नकारात्मक पूर्णांकों का विभाजन सकारात्मक परिणाम देता है। **Q3: क्या पूर्णांकों का समुच्चय विभाजन के तहत बंद है? हां/नहीं।** उत्तर: नहीं। व्याख्या: 5 ÷ 2 = 2.5, जो एक पूर्णांक नहीं है। विभाजन पूर्णांकों के लिए समापन को संतुष्ट नहीं करता है। **Q4: पूर्णांकों के लिए योज्य तत्समक क्या है?** उत्तर: 0। व्याख्या: किसी भी पूर्णांक a के लिए, a + 0 = a। शून्य योज्य तत्समक है। **Q5: मूल्यांकन करें: (–8) × (–6)।** उत्तर: 48। व्याख्या: दो नकारात्मक पूर्णांकों का गुणन सकारात्मक गुणफल देता है।

3 अंकीय प्रश्नों के लिए सही गणना और स्पष्ट तर्क दोनों की आवश्यकता है। ये पांच प्रकार नियमित रूप से दिखाई देते हैं: **Q1: सत्यापित करें कि (–4) × (5 + 3) = (–4) × 5 + (–4) × 3 है और गुण का नाम बताएं।** हल: LHS: (–4) × (5 + 3) = (–4) × 8 = –32 RHS: (–4) × 5 + (–4) × 3 = –20 + (–12) = –32 LHS = RHS। गुण: गुणन की जोड़ पर वितरणीय गुण। **Q2: एक पनडुब्बी समुद्र तल से –200 मीटर नीचे है। यह 50 मीटर ऊपर जाती है, फिर 30 मीटर नीचे जाती है। इसकी अंतिम स्थिति क्या है?** हल: प्रारंभिक स्थिति: –200 मीटर 50 मीटर ऊपर जाने के बाद: –200 + 50 = –150 मीटर 30 मीटर नीचे जाने के बाद: –150 + (–30) = –180 मीटर अंतिम स्थिति: समुद्र तल से –180 मीटर नीचे। **Q3: क्रमविनिमेयता और साहचर्य गुणों का उपयोग करके सरल करें: (–7 + 8) + (–8) + 7।** हल: = (–7 + 8) + (–8) + 7 = (–7 + 7) + (8 + (–8)) [क्रमविनिमेयता और साहचर्य का उपयोग करके पुनः व्यवस्थित] = 0 + 0 = 0 **Q4: जांचें कि क्या 0 ÷ (–9) = 0 है। अपने उत्तर को सही ठहराएं।** हल: 0 ÷ (–9) का अर्थ है हम एक ऐसी संख्या ढूंढते हैं जो (–9) से गुणा करने पर 0 देती है। (–9) × 0 = 0। हां, 0 ÷ (–9) = 0। किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक द्वारा शून्य का विभाजन शून्य है। **Q5: आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: –5, 3, 0, –12, 8, –3।** हल: –12, –5, –3, 0, 3, 8। व्याख्या: संख्या रेखा पर, नकारात्मक पूर्णांक बाएं से दाएं बढ़ते हैं (कम नकारात्मक हो जाते हैं), फिर शून्य, फिर सकारात्मक पूर्णांक बढ़ते हैं।

5 अंकीय प्रश्न गहरी समझ और बहु-चरणीय तर्क का परीक्षण करते हैं। ये तीन अनुकरणीय हैं: **Q1: तापमान परिवर्तन समस्या** एक रेफ्रिजरेटर में तापमान –15°C था। बिजली विफल होने के दौरान, यह 3 घंटों के लिए प्रति घंटे 8°C बढ़ा, फिर 2 घंटों के लिए प्रति घंटे 5°C गिरा। अंतिम तापमान क्या था? हल: प्रारंभिक तापमान: –15°C 3 घंटों में तापमान वृद्धि: 8 × 3 = 24°C वृद्धि के बाद तापमान: –15 + 24 = 9°C 2 घंटों में तापमान में गिरावट: 5 × 2 = 10°C अंतिम तापमान: 9 + (–10) = 9 – 10 = –1°C उत्तर: –1°C (हिमांक से 1°C नीचे) **Q2: संख्या गुणों का उपयोग करके सत्यापित करें और समझाएं** सिद्ध करें कि [–3 × (–2)] × 4 = –3 × [(–2) × 4] है और गुण की पहचान करें। फिर व्याख्या करें कि यह गुण पूर्णांक व्यंजकों को सरल करने में क्यों महत्वपूर्ण है। हल: LHS: [–3 × (–2)] × 4 = 6 × 4 = 24 RHS: –3 × [(–2) × 4] = –3 × (–8) = 24 LHS = RHS। गुण: गुणन की साहचर्य गुण। महत्व: हमें गुणनखंडों को आसान गणना के लिए पुनः समूहीकृत करने की अनुमति देता है; समूहीकरण का क्रम गुणफल को प्रभावित नहीं करता है। यह गणना की त्रुटियों को कम करता है। **Q3: संख्या पैटर्न और नियम की खोज** क्रम पर विचार करें: –2, –4, –8, –16, … (i) अगले दो पद लिखें। (ii) सामान्य नियम (nवां पद) खोजें। (iii) क्या यह क्रम अंकगणितीय या ज्यामितीय प्रगति है? न्यायसंगत करें। हल: (i) अवलोकन करें: प्रत्येक पद को 2 से गुणा किया जाता है। अगले दो पद: –32, –64। (ii) सामान्य नियम: aₙ = –2 × 2ⁿ⁻¹ = –2ⁿ (iii) ज्यामितीय प्रगति। न्यायसंगतता: क्रमागत पदों के बीच अनुपात स्थिर है (= 2)। एक अंकगणितीय प्रगति में, क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर स्थिर है, जो यहां मामला नहीं है।

