कक्षा 9 गणित अध्याय 2 रेखाएँ और कोण: 18 महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

रेखाएं और कोण (अध्याय 2) CBSE कक्षा 9 में अनिवार्य है और बोर्ड परीक्षा में आमतौर पर 4–6 अंक लाता है। 2024-25 की सुव्यवस्थित पाठ्यक्रम ज्यामितीय संबंधों की समझ को रटने से ज्यादा महत्व देती है। अब प्रश्न परीक्षण करते हैं: (1) प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके कोणों को मापने और कम्पास तथा सीधी किनारी से बनाने की क्षमता; (2) कोण युग्मों और वास्तविक दुनिया के संदर्भ में उनके गुणों की पहचान; (3) शीर्षाभिमुख कोणों, रैखिक युग्मों और उनके संपूरक/पूरक संबंधों के बारे में तर्क। बोर्ड परीक्षक तेजी से मिश्रित-विषय प्रश्न पूछते हैं जो परिभाषाओं को समस्या-समाधान के साथ जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, आप प्रतिच्छेदी रेखाएं दिखाने वाला एक आरेख देख सकते हैं जिसमें कोणों के लिए बीजगणितीय व्यंजक हों, जिसमें शीर्षाभिमुख कोण प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात कोणों को खोजना आवश्यक हो। लघु-उत्तरीय प्रश्न (2 अंक) परीक्षण करते हैं कि आप समझा सकते हैं कि कोण ऐसा क्यों व्यवहार करते हैं, केवल नियम बताना नहीं। दीर्घ-उत्तरीय प्रश्न (5 अंक) में अक्सर निर्माण के चरण होते हैं जिनके बाद प्रमाण या औचित्य दिया जाता है। इन 18 महत्वपूर्ण प्रश्नों को समझना आपको सभी ऐसी विविधताओं के लिए तैयार करता है और ज्यामिति में आत्मविश्वास बढ़ाता है।

**प्रश्न 1:** दो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक कोण 35° मापता है, तो शीर्षाभिमुख कोण का माप क्या है? (A) 35° (B) 90° (C) 145° (D) 180° **उत्तर: (A) 35°** **व्याख्या:** शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं। जब दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो 35° के सामने का कोण भी 35° है। **प्रश्न 2:** किरण (ray) की सर्वोत्तम परिभाषा है: (A) दो अंतबिंदुओं वाली एक रेखा खंड (B) एक रेखा का एक भाग जिसका एक अंतबिंदु है, एक दिशा में अनंत तक विस्तारित होता है (C) दो बिंदुओं के बीच एक रेखा का हिस्सा (D) दिशा के बिना एक सीधा पथ **उत्तर: (B)** **व्याख्या:** किरण का ठीक एक प्रारंभिक बिंदु (अंतबिंदु) होता है और एक दिशा में अनंत तक विस्तारित होता है। किरण AB बिंदु A से शुरू होती है और B से गुजरती है, आगे बढ़ते हुए। **प्रश्न 3:** यदि दो आसन्न कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, तो उनका योग है: (A) 90° (B) 180° (C) 270° (D) 360° **उत्तर: (B) 180°** **व्याख्या:** रैखिक युग्म में दो आसन्न कोण होते हैं जिनकी गैर-साझा भुजाएं एक सीधी रेखा बनाती हैं। रैखिक युग्म स्वयंसिद्ध के अनुसार, उनके माप 180° तक जोड़ते हैं (संपूरक)। **प्रश्न 4:** निम्नलिखित में से कौन एक कोण का प्रकार नहीं है? (A) न्यून कोण (B) समकोण (C) लंबवत कोण (D) प्रतिवर्ती कोण **उत्तर: (C) लंबवत