कक्षा 9 गणित अध्याय 5 प्राइम टाइम पिछले साल के प्रश्न (2020–2025) और समाधान

अपनी पाठ्यपुस्तक पढ़ने से आपको अवधारणाएँ सिखती हैं; पिछले पेपर हल करने से आप सीखते हैं कि परीक्षक उन्हें कैसे परखते हैं। HCF और LCM पर एक 5-अंकीय प्रश्न सिर्फ गणना नहीं है—यह एक दो-चरणीय शब्द समस्या है जहाँ आपको पहले परिस्थिति को मॉडल करना चाहिए, फिर सही विधि चुननी चाहिए। CBSE हर 2–3 साल में अपना जोर बदलता है: कुछ चक्र विभाज्यता परीक्षण पर जोर देते हैं; अन्य अभाज्य गुणनखंड और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों पर भारी ध्यान देते हैं। 2020–2025 के पेपरों से गुजरते हुए, आप देखेंगे कि 3-अंकीय प्रश्न लगभग हमेशा HCF को वास्तविक दुनिया के संदर्भों के साथ जोड़ते हैं (उदाहरण के लिए, बक्सों में मिठाई व्यवस्थित करना), जबकि 1-अंकीय प्रश्न शुद्ध परिभाषा याद करना या त्वरित विभाज्यता जाँच परीक्षण करते हैं। पिछले पेपर आत्मविश्वास भी बनाते हैं: आप समझेंगे कि 60–70% प्रश्न पूर्वानुमानित टेम्पलेट का अनुसरण करते हैं। इसका मतलब है परीक्षा के दिन कम घबराहट और रणनीतिक सोच के लिए अधिक जगह। इसके अलावा, इन पेपरों पर समय निर्धारित करने से पता चलता है कि आप HCF/LCM को 4 मिनट से कम समय में हल कर सकते हैं या नहीं—जब आपके पास 90 मिनट में 25 प्रश्न हों तो यह एक महत्वपूर्ण कौशल है।

Prime Time में एक-अंकीय प्रश्न तेज़ याद रखने और मूल विभाज्यता तर्क की परीक्षा लेते हैं। ये पाँच सबसे सामान्य विविधताएँ हैं: **Q1:** निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अभाज्य है? (A) 1 (B) 21 (C) 29 (D) 51 **उत्तर: (C) 29।** अभाज्य संख्याओं के बिल्कुल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह संख्या। 29 के केवल भाजक 1 और 29 हैं। [1 अभाज्य नहीं है; 21 = 3 × 7; 51 = 3 × 17।] **Q2:** एक संख्या 9 से विभाज्य है यदि: (A) यह 3 से विभाज्य है (B) इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है (C) इसका अंतिम अंक 9 है (D) यह एक विषम संख्या है **उत्तर: (B)।** 9 के लिए विभाज्यता नियम कहता है कि सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। उदाहरण: 738 → 7 + 3 + 8 = 18, और 18 ÷ 9 = 2, इसलिए 738 9 से विभाज्य है। **Q3:** 24 और 36 का HCF क्या है? (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 24 **उत्तर: (C) 12।** 24 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24। 36 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36। सबसे बड़ा उभयनिष्ठ 12 है। **Q4:** 5 और 7 का LCM है: (A) 12 (B) 35 (C) 25 (D) 1 **उत्तर: (B) 35।** चूँकि 5 और 7 दोनों अभाज्य हैं, LCM = 5 × 7 = 35। **Q5:** कौन सी संख्या संयुक्त है? (A) 17 (B) 19 (C) 23 (D) 25 **उत्तर: (D) 25।** संयुक्त संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। 25 = 5 × 5, इसलिए गुणनखंड 1, 5, 25 हैं। [17, 19, 23 सभी अभाज्य हैं।]

