कक्षा 9 गणित अध्याय 4: डेटा हैंडलिंग – समाधान के साथ संपूर्ण महत्वपूर्ण प्रश्न बैंक

डेटा हैंडलिंग (Data Handling) कक्षा 9 की अंतिम परीक्षा में 8-10 अंक वहन करता है, जो इसे एक उच्च-मूल्य अध्याय बनाता है। CBSE अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों पर ध्यान केंद्रित करता है जो केवल सूत्र याद रखने की बजाय वैचारिक समझ को परखते हैं। हाल के बोर्ड रुझानों से बढ़ी हुई जोर दिखाई देता है: (1) समूहीकृत आवृत्ति वितरण को पढ़ना और व्याख्या करना; (2) कई ग्राफ प्रकारों का उपयोग करके डेटासेट की तुलना करना; (3) समान रूप से संभावित परिणामों वाली वास्तविक दुनिया की संभाव्यता समस्याएं; (4) कच्चे डेटा को उचित लेबल और पैमाने के साथ दृश्य रूपों में बदलना। जो छात्र आवृत्ति वितरण तालिकाओं और हिस्टोग्राम निर्माण में महारत हासिल करते हैं वे आगे रहते हैं, क्योंकि ये अवधारणाएं सीधे कक्षा 10 सांख्यिकी और कक्षा 11 संभाव्यता से जुड़ी होती हैं। यह अध्याय समस्या-समाधान कौशल को भी एकीकृत करता है—आप केवल गणना नहीं करेंगे, आप विश्लेषण और व्याख्या भी करेंगे। यह लैंडिंग पेज सामरिक रूप से डिज़ाइन किए गए प्रश्न प्रदान करता है जो वास्तविक बोर्ड कठिनाई को दर्शाते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि आप परीक्षक द्वारा पूछे जा सकने वाले किसी भी बदलाव के लिए तैयार हैं।

**प्रश्न 1:** अंतराल 10–20 का वर्ग चिह्न है: (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 **उत्तर: (B) 15** *व्याख्या: वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) ÷ 2 = (10 + 20) ÷ 2 = 15* **प्रश्न 2:** एक पाई चार्ट तीन श्रेणियों के लिए 90°, 120° और 150° के कोण दिखाता है। चौथी श्रेणी के लिए कोण क्या है? (A) 360° (B) 240° (C) 0° (D) 45° **उत्तर: (C) 0°** *व्याख्या: पाई चार्ट में सभी कोणों का योग = 360°। चौथा कोण = 360° – (90° + 120° + 150°) = 0°। इसका मतलब है कि चौथी श्रेणी के पास कोई डेटा नहीं है।* **प्रश्न 3:** जब एक न्यायसंगत पासा फेंका जाता है, तो एक सम संख्या प्राप्त करने की संभाव्यता है: (A) 1/6 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 **उत्तर: (C) 1/2** *व्याख्या: अनुकूल परिणाम (सम) = {2, 4, 6} = 3। कुल परिणाम = 6। संभाव्यता = 3/6 = 1/2* **प्रश्न 4:** वर्ग अंतराल 25–35 की चौड़ाई है: (A) 10 (B) 25 (C) 35 (D) 60 **उत्तर: (A) 10** *व्याख्या: वर्ग चौड़ाई = उच्च सीमा – निम्न सीमा = 35 – 25 = 10* **प्रश्न 5:** एक आवृत्ति वितरण तालिका में, यदि किसी वर्ग की आवृत्ति 12 है और कुल आवृत्ति 60 है, तो सापेक्ष आवृत्ति है: (A) 0.2 (B) 0.5 (C) 0.8 (D) 1.2 **उत्तर: (A) 0.2** *व्याख्या: सापेक्ष आवृत्ति = वर्ग आवृत्ति ÷ कुल आवृत्ति = 12 ÷ 60 = 0.2*

**प्रश्न 1:** एक परीक्षा में 10 छात्रों द्वारा प्राप्त अंक हैं: 35, 42, 50, 50, 65, 70, 72, 80, 85, 90। 