कोण** **व्याख्या:** न्यून कोण 0° और 90° के बीच मापता है, समकोण बिल्कुल 90° है, और प्रतिवर्ती कोण 180° और 360° के बीच है। "लंबवत" रेखाओं के बीच एक संबंध को दर्शाता है, कोण का प्रकार नहीं। **प्रश्न 5:** एक कोण 127° मापता है। इसका संपूरक कोण क्या है? (A) 63° (B) 53° (C) 90° (D) 180° **उत्तर: (B) 53°** **व्याख्या:** दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग 180° है। 127° का संपूरक = 180° − 127° = 53°।

**प्रश्न 1:** रेखा खंड और किरण को परिभाषित करें। वे कैसे भिन्न हैं? **उत्तर:** **रेखा खंड** एक रेखा का वह भाग है जो दो अलग-अलग अंतबिंदुओं से सीमित है। इसकी एक निश्चित लंबाई है और अंतबिंदुओं से आगे नहीं बढ़ता। उदाहरण: खंड AB जिसके अंतबिंदु A और B हैं। **किरण** एक रेखा का वह भाग है जो एक बिंदु (अंतबिंदु) से शुरू होता है और एक दिशा में अनंत तक विस्तारित होता है। इसके आगे की दिशा में कोई अंतबिंदु नहीं है। उदाहरण: किरण AB बिंदु A से शुरू होती है और B से गुजरती है, हमेशा के लिए विस्तारित होती है। **अंतर:** रेखा खंड के दो अंतबिंदु और सीमित लंबाई होती है, जबकि किरण का एक अंतबिंदु और अनंत लंबाई होती है। **प्रश्न 2:** दो आसन्न कोण क्रमशः (3x + 5)° और (2x − 10)° मापते हैं, और वे एक रैखिक युग्म बनाते हैं। x का मान और दोनों कोणों के माप ज्ञात करें। **उत्तर:** चूंकि कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, उनका योग 180° है। (3x + 5) + (2x − 10) = 180 5x − 5 = 180 5x = 185 x = 37 पहला कोण = 3(37) + 5 = 111 + 5 = 116° दूसरा कोण = 2(37) − 10 = 74 − 10 = 64° सत्यापन: 116° + 64° = 180° ✓ **प्रश्न 3:** तीन रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे छह कोण बनते हैं। यदि एक कोण 60° मापता है, तो 60° मापने वाले कोण को नाम दें और अपने तर्क को समझाएं। **उत्तर:** जब तीन रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो वे उस बिंदु के चारों ओर छह कोण बनाती हैं। 60° कोण के शीर्षाभिमुख कोण का माप भी 60° है। इसके अलावा, यदि तीन रेखाएं इस तरह व्यवस्थित हों कि एक युग्म 60° का कोण बनाता है, तो इसके शीर्षाभिमुख कोण का माप हमेशा शीर्षाभिमुख कोण प्रमेय द्वारा 60° होगा। शेष चार कोण इनके संपूरक होंगे, प्रत्येक 180° − 60° = 120° मापता है। **प्रश्न 4:** एक कोण अपने पूरक कोण का तीन गुना है। कोण और उसका पूरक कोण ज्ञात करें। **उत्तर:** मान लीजिए कोण x° है। इसका पूरक (90 − x)° है। दिया गया: x = 3(90 − x) x = 270 − 3x 4x = 270 x = 67.5° पूरक = 90 − 67.5 = 22.5° सत्यापन: 67.5 = 3 × 22.5 ✓ **प्रश्न 5:** निम्नलिखित कोणों को वर्गीकृत करें: 45°, 90°, 135°, 210°, 359°। **उत्तर:** 45°: न्यून कोण (0° < 45° < 90°) 90°: समकोण (ठीक 90°) 135°: अधिक कोण (90° < 135° < 180°) 210°: प्रतिवर्ती कोण (180° < 210° < 360°) 359°: प्रतिवर्ती कोण (180° < 359° < 360°)

**प्रश्न 1:** दो