तीन-अंकीय प्रश्नों के लिए दो चरण आवश्यक हैं: विधि की पहचान करना और गणना करना। ये वास्तविक पेपर पैटर्न हैं: **Q1: 60 और 90 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।** *समाधान:* अभाज्य गुणनखंडन: 60 = 2² × 3 × 5 90 = 2 × 3² × 5 HCF = उभयनिष्ठ अभाज्यों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 30। LCM = सभी अभाज्यों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180। **सत्यापन:** HCF × LCM = 30 × 180 = 5400, और 60 × 90 = 5400। ✓ **Q2: एक मिठाई की दुकान 144 गुलाब जामुनों और 96 लड्डुओं को समान उपहार बक्सों में व्यवस्थित करना चाहती है ताकि प्रत्येक बक्से में समान संख्या में गुलाब जामुन और लड्डू हों। अधिकतम कितने बक्से बनाए जा सकते हैं?** *समाधान:* अधिकतम बक्से = HCF(144, 96)। 144 = 2⁴ × 3² 96 = 2⁵ × 3 HCF = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48 बक्से। प्रत्येक बक्से में 144 ÷ 48 = 3 गुलाब जामुन और 96 ÷ 48 = 2 लड्डू होंगे। **Q3: 10 और 30 के बीच सभी अभाज्य संख्याएँ खोजने के लिए Eratosthenes की छलनी का उपयोग करें।** *समाधान:* 10–30 लिखें: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30। 2 के गुणज हटाएँ (2 को छोड़कर): 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 ✗ 3 के गुणज हटाएँ (3 को छोड़कर): 15, 21, 27 ✗ 5 के गुणज हटाएँ (5 को छोड़कर): 25 ✗ बचीं: **11, 13, 17, 19, 23, 29** अभाज्य हैं। **Q4: 11 के विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करके जाँचें कि 2156 11 से विभाज्य है या नहीं।** *समाधान:* 11 से विभाज्यता: (विषम स्थानों पर अंकों का योग) − (सम स्थानों पर अंकों का योग) 11 से विभाज्य होना चाहिए। 2156: विषम स्थान (दाएँ से बाएँ): 6, 1 → योग = 7। सम स्थान: 5, 2 → योग = 7। (7 − 7) = 0, जो 11 से विभाज्य है। इसलिए 2156 11 से विभाज्य है। सत्यापन: 2156 ÷ 11 = 196। ✓ **Q5: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 12, 15 और 18 से विभाज्य है।** *समाधान:* आवश्यक संख्या = LCM(12, 15, 18)। 12 = 2² × 3 15 = 3 × 5 18 = 2 × 3² LCM = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = **180**।

पाँच-अंकीय प्रश्न गहरी समझ परीक्षण करते हैं: बहु-चरणीय तर्क, सत्यापन और अनुप्रयोग। ये तीन सबसे सामान्य बोर्ड पैटर्न हैं: **Q1: दो घंटियाँ क्रमशः 20 मिनट और 30 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। वे 8:00 AM को एक साथ बजीं। वे फिर से कब एक साथ बजेंगी? साथ ही, 8:00 AM से शुरू होने वाली 5-घंटे की अवधि में वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?** *समाधान:* घंटियाँ अंतराल पर एक साथ बजेंगी = LCM(20, 30)। 20 = 2² × 5 30 = 2 × 3 × 5 LCM = 2² × 3 × 5 = 60 मिनट। वे 8:00 AM को एक साथ बजीं। अगली बार = 8:00 AM + 60 मिनट = **9:00 AM**। 5 घंटों में (300 मिनट): अंतरालों की संख्या = 300 ÷ 60 = 5। वे इन समयों पर बजती हैं: 8:00, 9:00, 10:00, 11:00, 12:00, 1:00 PM → **6 बार** (प्रारंभिक सहित)। **Q2: अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके 144, 192 और 240 का HCF ज्ञात कीजिए। कम से कम एक जोड़ी के लिए Euclidean algorithm का उपयोग करके अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।** *समाधान:* अभाज्य गुणनखंडन: 144 = 2⁴ × 3² 192 = 2⁶ × 3 240 = 2⁴ × 3 × 5 HCF = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = **48**। Euclidean algorithm द्वारा 144 और 192 के लिए सत्यापन: 192 = 144 × 1 + 48 144 = 48 × 3 + 0 इसलिए HCF(144, 192) = 48। ✓ अब HCF(48, 240): 240 = 48 × 5 + 0 इसलिए HCF(48, 240) = 48। ✓ अतः, HCF(144, 192, 240) = **48**। **Q3: एक दुकानदार के पास 105 नींबू, 84 संतरे और 147 अमरूद हैं। वह उन्हें उपहार की टोकरियों में समान रूप से वितरित करना चाहता है ताकि कोई फल बचे न। (i) टोकरियों की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए। (ii) प्रत्येक टोकरी में प्रत्येक फल की कितनी संख्या होगी? (iii) सत्यापित कीजिए कि फलों की कुल संख्या सही तरीके से वितरित हुई है।** *समाधान:* (i) अधिकतम टोकरियाँ = HCF(105, 84, 147)। 105 = 3 × 5 × 7 84 = 2² × 3 × 7 147 = 3 × 7² HCF = 3 × 7 = **21 टोकरियाँ**। (ii) प्रत्येक टोकरी में फल: • नींबू: 105 ÷ 21 = 5 • संतरे: 84 ÷ 21 = 4 • अमरूद: 147 ÷ 21 = 7 (iii) सत्यापन: कुल फल = 105 + 84 + 147 = 336। वितरित कुल = 21 × (5 + 4 + 7) = 21 × 16 = 336। ✓