10 की चौड़ाई वाले अंतराल का उपयोग करके एक आवृत्ति वितरण तालिका बनाएं (30 से शुरू करते हुए)। **समाधान:** वर्ग अंतराल | आवृत्ति | मिलान चिह्न 30–40 | 1 | | 40–50 | 2 | || 50–60 | 2 | || 60–70 | 1 | | 70–80 | 2 | || 80–90 | 2 | || कुल | 10 | *प्रत्येक वर्ग उस श्रेणी में आने वाले अंकों की गणना दर्शाता है, डेटा वितरण का स्पष्ट सारांश प्रदान करते हुए।* **प्रश्न 2:** 200 परिवारों के सर्वेक्षण में, 80 के पास कार है, 120 के पास मोटरसाइकिल है, और 10 के पास दोनों हैं। एक पाई चार्ट प्रतिनिधित्व बनाएं (कोण ज्ञात करें)। **समाधान:** केवल कार = 80 – 10 = 70 केवल मोटरसाइकिल = 120 – 10 = 110 दोनों = 10 कोई नहीं = 200 – (70 + 110 + 10) = 10 केवल कार के लिए कोण = (70/200) × 360° = 126° केवल मोटरसाइकिल के लिए कोण = (110/200) × 360° = 198° दोनों के लिए कोण = (10/200) × 360° = 18° कोई नहीं के लिए कोण = (10/200) × 360° = 18° *पाई चार्ट इन चारों स्लाइसों को उनके कोणों के अनुपात में दिखाएगा।* **प्रश्न 3:** दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। सभी संभावित परिणाम सूचीबद्ध करें और कम से कम एक हेड प्राप्त करने की संभाव्यता ज्ञात करें। **समाधान:** संभावित परिणाम = {HH, HT, TH, TT} (कुल 4 परिणाम) अनुकूल परिणाम (कम से कम एक हेड) = {HH, HT, TH} (3 परिणाम) संभाव्यता = 3/4 = 0.75 *यह समान रूप से संभावित परिणाम सिद्धांत का प्रदर्शन करता है—प्रत्येक परिणाम की समान संभावना है।* **प्रश्न 4:** निम्नलिखित डेटा 15 छात्रों की ऊंचाई (सेमी में) दिखाता है: 150, 152, 155, 158, 160, 162, 160, 158, 155, 165, 167, 170, 172, 170, 168। डेटा को 5 की चौड़ाई वाली कक्षाओं में समूहित करें, 150 से शुरू करते हुए, और माध्यिका वर्ग का वर्ग चिह्न ज्ञात करें। **समाधान:** वर्ग | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति 150–155 | 3 | 3 155–160 | 4 | 7 160–165 | 2 | 9 165–170 | 4 | 13 170–175 | 2 | 15 माध्यिका वर्ग (n/2 = 7.5) = 155–160 वर्ग चिह्न = (155 + 160) ÷ 2 = 157.5 सेमी **प्रश्न 5:** एक बैग में 5 लाल गेंदें, 3 नीली गेंदें और 2 हरी गेंदें हैं। यदि एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है, तो निम्नलिखित की संभाव्यता ज्ञात करें: (i) एक लाल गेंद, (ii) एक गैर-नीली गेंद। **समाधान:** कुल गेंदें = 5 + 3 + 2 = 10 (i) लाल की संभाव्यता = 5/10 = 1/2 = 0.5 (ii) गैर-नीली गेंदें = 5 + 2 = 7 गैर-नीली की संभाव्यता = 7/10 = 0.7 *यह समान रूप से संभावित परिणामों वाली व्यावहारिक परिस्थितियों में संभाव्यता के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।