Class 9 गणित Chapter 5 Prime Time: CBSE बोर्ड्स के लिए संपूर्ण महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर

अध्याय 5 कक्षा 9 की वार्षिक परीक्षा में 8–12 अंक लाता है। CBSE बोर्ड रटंत सीखने के बजाय वैचारिक समझ पर जोर देता है—खासकर संख्या सिद्धांत में। प्रश्न परीक्षण करते हैं: (1) अभाज्य, भाज्य और जुड़वां अभाज्य की पहचान; (2) वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए विभाज्यता परीक्षणों का अनुप्रयोग; (3) HCF और LCM खोजने के लिए अभाज्य गुणनखंड; (4) Sieve of Eratosthenes को एक ऐतिहासिक और एल्गोरिथम्स उपकरण के रूप में समझना। 2026-27 पैटर्न बहु-चरणीय तर्क की अपेक्षा करता है: उदाहरण के लिए, एक 5-अंक का प्रश्न छात्रों से अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके दो संख्याओं का HCF और LCM खोजने के लिए कह सकता है, फिर सूत्र HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल का उपयोग करके सत्यापित कर सकता है। लघु-उत्तरीय और MCQ खंड विभाज्यता नियमों का परीक्षण करते हैं (विशेषकर 9 और 11), जो मानसिक गणित और डेटा व्याख्या कार्यों में दिखाई देते हैं। केस-स्टडी और अनुप्रयोग-आधारित प्रश्न अब पत्र का 30–40% बनाते हैं, इसलिए ऐसी समस्याओं की अपेक्षा करें: 'एक दुकानदार के पास 36 लाल और 48 नीली कलमें हैं। वह उन्हें समान बॉक्स में बिना रंगों को मिलाए पैक करना चाहता है। प्रत्येक बॉक्स में कलमों की अधिकतम संख्या कितनी है?' इसके लिए HCF की तर्क आवश्यक है। इन तैयार किए गए प्रश्नों के माध्यम से व्यवस्थित रूप से तैयारी करना सुनिश्चित करता है कि आप सैद्धांतिक परिभाषाएं और व्यावहारिक समस्या-समाधान दोनों को संभाल सकते हैं।

CBSE कक्षा 9 में MCQs तेजी से याद करने और वैचारिक स्पष्टता का परीक्षण करते हैं। ये पाँच प्रश्न मुख्य परिभाषाएं और विभाज्यता नियमों को कवर करते हैं। **प्रश्न 1:** निम्नलिखित में से कौन सी एक अभाज्य संख्या है? (A) 1 (B) 51 (C) 97 (D) 99 **उत्तर:** (C) 97। व्याख्या: अभाज्य संख्याओं के बिल्कुल दो गुणनखंड होते हैं (1 और स्वयं)। 1 का केवल एक गुणनखंड है (स्वयं), इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य है। 51 = 3 × 17, और 99 = 9 × 11, इसलिए दोनों भाज्य हैं। 97 केवल 1 और 97 से विभाज्य है। **प्रश्न 2:** एक संख्या 9 से विभाज्य है यदि: (A) यह 0 या 9 में समाप्त होती है (B) इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है (C) यह 3 से विभाज्य है (D) आखिरी दो अंक 9 से विभाज्य संख्या बनाते हैं **उत्तर:** (B) इसके अंकों का योग 9 से विभाज्य है। उदाहरण: 729 → 7+2+9 = 18, जो 9 से विभाज्य है, इसलिए 729 को 9 से विभाज्य है (729 ÷ 9 = 81)। **प्रश्न 3:** कौन सी जोड़ी जुड़वां अभाज्य हैं? (A) 11 और 13 (B) 13 और 17 (C) 17 और 19 (D) 19 और 23 **उत्तर:** (A) 11 और 13। जुड़वां अभाज्य अभाज्य संख्याओं की जोड़ियाँ हैं जो 2 से भिन्न होती हैं। 