कक्षा 9 गणित अध्याय 4: अक्षर-संख्याओं का प्रयोग करके व्यंजक – संपूर्ण महत्वपूर्ण प्रश्न बैंक

CBSE कक्षा 9 गणित की बोर्ड परीक्षा में अध्याय 4 की सामग्री को 5–6 अंक दिए जाते हैं, जो आमतौर पर 1 अंक के MCQ, 2 अंक के संकल्पनात्मक प्रश्न और 3–5 अंक की समस्या-समाधान वाले प्रश्नों में बाँटे जाते हैं। पुराने पाठ्यक्रम के विपरीत जो बीजीय हेराफेरी पर भारी जोर देते थे, आज का बोर्ड पैटर्न *व्यंजकों की संरचना को समझने* पर ज़ोर देता है। आप इनका सामना करेंगे: (1) दिए गए व्यंजकों में चर, स्थिरांक और पद की पहचान करना; (2) सही तर्क के साथ समान और असमान पदों को वर्गीकृत करना; (3) व्यंजकों में विशेष संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित करना और परिणाम की गणना करना; (4) समान पदों को जोड़कर व्यंजकों को सरल करना; (5) शब्द समस्याओं से बीजीय व्यंजक लिखना। तर्कसंगत पाठ्यक्रम ने औपचारिक बहुपद विभाजन को हटा दिया लेकिन प्रतिस्थापन और सरलीकरण को मुख्य कौशल के रूप में बनाए रखा। परीक्षकों को स्पष्ट कार्य और तार्किक चरणों की सराहना करते हैं—एक 3 अंक का प्रश्न आपसे यह दिखाने की अपेक्षा करता है कि *क्यों* दोनों पद समान हैं उन्हें जोड़ने से पहले। ये प्रश्न NCERT पाठ्यपुस्तक के उदाहरणों (Ex. 4.1, 4.2, 4.3) और आधिकारिक नमूना पत्रों पर आधारित हैं, जो सुनिश्चित करता है कि हर प्रश्न परीक्षा की तैयारी को मजबूत करता है।

**प्रश्न 1.** निम्नलिखित में से कौन सा एक स्थिरांक है? (A) 7x (B) y (C) –5 (D) 2a + 3 **उत्तर: (C) –5** स्थिरांक एक निश्चित संख्यात्मक मान है जो नहीं बदलता। यहाँ, –5 के साथ कोई चर नहीं है, इसलिए यह स्थिरांक है। विकल्प (A) और (D) में चर (x और a) हैं, और (B) स्वयं एक चर है। --- **प्रश्न 2.** व्यंजक 3x² + 5x – 2 में, कौन सा पद दूसरों से असमान है? (A) 3x² (B) 5x (C) –2 (D) सभी समान हैं **उत्तर: (C) –2** समान पदों के समान चर भाग होते हैं। यहाँ, 3x² में चर x² है; 5x में चर x है; और –2 एक स्थिरांक है। स्थिरांक –2 दोनों 3x² और 5x से असमान है। --- **प्रश्न 3.** यदि x = 2 है, तो 4x + 7 का मान है: (A) 11 (B) 15 (C) 19 (D) 23 **उत्तर: (B) 15** x = 2 प्रतिस्थापित करें: 4(2) + 7 = 8 + 7 = 15. --- **प्रश्न 4.** कौन सी जोड़ी समान पदों वाली है? (A) 5ab और 3ba (B) 7x और 7x² (C) –4a²b और 5ab² (D) 2m और 3n **उत्तर: (A) 5ab और 3ba** चूँकि गुणन विनिमेय है, ab = ba। दोनों पदों का चर भाग समान है, इसलिए ये समान पद हैं। संख्यात्मक गुणांक (5 और 3) अलग हैं, लेकिन यह प्रभावित नहीं करता कि वे समान हैं या नहीं। --- **प्रश्न 5.** व्यंजक 2x + 3y – 5 में कितने पद हैं? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 **उत्तर: (C) 3** पद + या – चिन्हों से अलग होते हैं। यहाँ: 2x, 3y और –5 तीन पद हैं।

**प्रश्न 1.** व्यंजक 6m – 9 में चर, स्थिरांक और गुणांक की पहचान करें। **समाधान:** चर: m स्थिरांक: –9 गुणांक: 6 (चर m का संख्यात्मक गुणक) --- **प्रश्न 2.** समान पदों को जोड़ें और सरल करें: 4p + 7q – 2p + 3q. **समाधान:** समान पदों को समूहित करें: (4p – 2p) + (7q + 3q) = 2p + 10q सरलीकृत व्यंजक 2p + 10q है। --- **प्रश्न 3.** जब a = –1 हो, तो 5a² – 3a + 2 का मान ज्ञात करें। **समाधान:** a = –1 प्रतिस्थापित करें: 5(–1)² – 3(–1) + 2 = 5(1) + 3 + 2 = 5 + 3 + 2 = 10 --- **प्रश्न 4.** बताएँ कि पद 8xy और –5yx समान हैं या असमान। कारण दें। **समाधान:** ये पद **समान पद** हैं। **कारण:** दोनों में समान चर x और y हैं। चूँकि xy = yx (गुणन की विनिमेयता), चर भाग समान हैं। केवल गुणांक (8 और –5) अलग हैं। --- **प्रश्न 5.** बीजीय व्यंजक लिखें: "एक संख्या m का पाँच गुना 4 से घटाया गया।" **समाधान:** व्यंजक है: 5m – 4 ("m का पाँच गुना" = 5m; "4 से घटाया गया" = 4 घटाएँ।)