*

**प्रश्न 1:** निम्नलिखित हिस्टोग्राम 50 कर्मचारियों के वजन (किग्रा में) का वितरण दिखाता है। हिस्टोग्राम की व्याख्या करें और निम्नलिखित का उत्तर दें: (a) किस वजन वर्ग की अधिकतम आवृत्ति है? (b) कितने कर्मचारियों का वजन 60–70 किग्रा के बीच है? (c) वर्ग की चौड़ाई क्या है? [मान लें कि हिस्टोग्राम दिखाता है: 40–50 (5), 50–60 (15), 60–70 (20), 70–80 (8), 80–90 (2)] **समाधान:** (a) 60–70 किग्रा वर्ग की 20 कर्मचारियों की अधिकतम आवृत्ति है। यह बहुलक वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। (b) 60–70 किग्रा के बीच कर्मचारी = 20 (c) वर्ग चौड़ाई = 50 – 40 = 10 किग्रा (या कोई भी क्रमागत वर्ग अंतर) *हिस्टोग्राम डेटा सांद्रण और पैटर्न की त्वरित दृश्य पहचान की अनुमति देते हैं।* **प्रश्न 2:** 360 छात्रों के पसंदीदा खेलों के सर्वेक्षण में दिखता है: क्रिकेट 120°, फुटबॉल 90°, बास्केटबॉल 80°, टेनिस 70°। निम्नलिखित को पसंद करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करें: (a) क्रिकेट (b) बास्केटबॉल और टेनिस संयुक्त (c) फुटबॉल को छोड़कर खेल **समाधान:** (a) क्रिकेट को पसंद करने वाले छात्र = (120/360) × 360 = 120 छात्र (b) बास्केटबॉल कोण = 80°, टेनिस कोण = 70°, संयुक्त = 150° छात्र = (150/360) × 360 = 150 छात्र (c) फुटबॉल कोण = 90°, शेष कोण = 360° – 90° = 270° छात्र = (270/360) × 360 = 270 छात्र *पाई चार्ट कोणों को सीधे आवृत्तियों में रूपांतरित करने में सक्षम बनाते हैं।* **प्रश्न 3:** तीन कार्ड क्रमशः 2, 4, 6 संख्याएं लेकर एक बॉक्स में रखे जाते हैं। दो कार्ड बिना प्रतिस्थापन के एक साथ निकाले जाते हैं। निम्नलिखित ज्ञात करें: (a) संभावित परिणामों की कुल संख्या (b) दोनों सम संख्याएं प्राप्त करने की संभाव्यता (c) योग ≥ 8 प्राप्त करने की संभाव्यता **समाधान:** (a) संभावित परिणाम = {(2,4), (2,6), (4,6)} = 3 परिणाम (b) सभी परिणामों की दोनों सम संख्याएं हैं, तो P = 3/3 = 1 (c) अनुकूल परिणाम: (2,6) योग=8, (4,6) योग=10 → 2 परिणाम P = 2/3 *व्यवस्थित सूचीकरण सुनिश्चित करता है कि समान रूप से संभावित परिदृश्यों में कोई परिणाम छूटे नहीं।* **प्रश्न 4:** 20 कर्मचारियों की आयु (वर्षों में) है: 25, 28, 30, 25, 32, 35, 28, 30, 32, 35, 38, 25, 28, 30, 35, 38, 40, 42, 40, 45। एक आवृत्ति तालिका बनाएं और निम्नलिखित ज्ञात करें: (a) बहुलक आयु (b) 35 वर्ष से कम आयु वाले कर्मचारी (c) 40 वर्ष या अधिक आयु वाले कर्मचारियों का प्रतिशत **समाधान:** आयु | आवृत्ति 25 | 3 28 | 3 30 | 3 32 | 2 35 | 3 38 | 2 40 | 2 42 | 1 45 | 1 (a) बहुलक आयु = 25, 28, 30, 35 (सभी 3 बार प्रकट होते हैं, बहु-बहुलक) (b) 35 से कम आयु के कर्मचारी = 3 + 3 + 3 + 2 = 11 (c) ≥40 आयु वाले कर्मचारी = 2 + 1 + 1 = 4 प्रतिशत = (4/20) × 100 = 20% *आवृत्ति तालिकाएं तीव्र सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए असमूहीकृत डेटा को व्यवस्थित करती हैं।