11 और 13 दोनों अभाज्य हैं और 13 − 11 = 2। (नोट: 13 और 17 का अंतर 4 है; 17 और 19 का अंतर 2 है, लेकिन वह एक अलग जोड़ी हैं; 19 और 23 का अंतर 4 है।) **प्रश्न 4:** दो क्रमागत सम संख्याओं का HCF है: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 **उत्तर:** (B) 2। क्रमागत सम संख्याएं जैसे 8 और 10: उनके गुणनखंड {1, 2, 4, 8} और {1, 2, 5, 10} हैं। सामान्य गुणनखंड: {1, 2}। HCF = 2। प्रत्येक सम संख्या 2 से विभाज्य है, इसलिए किन्हीं दो क्रमागत सम संख्याओं का HCF हमेशा 2 होता है। **प्रश्न 5:** एक संख्या 11 से विभाज्य है यदि: (A) सभी अंकों का योग 11 से विभाज्य है (B) वैकल्पिक अंकों के योग के बीच का अंतर 11 से विभाज्य है (C) यह 1 में समाप्त होती है (D) अंतिम अंक 0 या 1 है **उत्तर:** (B) वैकल्पिक अंकों के योग के बीच का अंतर 11 से विभाज्य है। उदाहरण: 1331 → वैकल्पिक स्थिति: (1+3) − (3+1) = 0, 11 से विभाज्य (1331 = 11 × 121)।

इन प्रश्नों के लिए संक्षिप्त व्याख्या और एक या दो गणनात्मक चरण की आवश्यकता होती है। वे परिभाषाओं और बुनियादी अनुप्रयोगों की समझ का परीक्षण करते हैं। **प्रश्न 1:** 84 का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए। **उत्तर:** 84 = 2² × 3 × 7। कार्य: 84 ÷ 2 = 42; 42 ÷ 2 = 21; 21 ÷ 3 = 7; 7 अभाज्य है। तो 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7। (सही गुणनखंड के लिए 1 अंक; विधि या घातांक रूप के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 2:** Sieve of Eratosthenes का उपयोग करके 30 से कम सभी अभाज्य संख्याएं ज्ञात कीजिए। **उत्तर:** 30 से कम अभाज्य संख्याएं हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29। विधि: 2 से शुरू करें (अभाज्य), 2 के सभी गुणजों को काट दें। फिर 3 (अभाज्य), 3 के सभी गुणजों को काट दें। फिर 5, गुणजों को काटें। तब तक जारी रखें जब तक √30 ≈ 5.5। अचिन्हित बची संख्याएं अभाज्य हैं। (सही सूची के लिए 1 अंक; एल्गोरिथम की व्याख्या के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 3:** सत्यापित करें कि 8 और 15 सहअभाज्य हैं। **उत्तर:** सहअभाज्य संख्याओं का HCF = 1 होता है। अभाज्य गुणनखंड: 8 = 2³ और 15 = 3 × 5। उनके कोई सामान्य गुणनखंड नहीं हैं। HCF(8, 15) = 1, इसलिए वे सहअभाज्य हैं। (गुणनखंड के लिए 1 अंक; HCF और निष्कर्ष के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 4:** बिना भाग दिए जाँच करें कि 756 को 6 से विभाज्य है। **उत्तर:** एक संख्या 6 से विभाज्य है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य है। 756 सम है (6 में समाप्त), इसलिए 2 से विभाज्य है। अंकों का योग: 7+5+6 = 18, 3 से विभाज्य है। तो 756 को 6 से विभाज्य है। (2 और 3 से विभाज्यता जाँचने के लिए 1 अंक; निष्कर्ष के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 5:** अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके 36 और 48 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए। **उत्तर:** 36 = 2² × 3² और 48 = 2⁴ × 3। HCF = 2² × 3 = 12 (निम्नतम घातों का गुणनफल)। LCM = 2⁴ × 3² = 144 (उच्चतम घातों का गुणनफल)। सत्यापन: HCF × LCM = 12 × 144 = 1728 = 36 × 48 ✓। (गुणनखंड के लिए 1 अंक; HCF और LCM के लिए 1 अंक।)