समांतर रेखाएं एक तिर्यक रेखा द्वारा काटी जाती हैं। यदि तिर्यक रेखा के एक ओर का एक आंतरिक कोण (4x + 20)° मापता है, और दूसरा (3x + 10)° मापता है, तो x का मान ज्ञात करें। (नोट: एक ही ओर के आंतरिक कोण संपूरक होते हैं।) **उत्तर:** एक ही ओर के आंतरिक कोण (सह-आंतरिक कोण) जो एक तिर्यक द्वारा दो समांतर रेखाओं को काटते समय बनते हैं, संपूरक होते हैं। (4x + 20) + (3x + 10) = 180 7x + 30 = 180 7x = 150 x = 150/7 ≈ 21.43° पहला कोण = 4(150/7) + 20 = 600/7 + 140/7 = 740/7 ≈ 105.71° दूसरा कोण = 3(150/7) + 10 = 450/7 + 70/7 = 520/7 ≈ 74.29° सत्यापन: 105.71° + 74.29° = 180° ✓ **प्रश्न 2:** प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके, समझाएं कि आप 120° का कोण कैसे मापते हैं, और फिर कम्पास और सीधी किनारी का उपयोग करके समान कोण की रचना करें। **उत्तर:** **प्रोट्रैक्टर से मापना:** प्रोट्रैक्टर के केंद्र को कोण के शीर्ष पर रखें। प्रोट्रैक्टर की आधार रेखा को कोण की एक भुजा के साथ संरेखित करें। वह पैमाना पढ़ें जहां दूसरी भुजा प्रतिच्छेद करती है। 120° कोण के लिए, पठन 120° होना चाहिए (उपयुक्त पैमाना उपयोग करें)। **कम्पास और सीधी किनारी से निर्माण:** 1. किरण AB खींचें (आधार किरण)। 2. कम्पास को A पर रखें और किसी भी त्रिज्या का एक चाप खींचें, जो AB को बिंदु P पर काटे। 3. समान त्रिज्या का उपयोग करते हुए, कम्पास को P पर रखें और पहले चाप को Q पर काटने वाला चाप खींचें। 4. त्रिज्या को बदले बिना, कम्पास को Q पर रखें और पहले चाप को R पर काटने वाला एक और चाप खींचें। 5. कम्पास को R पर रखें और इसे Q पर चाप से मिलाने के लिए समायोजित करें (अब त्रिज्या बड़ी है)। 6. P से, इस नई त्रिज्या के साथ एक चाप खींचें, जो प्रारंभिक चाप को S पर काटे। 7. किरण AS खींचें। कोण BAS = 120°। **प्रश्न 3:** दो रेखाएं AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे चार कोण बनते हैं। यदि कोण AOC का माप (2a − 5)° है, तो अन्य तीन कोणों के माप a के पद में व्यक्त करें, और सत्यापित करें कि उनका योग 360° है। **उत्तर:** मान लीजिए ∠AOC = (2a − 5)°। शीर्षाभिमुख कोण: ∠BOD = (2a − 5)° (शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं)। आसन्न कोण: ∠AOD और ∠BOC, ∠AOC के संपूरक हैं। ∠AOD = 180 − (2a − 5) = 185 − 2a ∠BOC = 180 − (2a − 5) = 185 − 2a **सभी चार कोणों का योग:** (2a − 5) + (2a − 5) + (185 − 2a) + (185 − 2a) = 4a − 10 + 370 − 4a = 360° ✓ **प्रश्न 4:** तीन किरणें OA, OB और OC बिंदु O से निकलती हैं। यदि ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°, और ∠AOC = 85° है, तो दिखाएं कि तीन किरणें समतलीय हैं। (नोट: समतलीय किरणें एक ही समतल में स्थित होती हैं यदि एक किरण अन्य दो के बीच में हो।) **उत्तर:** तीन किरणें समतलीय होने के लिए, सबसे बाहरी दोनों के बीच का कोण मध्यवर्ती कोणों के योग के बराबर होना चाहिए। दिया गया: ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°, ∠AOC = 85°। जांच करें: ∠AOB + ∠BOC = 35° + 50° = 85° = ∠AOC ✓ इसका मतलब है कि किरण OB किरणों OA और OC के बीच समतल में स्थित है। इसलिए, सभी तीन किरणें एक ही समतल में स्थित हैं, जिससे पुष्टि होती है कि वे समतलीय हैं।