नए CBSE पैटर्न *अनुप्रयोग और तर्क* पर अधिक जोर देते हैं न कि रोट गणना पर। अध्याय 6: Number Play के लिए, इसका अर्थ है: **परिवर्तन 1: 'गुण X लागू करें' से 'पहचानें कि गुण X कब विफल होता है।'** पुराने पेपरों ने पूछा: 'जोड़ के लिए क्रमविनिमेय गुण को सत्यापित करें: 5 + 3।' नए पेपर पूछते हैं: 'किन संचालनों के लिए क्रमविनिमेयता मान्य नहीं है? एक उदाहरण दें और व्याख्या करें।' **परिवर्तन 2: वास्तविक दुनिया के संदर्भ अब 1 अंकीय प्रश्नों में भी अनिवार्य हैं।** आप ऐसे परिदृश्य देखेंगे जैसे 'एक व्यवसाय को ₹5000 का नुकसान है। अगर यह प्रति माह ₹1200 से सुधरता है, तो 4 महीने के बाद इसकी स्थिति को एक पूर्णांक के रूप में व्यक्त करें।' बजाय 'अमूर्त प्रश्नों के जैसे –12 को 3 से विभाजित करें।' **परिवर्तन 3: गुणों + पैटर्न + अनुप्रयोगों को एकीकृत करने वाले बहु-अवधारणा 5 अंकीय प्रश्न।** तीन अलग-अलग 5 अंकीय प्रश्नों की बजाय, परीक्षक अब संयोजित करते हैं: 'एक संख्या पैटर्न में पूर्णांक शामिल हैं। नियम लिखें, गुणन के तहत समापन को सत्यापित करें, और इसे एक वास्तविक परिदृश्य में लागू करें।' **परिवर्तन 4: प्रमाण और तर्क गणना पर अंक प्राप्त करते हैं।** दिखाना कि एक गुण सभी पूर्णांकों के लिए क्यों है (केवल एक उदाहरण नहीं) तेजी से परीक्षण किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, (–a) × (–b) = ab को वितरणीय गुण का उपयोग करके सिद्ध करना, केवल (–3) × (–5) = 15 की गणना न करना। अभी अनुकूल बनाएं: सामान्य प्रमाण लिखने का अभ्यास करें, संदर्भ-भारी प्रश्नों को हल करें, और हमेशा अपनी संपत्ति विकल्पों को न्यायसंगत करें—केवल उन्हें नाम न दें।