इन प्रश्नों के लिए बहु-चरणीय तर्क की आवश्यकता होती है और कभी-कभी दो अवधारणाओं को जोड़ने की आवश्यकता होती है। वे बोर्ड पत्रों में लघु-केस-स्टडी या अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों के रूप में दिखाई देते हैं। **प्रश्न 1:** एक हॉल में 102 लाल कुर्सियाँ और 153 नीली कुर्सियाँ हैं। इन्हें पंक्तियों में इस तरह व्यवस्थित किया जाना है कि प्रत्येक पंक्ति में समान संख्या में कुर्सियाँ हों और रंगों को न मिलाया जाए। प्रत्येक पंक्ति में कुर्सियों की अधिकतम संख्या कितनी है? **उत्तर:** हमें 102 और 153 का HCF चाहिए। यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए: 153 = 102 × 1 + 51; 102 = 51 × 2 + 0। तो HCF(102, 153) = 51। प्रत्येक पंक्ति में कुर्सियों की अधिकतम संख्या 51 है। सत्यापन: 102 ÷ 51 = 2 पंक्तियाँ लाल; 153 ÷ 51 = 3 पंक्तियाँ नीली। कुल पंक्तियाँ = 5, प्रत्येक में 51 कुर्सियाँ। (HCF अवधारणा की पहचान के लिए 1 अंक; गणना के लिए 1 अंक; उत्तर और व्याख्या के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 2:** सिद्ध करें कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। **उत्तर:** मान लीजिए n एक भाज्य संख्या है। परिभाषा के अनुसार, n के पास 1 और स्वयं के अलावा कम से कम एक गुणनखंड है। मान लीजिए सबसे छोटा ऐसा गुणनखंड p है। यदि p भाज्य होता, तो इसका एक गुणनखंड p से छोटा और n से छोटा होता, जो p की हमारी पसंद का विरोध करता है। तो p अभाज्य है। अब n = p × q, जहाँ q = n/p। यदि q अभाज्य है, तो हम पूर्ण हैं। यदि q भाज्य है, तो q के लिए प्रक्रिया दोहराएँ। चूँकि प्रत्येक भागफल छोटा है, यह प्रक्रिया एक अभाज्य के साथ समाप्त होनी चाहिए। इस प्रकार n = p₁ × p₂ × … × pₖ, जहाँ प्रत्येक pᵢ अभाज्य है। यह अंकगणित की मौलिक प्रमेय है। (तार्किक संरचना के लिए 1 अंक; सही तर्क के लिए 1 अंक; स्पष्टता के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 3:** दो घंटियाँ 12 और 18 मिनट के अंतराल में बजती हैं। वे किस अंतराल पर एक साथ बजेंगी? **उत्तर:** वे 12 और 18 के LCM के बराबर अंतराल पर एक साथ बजती हैं। अभाज्य गुणनखंड: 12 = 2² × 3 और 18 = 2 × 3²। LCM = 2² × 3² = 36 मिनट। तो घंटियाँ हर 36 मिनट में एक साथ बजती हैं। जाँच: 36 ÷ 12 = घंटी 1 की 3 बार; 36 ÷ 18 = घंटी 2 की 2 बार। (LCM की पहचान के लिए 1 अंक; गुणनखंड और गणना के लिए 1 अंक; व्याख्या के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 4:** विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करके जाँच करें कि 5832 को 9 से विभाज्य है। फिर इसका अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए। **उत्तर:** 9 से विभाज्यता: अंकों का योग = 5+8+3+2 = 18, जो 9 से विभाज्य है। तो 5832 को 9 से विभाज्य है। अभाज्य गुणनखंड: 5832 ÷ 9 = 648; 648 ÷ 9 = 72; 72 ÷ 8 = 9; जारी रखते हुए: 5832 = 2³ × 3⁶। सत्यापन: 8 × 729 = 5832 ✓। (विभाज्यता परीक्षण के लिए 1 अंक; सही गुणनखंड के लिए 1 अंक; सत्यापन के लिए 1 अंक।)

ये प्रश्न कई अवधारणाओं को एकीकृत करते हैं—अभाज्य गुणनखंड, HCF, LCM और वास्तविक अनुप्रयोग। उन्हें संरचित कार्य की आवश्यकता है और प्रत्येक चरण को न्यायोचित करते हैं। **प्रश्न 1:** तीन दोस्त, अजय, बाला और चित्रा, क्रमशः 6, 8 और 12 दिनों के अंतराल पर जिम जाते हैं। यदि वे आज सभी जाते हैं, तो कितने दिनों के बाद वे फिर से मिलेंगे? साथ ही, वे फिर से मिलने से पहले प्रत्येक व्यक्ति कितनी बार जाएगा? **उत्तर:** चरण 1: वे LCM(6, 8, 12) दिनों के बाद फिर से मिलते हैं। अभाज्य गुणनखंड: 6 = 2 × 3; 8 = 2³; 12 = 2² × 