CBSE पाठ्यक्रम संशोधन (2024–25 से आगे) ने Prime Time में जोर में सूक्ष्म परिवर्तन किया है। ऐतिहासिक रूप से, बोर्ड शुद्ध HCF/LCM गणना पर अधिक परीक्षा लेते थे, लेकिन नया पैटर्न (हाल के नमूना पेपरों में दिखाई दिया) अब समस्या-समाधान साक्षरता और अनुप्रयोग को पुरस्कृत करता है। यहाँ मुख्य परिवर्तन दिए गए हैं: **1. गणना के बजाय अनुप्रयोग:** "48, 60, 72 का HCF ज्ञात कीजिए" की जगह अधिक शब्द समस्याएँ आएँगी: "एक माली के पास आयताकार भूखंड हैं और वह उन्हें समान वर्गाकार खंडों में विभाजित करना चाहता है। अधिकतम भुजा की लंबाई क्या है?" यह वैचारिक संबंध परीक्षण करता है। **2. विभाज्यता एक द्वार के रूप में:** विभाज्यता नियम (विशेषकर 11 के लिए) 3-अंकीय प्रश्नों में पहले और अधिक बार आ रहे हैं, अक्सर अभाज्य गुणनखंड के साथ उत्तर सत्यापित करने के लिए। परीक्षकर्ताओं को यह देखना है कि आप नियम का उपयोग करते हैं, केवल गणना नहीं। **3. 5-अंकीय में मिश्रित अवधारणाएँ:** नए पेपर एक ही प्रश्न में HCF/LCM को Eratosthenes की छलनी या अभाज्य गुणनखंड के साथ मिश्रित करते हैं। उदाहरण: "अभाज्य गुणनखंड लिखकर सिद्ध कीजिए कि 323 संयुक्त है। फिर विभाज्यता नियमों का उपयोग करके संख्याएँ खोजें जो इसे विभाजित करें।" यह वैचारिक आत्मविश्वास परीक्षण करता है। **4. Euclidean Algorithm प्रमाण पर कम जोर:** जबकि HCF अभी भी बहुत परीक्षित है, औपचारिक Euclidean algorithm प्रमाण (चरणों को विस्तार से दिखाना) अब उतना महत्वपूर्ण नहीं है। इसके बजाय इसे सत्यापन उपकरण के रूप में उपयोग करने पर ध्यान दें। **5. वास्तविक दुनिया की परिस्थितियाँ:** CBSE प्रामाणिक संदर्भ—मिठाई के बक्से, बगीचे की टाइलें, घंटी बजना, ट्रैफिक लाइट समय पर जोर दे रहा है। अंग्रेजी में लिखी शब्द समस्याओं को जल्दी गणितीय मॉडलों में अनुवाद करने का अभ्यास करें। अध्ययन रणनीति: 20% शुद्ध गणना ड्रिल को 80% अनुप्रयोग और बहु-अवधारणा मिश्रित प्रश्नों के साथ संतुलित करें।