**प्रश्न 1:** बिंदु O से चार किरणें निकलती हैं, जो समतल को चार कोणों में विभाजित करती हैं। कोण 1 : 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। प्रत्येक कोण का माप ज्ञात करें और सबसे बड़े कोण की कम्पास से रचना करें। **समाधान:** मान लीजिए चार कोण x, 2x, 3x और 4x हैं। चूंकि ये कोण बिंदु O के चारों ओर एक संपूर्ण कोण बनाते हैं: x + 2x + 3x + 4x = 360° 10x = 360° x = 36° चार कोण हैं: 36°, 72°, 108°, और 144°। **144° कोण की रचना:** 1. किरण OA खींचें (आधार रेखा)। 2. कम्पास को O पर रखें, एक चाप खींचें जो OA को P पर काटे। 3. P से, समान त्रिज्या के साथ, चाप के साथ बिंदुओं Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ पर चाप खींचें (प्रत्येक 36° वृद्धि दर्शाते हैं)। 4. चौथे विभाजन को Q के रूप में चिह्नित करें (144° का प्रतिनिधित्व करते हुए)। 5. O को Q से जोड़ें। किरण OQ, OA के साथ 144° का कोण बनाता है। 6. प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके सत्यापित करें: कोण AOQ = 144°। **प्रश्न 2:** दो सीधी रेखाएं PQ और RS बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक अन्य रेखा TU, O से गुजरती है, O के चारों ओर छह कोण बनाती है। यदि PQ और TU के बीच का कोण 28° है, तो सभी छह कोण ज्ञात करें और सत्यापित करें कि उनका योग 360° है। **समाधान:** जब तीन रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो वे O के चारों ओर छह कोण बनाती हैं। दिया गया: एक कोण = 28°। शीर्षाभिमुख कोण = 28°। 28° वाली सीधी रेखा के साथ शेष दो कोण: प्रत्येक = 180° − 28° = 152°। चूंकि तीन रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, हमारे पास शीर्षाभिमुख कोणों के तीन युग्म हैं। कोण: 28°, 152°, 28°, 152° (दो रेखाओं के लिए), और तीसरी रेखा इनमें से एक को आगे विभाजित करती है। सरलता के लिए, मान लीजिए तीसरी रेखा 152° के एक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है: 76° और 76°। कोण: 28°, 76°, 76°, 28°, 76°, 76°। **सत्यापन:** 28 + 76 + 76 + 28 + 76 + 76 = 360° ✓ **प्रश्न 3:** कम्पास और सीधी किनारी का उपयोग करके, 75° का कोण बनाएं और फिर उसके समद्विभाजक की रचना करें। सत्यापित करें कि प्रत्येक आधा 37.5° मापता है। **समाधान:** **चरण 1: 75° बनाएं** 75° = 45° + 30°। 60° बनाएं (समबाहु त्रिभुज विधि), फिर 30° प्राप्त करने के लिए द्विभाजित करें। 