*

**केस स्टडी:** पर्यावरणीय सर्वेक्षण – प्लास्टिक कचरा प्रबंधन एक नगर निगम ने 360 घरों का सर्वेक्षण किया ताकि प्लास्टिक कचरे के निपटान की आदतों को समझा जा सके। पाई चार्ट वितरण दिखाता है: - जलाना (40°) - लैंडफिल (120°) - पुनर्चक्रण (100°) - खाद बनाना (60°) - अन्य तरीके (40°) इसके अलावा, 20 घरों को यादृच्छिक रूप से चुना गया, और उनके साप्ताहिक प्लास्टिक कचरे (kg में) को दर्ज किया गया: 0.5, 0.8, 1.0, 1.2, 1.5, 1.8, 2.0, 2.5, 0.6, 0.9, 1.1, 1.3, 1.6, 1.9, 2.1, 2.3, 0.7, 1.4, 2.2, 2.4 **प्रश्न:** (A) पाई चार्ट डेटा से: (i) कितने घर पुनर्चक्रण का उपयोग करते हैं? (ii) लैंडफिल का उपयोग करने वाले घरों और खाद बनाने वाले घरों का अनुपात क्या है? (iii) यदि एक घर को यादृच्छिक रूप से चुना जाए, तो वह जलाने या "अन्य तरीकों" का उपयोग करने की संभावना क्या है? (B) कचरे के डेटा से: (i) वर्ग चौड़ाई 0.5 के साथ आवृत्ति वितरण तालिका बनाएँ, 0.5 से शुरू करते हुए (ii) एक हिस्टोग्राम बनाएँ (iii) संभावना ज्ञात करें कि एक घर ≥1.5 kg साप्ताहिक प्लास्टिक कचरा पैदा करता है (iv) कितने प्रतिशत घर 1.0–2.0 kg कचरा पैदा करते हैं? **चरण-दर-चरण समाधान:** **भाग A:** (i) **पुनर्चक्रण वाले घर:** पुनर्चक्रण कोण = 100° घरों की संख्या = (100/360) × 360 = 100 घर (ii) **लैंडफिल से खाद बनाने का अनुपात:** लैंडफिल कोण = 120°, घर = (120/360) × 360 = 120 खाद बनाने का कोण = 60°, घर = (60/360) × 360 = 60 अनुपात = 120 : 60 = 2 : 1 (iii) **जलाने या अन्य तरीकों की संभावना:** जलाने का कोण = 40°, अन्य कोण = 40° संयुक्त कोण = 80° संभावना = 80/360 = 2/9 ≈ 0.222 **भाग B:** (i) **आवृत्ति वितरण तालिका:** वर्ग (kg) | टैली | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति 0.5–1.0 | |||| | 5 | 5 1.0–1.5 | |||| | 4 | 9 1.5–2.0 | |||| | 6 | 15 2.0–2.5 | ||||| | 5 | 20 कुल: 20 घर (ii) **हिस्टोग्राम:** - X-अक्ष: साप्ताहिक प्लास्टिक कचरा (kg) 0.5 से 2.5 तक - Y-अक्ष: आवृत्ति (0 से 7, 1 के अंतराल में) - बार की ऊँचाई: 5, 4, 6, 5 (आसन्न बार, कोई अंतराल नहीं) - 1.5–2.0 kg वर्ग अधिकतम आवृत्ति दिखाता है (iii) **≥1.5 kg कचरे की संभावना:** ≥1.5 kg वाले घर = 6 + 5 = 11 संभावना = 11/20 = 0.55 (iv) **1.0–2.0 kg पैदा करने वाले घरों का प्रतिशत:** 1.0–1.5 kg वर्ग में घर = 4 1.5–2.0 kg वर्ग में घर = 6 कुल = 10 प्रतिशत = (10/20) × 100 = 50% **आलोचनात्मक सोच विस्तार:** यदि नगर निगम पुनर्चक्रण को बढ़ावा देना चाहता है, तो इसे पहले कचरे के किस खंड (निम्न, मध्यम, उच्च) को लक्ष्य करना चाहिए? डेटा के आधार पर, 55% घर साप्ताहिक रूप से ≥1.5 kg पैदा करते हैं—यह एक महत्वपूर्ण मात्रा है। 