**प्रश्न 1.** समान पदों को जोड़कर सरल करें: 3x² – 5x + 4 – x² + 2x – 1, और फिर जब x = 2 हो तो मान ज्ञात करें। **समाधान:** चरण 1: समान पदों को समूहित करें। (3x² – x²) + (–5x + 2x) + (4 – 1) चरण 2: जोड़ें। = 2x² – 3x + 3 चरण 3: x = 2 प्रतिस्थापित करें। = 2(2)² – 3(2) + 3 = 2(4) – 6 + 3 = 8 – 6 + 3 = 5 --- **प्रश्न 2.** व्यंजक 7ab + 4bc – 3ac + 5ab – 2bc पर विचार करें। (a) सभी समान पद युग्मों की पहचान करें। (b) व्यंजक को सरल करें। **समाधान:** (a) समान पद युग्म: • 7ab और 5ab (दोनों का चर भाग ab है) • 4bc और –2bc (दोनों का चर भाग bc है) • –3ac का कोई समान पद नहीं है (b) सरलीकरण: (7ab + 5ab) + (4bc – 2bc) – 3ac = 12ab + 2bc – 3ac --- **प्रश्न 3.** यदि p = 3 और q = –2 हैं, तो 2p²q + 3pq² – pq का मान ज्ञात करें। **समाधान:** चरण 1: p = 3 और q = –2 प्रतिस्थापित करें। = 2(3)²(–2) + 3(3)(–2)² – (3)(–2) चरण 2: घातों का मूल्यांकन करें। = 2(9)(–2) + 3(3)(4) – (3)(–2) = –36 + 36 + 6 = 6 --- **प्रश्न 4.** एक आयत की लंबाई (2x + 3) cm है और चौड़ाई (x – 1) cm है। इसके परिमाप के लिए व्यंजक लिखें और सरल करें। **समाधान:** आयत का परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई) = 2[(2x + 3) + (x – 1)] = 2[2x + 3 + x – 1] = 2[3x + 2] = 6x + 4 cm

**प्रश्न 1.** तीन व्यंजकों पर विचार करें: A = 4a + 3b – 5c, B = –2a + b + 3c, और C = 3a – 4b + 2c. (a) A + B ज्ञात करें। (b) A – C ज्ञात करें। (c) जब a = 1, b = 2, और c = –1 हों तो A + B – C का मान ज्ञात करें। सभी चरण दिखाएँ। **समाधान:** (a) A + B ज्ञात करें: A + B = (4a + 3b – 5c) + (–2a + b + 3c) = 4a – 2a + 3b + b – 5c + 3c = 2a + 4b – 2c (b) A – C ज्ञात करें: A – C = (4a + 3b – 5c) – (3a – 4b + 2c) = 4a – 3a + 3b + 4b – 5c – 2c = a + 7b – 7c (c) A + B – C ज्ञात करें: भाग (a) से, A + B = 2a + 4b – 2c A + B – C = (2a + 4b – 2c) – (3a – 4b + 2c) = 2a – 3a + 4b + 4b – 2c – 2c = –a + 8b – 4c a = 1, b = 2, c = –1 प्रतिस्थापित करें: = –(1) + 8(2) – 4(–1) = –1 + 16 + 4 = 19 --- **प्रश्न 2.** एक दुकानदार के पास x कलम हैं जिनकी कीमत ₹2 प्रत्येक है, y पेंसिलें ₹1 प्रत्येक की हैं, और z रबड़ें ₹3 प्रत्येक की हैं। (a) कुल कीमत के लिए एक व्यंजक लिखें। (b) यदि दुकानदार 10 कलम, 15 पेंसिलें और 8 रबड़ें खरीदता है, तो कुल कीमत ज्ञात करें। (c) दुकानदार कुल पर ₹5 की छूट देता है। छूट के बाद अंतिम कीमत के लिए व्यंजक लिखें। **समाधान:** (a) कुल कीमत व्यंजक: C = 2x + y + 3z (रुपये में) (b) x = 10, y = 15, z = 8 प्रतिस्थापित करें: C = 2(10) + 15 + 3(8) = 20 + 15 + 24 = ₹59 (c) ₹5 छूट के बाद अंतिम कीमत का व्यंजक: अंतिम कीमत = (2x + y + 3z) – 5 x = 10, y = 15, z = 8 के लिए: अंतिम कीमत = 59 – 5 = ₹54 --- **प्रश्न 3.** सरल करें और सत्यापित करें: 5(2x – 3) – 3(x – 5) = 7x को x = 2 से जाँचकर। **समाधान:** चरण 1: बाईं ओर को विस्तृत करें। 5(2x – 3) – 3(x – 5) = 10x – 15 – 3x + 15 = 10x – 3x – 15 + 15 = 7x ✓ चरण 2: x = 2 से सत्यापित करें। बाईं ओर: 5(2·2 – 3) – 3(2 – 5) = 5(4 – 3) – 3(–3) = 5(1) + 9 = 5 + 9 = 14 दाईं ओर: 7(2) = 14 ✓ दोनों ओर 14 के बराबर हैं, इसलिए समीकरण सत्यापित है।