90° बनाएं (लंबवत), फिर 45° प्राप्त करने के लिए द्विभाजित करें। संयोजन: 45° + 30° = 75°। - किरण OA खींचें। - लंबवत द्विभाजक का उपयोग करके 90° बनाएं, बिंदु B चिह्नित करें। - 90° कोण को द्विभाजित करके 45° प्राप्त करें; बिंदु C₁ चिह्नित करें। - समबाहु त्रिभुज का उपयोग करके 60° बनाएं; बिंदु D चिह्नित करें। - 60° को द्विभाजित करके 30° प्राप्त करें; बिंदु E चिह्नित करें। - OC₁ और OE के बीच का कोण 45° − 15° = 30° है... (वैकल्पिक: संयोजन विधि का उपयोग करें)। **चरण 2: 75° कोण को द्विभाजित करें** 1. केंद्र O और किसी भी त्रिज्या के साथ, एक चाप खींचें जो 75° कोण की दोनों भुजाओं को बिंदुओं P और Q पर काटे। 2. केंद्र P और Q के साथ, बराबर त्रिज्या (PQ के आधे से अधिक) के चाप खींचें जो बिंदु R पर प्रतिच्छेद करते हैं। 3. किरण OR खींचें। यह कोण का समद्विभाजक है। 4. कोण AOR = कोण ROB = 75° ÷ 2 = 37.5°। **सत्यापन:** प्रोट्रैक्टर से कोण AOR और ROB को मापें; प्रत्येक 37.5° होना चाहिए।

**केस-स्टडी प्रश्न:** एक सर्वेक्षणकर्ता दो सड़कों के चौराहे पर कोण मापा रहा है। सड़क 1 उत्तर-दक्षिण दिशा में चलती है, और सड़क 2 पूर्व-पश्चिम दिशा में चलती है, जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है। एक तीसरी सड़क (बाईपास) सड़क 1 के साथ 35° का कोण बनाती है (उत्तर से दक्षिणावर्त दिशा में मापा गया)। सर्वेक्षणकर्ता को निम्नलिखित ज्ञात करना है: (a) बाईपास सड़क 2 के साथ कौन सा कोण बनाती है। (b) सड़क 1 और बाईपास के बीच का प्रतिवर्ती कोण। (c) यदि एक चौथी सड़क (डिटौर) बाईपास के समांतर बनाई जाती है और सड़क 2 को प्रतिच्छेद करती है, तो डिटौर सड़क 2 के साथ कौन सा कोण बनाती है? **समाधान तर्क के साथ:** **भाग (a): बाईपास और सड़क 2 के बीच का कोण** सड़क 1 और सड़क 2 लंबवत हैं (उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम)। बाईपास सड़क 1 के साथ 35° बनाती है। बाईपास और सड़क 2 के बीच का कोण = 90° − 35° = 55° (चूंकि सड़क 1 ⊥ सड़क 2)। वैकल्पिक रूप से, यदि तीव्र कोण के रूप में मापा जाए: बाईपास, सड़क 1, और सड़क 2 एक त्रिभुज बनाते हैं जिसमें एक 90° कोण है। बाईपास और सड़क 2 के बीच का कोण 90° − 35° = 55° है। **भाग (b): सड़क 1 और बाईपास के बीच का प्रतिवर्ती कोण** गैर-प्रतिवर्ती कोण 35° है। प्रतिवर्ती कोण 360° − 35° = 325° है। या, सीधे कोण पर विचार करते हुए: 180° + 35° = 215° (यदि विपरीत दिशा से मापा जाए)। सबसे सटीक रूप से: प्रतिवर्ती कोण = 360° − 35° = 325°। **भाग (c): डिटौर और सड़क 2 के बीच का कोण** डिटौर बाईपास के समांतर है। जब दो समांतर रेखाएं (बाईपास और डिटौर) एक तिर्यक रेखा (सड़क 2) द्वारा काटी जाती हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं। चूंकि बाईपास सड़क 2 के साथ 55° बनाती है, डिटौर भी सड़क 2 के साथ 55° बनाती है (संगत कोण गुण)। **मुख्य अवधारणाएं परीक्षण की जा रही हैं:** कोणों का पूरक/संपूरक, समांतर रेखाओं के गुण, चौराहों पर कोण संबंध, ज्यामिति का वास्तविक-विश्व अनुप्रयोग।

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