3। चरण 2: LCM = 2³ × 3 = 24 दिन। चरण 3: वे 24 दिनों के बाद फिर से मिलेंगे। चरण 4: वे फिर से मिलने से पहले जाने की संख्या: अजय हर 6 दिनों में जाता है, इसलिए 24 दिनों में: 24 ÷ 6 = 4 बार (पहले दिन सहित)। बाला: 24 ÷ 8 = 3 बार। चित्रा: 24 ÷ 12 = 2 बार। अंतिम उत्तर: वे 24 दिनों के बाद मिलते हैं। अजय 4 बार, बाला 3 बार, चित्रा 2 बार जाते हैं। (LCM अवधारणा की पहचान के लिए 1 अंक; सही गुणनखंड के लिए 1 अंक; LCM गणना के लिए 1 अंक; प्रत्येक व्यक्ति के जाने की संख्या के लिए 1 अंक; अंतिम व्याख्या के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 2:** एक आयताकार कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी है। इसे समान आकार के घनाकार बॉक्स से भरना है ताकि कोई जगह न बचे। सबसे बड़े घन की भुजा ज्ञात कीजिए जो फिट हो सकते। ऐसे कितने घन की आवश्यकता है? **उत्तर:** चरण 1: सबसे बड़े घन की भुजा = HCF(825, 675, 450)। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड: 825 = 3 × 5² × 11; 675 = 3³ × 5²; 450 = 2 × 3² × 5²। चरण 3: HCF = 3 × 5² = 75 सेमी। चरण 4: कमरे का आयतन = 825 × 675 × 450 = 250,121,250 सेमी³। चरण 5: एक घन का आयतन = 75³ = 421,875 सेमी³। चरण 6: घनों की संख्या = 250,121,250 ÷ 421,875 = 593 (या सत्यापन: (825÷75) × (675÷75) × (450÷75) = 11 × 9 × 6 = 594 घन)। अंतिम उत्तर: सबसे बड़े घन की भुजा = 75 सेमी; 594 घनों की आवश्यकता है। (HCF की पहचान के लिए 1 अंक; गुणनखंड के लिए 1 अंक; HCF गणना के लिए 1 अंक; आयतन तर्क के लिए 1 अंक; सही गिनती और अंतिम उत्तर के लिए 1 अंक।) **प्रश्न 3:** अभाज्य संख्याओं के गुणों और विभाज्यता का उपयोग करके सिद्ध करें कि यदि कोई संख्या 9 और 11 दोनों से विभाज्य है, तो वह 99 से विभाज्य है। क्या 1089 को 99 से विभाज्य है? सत्यापित करें। **उत्तर:** चरण 1: 9 और 11 सहअभाज्य हैं (HCF(9,11) = 1) क्योंकि 9 = 3² और 11 अभाज्य है। चरण 2: यदि एक संख्या n को 9 और 11 दोनों से विभाज्य है, तो 9|n और 11|n। चरण 3: चूँकि 9 और 11 सहअभाज्य हैं, उनका गुणनफल n को विभाजित करता है (सहअभाज्यता प्रमेय द्वारा)। चरण 4: 9 × 11 = 99 को n विभाजित करता है। इस प्रकार, कोई भी संख्या जो 9 और 11 दोनों से विभाज्य है, 99 से विभाज्य है। चरण 5: 1089 की जाँच करें: 9 से विभाज्य? अंकों का योग = 1+0+8+9 = 18, 9 से विभाज्य ✓। 11 से विभाज्य? (1+8) − (0+9) = 0, 11 से विभाज्य ✓। चरण 6: इसलिए, 1089 को 99 से विभाज्य है। सत्यापन: 1089 ÷ 99 = 11 ✓। अंतिम उत्तर: प्रमाण स्थापित; 1089 को 99 से विभाज्य है। (प्रमाण संरचना के लिए 1 अंक, सहअभाज्यता तर्क के लिए 1 अंक, 1089 के अनुप्रयोग के लिए 1 अंक, विभाज्यता जाँचों के लिए 1 अंक, और सत्यापन के लिए 1 अंक।)

**प्रश्न:** एक दुकानदार 60 आम, 84 सेब और 108 संतरों को समान उपहार डिब्बों में इस तरह व्यवस्थित करना चाहता है कि प्रत्येक फल का समान वितरण हो और कोई फल बचा न रहे। (क) उपहार डिब्बों की अधिकतम संख्या कितनी है? (ख) एक डिब्बे में प्रत्येक फल कितने होंगे? (ग) यदि आमों की कीमत ₹5, सेबों की ₹3 और संतरों की ₹4 है, तो एक उपहार डिब्बे की कीमत क्या होगी? **पूर्ण समाधान:** चरण 1 (भाग क): डिब्बों की अधिकतम संख्या निर्धारित करने के लिए 60, 84 और 108 का म.