**केस स्टडी:** एक स्कूल एक फंड-रेजर का आयोजन करता है। टिकट बिक्री का मॉडल इस प्रकार है: • वयस्क टिकट की कीमत ₹50 है; छात्र टिकट की कीमत ₹20 है। • अगर a वयस्क और s छात्र टिकट खरीदते हैं, तो कुल राजस्व R = 50a + 20s रुपये है। • संचालन खर्च एक निश्चित ₹200 जमा बेचे गए प्रत्येक टिकट के लिए ₹5 है। • लाभ = राजस्व – कुल खर्च। **प्रश्न:** (a) a और s के संदर्भ में कुल संचालन खर्च के लिए एक व्यंजक लिखिए। (b) लाभ के लिए एक सरलीकृत व्यंजक लिखिए। (c) अगर 30 वयस्क और 60 छात्र टिकट खरीदते हैं, तो लाभ की गणना कीजिए। (d) लाभ ₹1000 से अधिक होने के लिए, (a + s) का न्यूनतम संयुक्त मान क्या होना चाहिए? (मान लीजिए कि वयस्कों और छात्रों का अनुपात 30:60 = 1:2 रहता है।) **समाधान:** (a) **कुल संचालन खर्च:** कुल टिकट = a + s खर्च = 200 + 5(a + s) = 200 + 5a + 5s रुपये (b) **लाभ के लिए व्यंजक:** लाभ = राजस्व – खर्च = (50a + 20s) – (200 + 5a + 5s) = 50a + 20s – 200 – 5a – 5s = 45a + 15s – 200 (c) **जब a = 30, s = 60 हो तो लाभ:** लाभ = 45(30) + 15(60) – 200 = 1350 + 900 – 200 = ₹2050 (d) **लाभ > ₹1000 के लिए न्यूनतम (a + s):** चूंकि अनुपात 1:2 है, मान लीजिए a = k और s = 2k। लाभ = 45k + 15(2k) – 200 > 1000 = 45k + 30k – 200 > 1000 = 75k > 1200 = k > 16 इसलिए न्यूनतम k = 17, जो a = 17, s = 34 देता है। न्यूनतम (a + s) = 17 + 34 = **51 लोग**।

हर छात्र अलग तरीके से सीखता है। CBSETUTOR.ai का मालिकाना AI ट्यूटर अध्याय 4 के प्रश्नों के प्रति आपकी प्रतिक्रियाओं का विश्लेषण रीयल टाइम में करता है—यह ट्रैक करता है कि क्या आप समान पद को गलत समझते हैं, प्रतिस्थापन के दौरान गणितीय त्रुटियां करते हैं, या बहु-चरणीय सरलीकरण में संघर्ष करते हैं। यह कैसे काम करता है: पहला, AI आपकी कमजोरी की पहचान करता है। अगर आप 3x और 3x² को समान पद के रूप में गलत तरीके से जोड़ते हैं (एक सामान्य त्रुटि), तो ट्यूटर इस अवधारणात्मक अंतर को चिह्नित करता है और आगे बढ़ने से पहले चर-भाग की पहचान पर 5 लक्षित अभ्यास बनाता है। दूसरा, यह कठिनाई को अनुकूलित करता है। क्या आप 2-अंक के प्रश्नों में महारत रखते हैं? AI स्वचालित रूप से 3- और 5-अंक की समस्याओं तक बढ़ता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि आप हमेशा चुनौती दिए जाते हैं लेकिन अभिभूत नहीं होते। तीसरा, यह उच्च-आत्मविश्वास वाले पैटर्न को दोहराता है। AI आपके साप्ताहिक कार्यक्रम में अचल और चर पर MCQs को दूरी पर रखता है ताकि याद रखना परीक्षा के दिन तक स्वचालित हो जाए। अंत में, यह बोर्ड परीक्षाओं का अनुकरण करता है। मॉक टेस्ट आधिकारिक CBSE पैटर्न—सटीक समय सीमा, अंकों का वितरण, और प्रश्न के प्रकार—को प्रतिबिंबित करते हैं, ताकि आप परीक्षा कक्ष में आत्मविश्वास के साथ प्रवेश करें। 90 दिनों के दौरान, CBSETUTOR.ai का उपयोग करने वाले छात्र बीजगणित अध्यायों पर 6–7 में से 9–10 तक सुधार करते हैं, क्योंकि AI अनुमान को समाप्त करता है और इसे व्यवस्थित महारत से बदल देता है। cbsetutor.ai पर 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण शुरू करें और देखें कि आपका बीजगणित आत्मविश्वास कैसे बदलता है।