परीक्षा के दौरान समय प्रबंधन विषय-वस्तु को जानने जितना ही महत्वपूर्ण है। यहाँ Prime Time प्रश्नों के लिए एक परखी हुई प्रयास की क्रम दी गई है: **1-मिनट स्कैन (पहले 60 सेकंड):** पत्र के सभी प्रश्नों को पढ़ें। मानसिक रूप से चिह्नित करें: (a) शुद्ध HCF/LCM (आमतौर पर सरल), (b) शब्द समस्याएँ (सावधानी से हल करनी हों), (c) विभाज्यता नियम के प्रश्न (सटीकता चाहिए), (d) चलनी/अभाज्य गुणनखंडन (वैचारिक हो सकते हैं)। **प्रयास का क्रम:** • **1-अंक के प्रश्नों से शुरुआत करें (कुल 4–5 मिनट):** ये आपका आत्मविश्वास बढ़ाते हैं। अधिकांश परिभाषा या तेज़ विभाज्यता जाँच होते हैं। अनुमान न लगाएँ। यदि अनिश्चित हों, तो चिह्नित करके आगे बढ़ें। • **3-अंक की शब्द समस्याओं को अगले हल करें (12–15 मिनट):** प्रति प्रश्न 3–4 मिनट आवंटित करें। एक बार पढ़ें, मुख्य संख्याओं को रेखांकित करें, अभाज्य गुणनखंडन या विभाज्यता जाँच लिखें, अपना उत्तर बॉक्स में लिखें। HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल (यदि लागू हो) का उपयोग करके सत्यापित करें। • **5-अंक के प्रश्नों का प्रयास करें (15–18 मिनट):** इनमें दो या तीन अलग चरण होते हैं। पहले अभाज्य गुणनखंडन लिखें (भले ही पूछा न गया हो—यह सुरक्षा जाँच है)। फिर चरण-दर-चरण आगे बढ़ें। हमेशा अपना काम दिखाएँ; आंशिक श्रेय विधि के लिए दिया जाता है। • **अंतिम 2–3 मिनट:** चिह्नित किए गए 1-अंक के प्रश्नों पर फिर से विचार करें। एक 3-अंक की अंकगणित जाँचें। जटिल पुनर्व्युत्पत्तियों को छोड़ें। **सटीकता के सुझाव:** • हमेशा अभाज्य गुणनखंडन को घातांक रूप में लिखें (2³ × 3², 2 × 2 × 2 × 3 × 3 नहीं)। यह तेज़ है और परीक्षकों को पसंद है। • विभाज्यता जाँचकर HCF/LCM उत्तरों को सत्यापित करें। उदाहरण: यदि आप दावा करते हैं कि HCF(60, 90) = 30, तो पुष्टि करें कि 60 ÷ 30 = 2 और 90 ÷ 30 = 3 (दोनों पूर्ण संख्याएँ)। • शब्द समस्याओं के लिए, हल करने से पहले एक पंक्ति लिखें जिसमें बताया जाए कि आप क्या ढूँढ रहे हैं (उदा., "हमें अधिकतम समान वितरण के लिए HCF की आवश्यकता है")। यह विधि अंक देता है भले ही अंकगणित गलत हो। • विभाज्यता परीक्षा 11 के लिए तुरंत उपयोग करें—यह एक 20-सेकंड की जाँच है जो गुणनखंडन में त्रुटियों को पकड़ता है। cbsetutor.ai पर 3-दिन की निःशुल्क परीक्षा शुरू करें ताकि इन रणनीतियों पर इंटरैक्टिव अभ्यास, लाइव संदेह-समाधान सत्र और आपकी कमजोर जगहों के आधार पर अनुकूल प्रश्न बैंक तक पहुँच प्राप्त करें।

सामान्य छात्र प्रश्नों के उत्तर नीचे दिए गए हैं।