1.5–2.0 kg श्रेणी वाले घरों (कुल का 30%) को पुनर्चक्रण प्रोत्साहन के साथ लक्ष्य करना अधिकतम पर्यावरणीय लाभ दे सकता है। **संख्यात्मक सत्यापन:** 5 + 4 + 6 + 5 = 20 ✓, सभी कोण 360° का योग करते हैं ✓

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**गलती 1: वर्ग अंतराल संकेतन को भ्रमित करना** छात्र अक्सर वर्ग 10–20 को सीमाएँ 10 और 20 के रूप में मानते हैं, यह भूल जाते हैं कि समूहीकृत आवृत्ति वितरण में, 20 का मान *अगले* वर्ग (20–30) से संबंधित है। हमेशा स्पष्ट करें कि क्या अंतराल समावेशी हैं: क्या 20–30 का अर्थ 20 ≤ x < 30 या 20 < x ≤ 30 है? NCERT कक्षा 9 सम्मेलन का उपयोग करता है कि निचली सीमा शामिल है और ऊपरी को छोड़ दिया जाता है, *अंतिम वर्ग को छोड़कर*। यह अंतर संचयी आवृत्ति गणनाओं को प्रभावित करता है। **गलती 2: गलत हिस्टोग्राम निर्माण** कई छात्र बार के बीच अंतराल के साथ हिस्टोग्राम बनाते हैं या असमान बार चौड़ाई के साथ। याद रखें: हिस्टोग्राम **सतत समूहीकृत डेटा** के लिए हैं और आसन्न बार होने चाहिए (कोई अंतराल नहीं)। बार ऊँचाई = आवृत्ति ÷ वर्ग चौड़ाई (यदि चौड़ाई अलग हैं)। जब वर्ग चौड़ाई भिन्न हो तो ऊँचाई को समायोजित न करना दृश्य गलतफहमी की ओर ले जाता है। **गलती 3: पाई चार्ट कोण त्रुटियाँ** सूत्र भूलें नहीं, सिद्धांत नहीं। कोण = (आवृत्ति ÷ कुल आवृत्ति) × 360°। कई छात्र कुल गणना को गलत करते हैं या प्रतिशत (0–100) का उपयोग करते हैं कोण (0–360°) के बजाय। हमेशा सत्यापित करें: सभी कोणों का योग 360° के बराबर होना चाहिए। **गलती 4: संभावना ≠ आवृत्ति** संभावना = (अनुकूल परिणाम) ÷ (कुल समान रूप से संभावित परिणाम), हिस्टोग्राम से आवृत्ति नहीं। यदि एक पासा 10 बार में एक बार 6 दिखाता है, तो 6 की संभावना 1/6 (सिद्धांत) है, 1/10 नहीं (देखी गई आवृत्ति)। नमूना प्रयोग बड़ी संख्या के नियम के रूप में 1/6 तक पहुँचता है। **गलती 5: सभी परिणामों को सूचीबद्ध करना भूलना** समान रूप से संभावित परिणाम समस्याओं में (जैसे, दो सिक्के), छात्र मानसिक रूप से शॉर्टकट करते हैं और शाखाएँ याद करते हैं। हमेशा व्यवस्थित तरीके का उपयोग करें: सूचियाँ, पेड़ के आरेख, या तालिकाएँ। दो सिक्कों के लिए: {HH, HT, TH, TT}—बस {H, T} नहीं। अधूरी सूचीबद्धता गलत संभावनाओं की ओर ले जाती है। **गलती 6: संचयी आवृत्ति की गलत व्याख्या** एक वर्ग पर संचयी आवृत्ति = उस वर्ग तक की आवृत्तियों का योग। यह "इस मान तक कितने अंक प्राप्त किए" का उत्तर देता है, "इस श्रेणी में कितने अंक प्राप्त किए" नहीं। संचयी आवृत्ति बिंदुओं को ऊपरी वर्ग सीमाओं पर (मध्यबिंदु नहीं) प्लॉट करना एक *ओजाइव* (संचयी वक्र) बनाता है।