स. (HCF) ज्ञात करें। अभाज्य गुणनखंड: - 60 = 2² × 3 × 5 - 84 = 2² × 3 × 7 - 108 = 2² × 3³ म.स. = 2² × 3 = 12। डिब्बों की अधिकतम संख्या = 12। (सही गुणनखंड और म.स. के लिए 2 अंक।) चरण 2 (भाग ख): प्रत्येक फल को 12 डिब्बों में समान रूप से वितरित करें। - एक डिब्बे में आम = 60 ÷ 12 = 5 - एक डिब्बे में सेब = 84 ÷ 12 = 7 - एक डिब्बे में संतरे = 108 ÷ 12 = 9 प्रत्येक डिब्बे में 5 आम, 7 सेब और 9 संतरे हैं। (सही वितरण के लिए 1 अंक।) चरण 3 (भाग ग): एक डिब्बे की कीमत की गणना करें। कीमत = (5 × ₹5) + (7 × ₹3) + (9 × ₹4) = ₹25 + ₹21 + ₹36 = ₹82 एक उपहार डिब्बे की कीमत = ₹82। (अंकगणित और अंतिम उत्तर के लिए 2 अंक।) **कुल: 5 अंक।** यह प्रश्न म.स., विभाजन क्षमता और वास्तविक दुनिया की समस्या-समाधान को जोड़ता है—यह CBSE केस-स्टडी खंडों का विशिष्ट उदाहरण है।

एक बार 18 प्रश्न हल करना अच्छा है; लेकिन *पैटर्न* को रोज़ हल करना उत्कृष्टता है। CBSETUTOR.ai का AI ट्यूटर आपकी कमजोरियों के आधार पर ड्रिल को व्यक्तिगत करता है। अध्याय 5 के लिए, यह सिस्टम: (1) पहचानता है कि क्या आप विभाजन नियमों या अभाज्य गुणनखंड में संघर्ष कर रहे हैं; (2) एक ही कठिनाई स्तर से नए MCQs बनाता है, ताकि आप उत्तरों को याद किए बिना गति बनाएँ; (3) समस्या-सेट की कठिनाई को स्वचालित रूप से समायोजित करता है—यदि आप बुनियादी बातें भूलते हैं तो आसान, अगर आप अच्छे हों तो कठिन; (4) म.स./ल.स. अनुप्रयोगों पर आपकी प्रगति को सैद्धांतिक प्रश्नों से अलग ट्रैक करता है, ताकि आप जानें कि क्या संशोधित करना है; (5) तुरंत, चरण-दर-चरण प्रतिक्रिया प्रदान करता है (केवल 'सही' या 'गलत' नहीं), जो वैचारिक अंतराल को उजागर करता है। अधिकांश छात्र 15 मिनट के दैनिक केंद्रित अभ्यास के साथ 2–3 सप्ताह में अध्याय 5 में महारत हासिल करते हैं। cbsetutor.ai पर 3-दिवसीय निःशुल्क परीक्षण शुरू करें और अपने काम पर लाइव AI प्रतिक्रिया देखें—कोई कार्ड की आवश्यकता नहीं।

अपने बोर्ड परीक्षा या प्री-बोर्ड परीक्षा से पहले, सत्यापित करें कि आप कर सकते हैं: ✓ अभाज्य और भाज्य को तुरंत पहचानें (सूची: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …)। ✓ विभाजन परीक्षण लागू करें (2: सम; 3 और 9: अंकों का योग; 5: 0 या 5 में समाप्त; 10: 0 में समाप्त; 11: वैकल्पिक अंक अंतर)। ✓ बार-बार विभाजन का उपयोग करके अभाज्य गुणनखंड खोजें। ✓ अभाज्य गुणनखंड (न्यूनतम घात) या यूक्लिडीय एल्गोरिदम का उपयोग करके म.स. की गणना करें। ✓ अभाज्य गुणनखंड (सर्वोच्च घात) का उपयोग करके ल.स. की गणना करें और म.स. × ल.स. = n₁ × n₂ को सत्यापित करें। ✓ वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करें (व्यवस्था, घंटियाँ, जिम जाना, पैकेजिंग) म.स. या ल.स. संकेतों को पहचानकर। ✓ एराटोसथनीज की छलनी को एक विधि के रूप में समझाएँ और जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं को पहचानें। ✓ कथनों को सिद्ध करें जैसे 'भाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं के गुणनफल हैं' या 'सहअभाज्य × सहअभाज्य अवधारणा'। ये 18 प्रश्न आपकी वार्षिक परीक्षा में गारंटीकृत सभी छह अंक को कवर करते हैं। इन्हें तीन बार अभ्यास करें—पहले समझ के लिए, दूसरा गति के लिए, तीसरा समय की पाबंदी में आत्मविश्वास के लिए।