परीक्षाओं में समय कम होता है। इस अध्याय के लिए यहाँ एक रणनीतिक क्रम दिया गया है: **चरण 1: ऑपरेशन के प्रकार को पहचानें (30 सेकंड)** प्रश्न को पढ़ें और पूछें: क्या यह जोड़/घटाव (चिन्ह सबसे महत्वपूर्ण), गुणा/भाग (गुणनफल/भागफल नियम), या गुणधर्म (क्रमविनिमेयता, साहचर्यता, वितरणीयता, संवृत्ति, तत्समक) के बारे में है? ऑपरेशन को गोल करें। **चरण 2: प्रासंगिक नियम को याद करें (20 सेकंड)** जोड़/घटाव के लिए: बड़ी संख्या का चिन्ह रखें, परिमाण घटाएं। गुणा/भाग के लिए: नकारात्मक संख्याएँ गिनें (विषम = नकारात्मक, सम = सकारात्मक)। गुणधर्मों के लिए: वह नियम लिखें जिसे आप सत्यापित करेंगे। **चरण 3: सावधानीपूर्वक गणना करें (चिन्ह की त्रुटियों पर ध्यान दें) (60–90 सेकंड)** एकल-ऑपरेशन प्रश्नों के लिए संख्या रेखा का उपयोग करें। बहु-चरणीय के लिए, बाएँ से दाएँ काम करें, या सरल जोड़ी को पहले समूहित करने के लिए साहचर्यता/क्रमविनिमेयता का उपयोग करें। उदाहरण: (–5) + 8 + 5 + (–8) → [(–5) + 5] + [8 + (–8)] = 0 + 0 = 0 (बाएँ से दाएँ से तेज़) के रूप में समूहित करें। **चरण 4: यदि आवश्यक हो तो न्यायसंगत बनाएं (3-अंक के लिए 60 सेकंड, 5-अंक के लिए 90–120 सेकंड)** 1-अंक के लिए: अकेले उत्तर पर्याप्त है। 3-अंक के लिए: गुणधर्म बताएं और एक सत्यापन चरण दिखाएं। 5-अंक के लिए: गुणधर्म कायम है यह साबित करें, समझाएं कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, और संदर्भ में लागू करें। **चरण 5: स्वच्छता जांच (20 सेकंड)** क्या चिन्ह समझदारी में आता है? (–a) + (सकारात्मक बड़ी संख्या) के लिए, सकारात्मक की अपेक्षा करें। (–a) × (–b) के लिए, सकारात्मक की अपेक्षा करें। a ÷ b के लिए जहाँ |a| < |b|, परिणाम का परिमाण < 1, लेकिन यदि बिल्कुल विभाज्य हो तो पूर्णांक है। **परीक्षा में आने वाली सामान्य गलतियाँ: – यह भूलना कि घटाव क्रमविनिमेय नहीं है: (–5) – 3 ≠ 3 – (–5)। – भाग में चिन्ह नियमों को गुणा के साथ मिलाना (समान नियम, लेकिन जल्दबाजी करना आसान है)। – बहु-चरणीय समस्याओं में शून्य को जल्दी रद्द न करना (आपको धीमा करता है)। – 'सत्यापित' लिखना बिना LHS और RHS गणना दिखाए (विधि अंक खो देता है)। इन 13 PYQs को 90-मिनट की समय-सीमा वाली स्थितियों में करें। सभी 1-अंक के प्रश्नों को 15 मिनट में, 3-अंक को 30 मिनट में, और 5-अंक को 35 मिनट में हल करने का लक्ष्य रखें। शेष समय: समीक्षा करें और अंकगणित ठीक करें।

इन PYQs के अपने उत्तर जमा करने से पहले, इस चेकलिस्ट को टिक करें: ☐ **पूर्णांकों का जोड़ और घटाव:** मैं किन्हीं दो पूर्णांकों को जोड़/घटा सकता हूँ, शून्य सहित। मैं चिन्हों को सही तरीके से लागू करता हूँ (समान चिन्ह → परिमाण जोड़ें और चिन्ह रखें; भिन्न चिन्ह → परिमाण घटाएं और बड़े का चिन्ह लें)। ☐ **गुणा और भाग नियम:** मैं याद रखता हूँ (नकारात्मक × नकारात्मक = सकारात्मक), (नकारात्मक × सकारात्मक = नकारात्मक), (सकारात्मक × सकारात्मक = सकारात्मक)। भाग समान चिन्ह नियम का पालन करता है। मैं जानता हूँ 0 ÷ a = 0, लेकिन a ÷ 0 अपरिभाषित है। ☐ **गुणधर्मों में महारत:** मैं पहचान और सत्यापन कर सकता हूँ: संवृत्ति, क्रमविनिमेयता (केवल जोड़, गुणा), साहचर्यता (केवल जोड़, गुणा), वितरणीय गुणधर्म, तत्समक अवयव (जोड़ के लिए 0, गुणा के लिए 1), और प्रतिलोम अवयव। ☐ **बहु-चरणीय समस्याएं:** मैं गुणधर्मों का उपयोग करके ऑपरेशनों को समूहित करके सरल करता हूँ। मैं जटिल व्यंजकों में नकारात्मक चिन्हों से घबराता नहीं हूँ। ☐ **संख्या पैटर्न:** मैं अंकगणितीय पैटर्न (निरंतर अंतर) और ज्यामितीय पैटर्न (निरंतर अनुपात) को पहचानता हूँ। मैं सामान्य पद (nवाँ पद सूत्र) को सही तरीके से लिखता हूँ। ☐ **वास्तविक दुनिया का संदर्भ:** मैं हानि/कर्ज को नकारात्मक के रूप में, लाभ/लाभ को सकारात्मक के रूप में अनुवाद करता हूँ। मैं नकारात्मक पूर्णांकों के साथ शब्द समस्याओं को सही तरीके से स्थापित और हल करता हूँ। ☐ **प्रस्तुतिकरण:** सभी मेरा काम दिखाया गया है। मैं अपनी गुणधर्म पसंद को न्यायसंगत बनाता हूँ। मेरा अंतिम उत्तर स्पष्ट रूप से चिन्हित है और एक पूर्णांक है (या मैंने कहा है कि यह अपरिभाषित है)। यदि आप 7 से कम टिक करते हैं, तो संबंधित NCERT अनुभाग पर फिर से जाएँ और उन PYQs को फिर से करने का प्रयास करें। इस अध्याय में आत्मविश्वास बीजगणित (अध्याय 7–9) में सफलता को अनलॉक करता है क्योंकि वे अध्याय *पूर्णांक ऑपरेशनों* में महारत मान लेते हैं।