कक्षा 9 गणित अध्याय 13 परिमाप और क्षेत्रफल: 13 पिछले वर्ष के प्रश्न और समाधान
अध्याय 13 (परिमाप और क्षेत्रफल) आपकी 2D ज्यामिति सूत्रों और उनके वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग की समझ को परीक्षण करता है। परीक्षा बोर्ड सीधे-सादे सूत्र प्रश्नों को अनियमित आकृतियों, क्षेत्रों और मिश्रित आकृतियों से जुड़ी बहु-चरणीय समस्याओं के साथ मिलाना पसंद करते हैं। पिछले वर्ष के प्रश्नों के माध्यम से काम करना आपको सामान्य पैटर्न को पहचानना, लापरवाही की त्रुटियों से बचना और अंतिम परीक्षा में समय का प्रबंधन करना सिखाता है। यह गाइड पिछले पाँच वर्षों के सबसे दोहराए गए 1-अंक, 3-अंक और 5-अंक प्रश्नों को एकत्रित करता है, जिसमें हल किए गए समाधान और रणनीति के सुझाव दिए गए हैं। चाहे आप अपनी अंतिम परीक्षा से पहले संशोधन कर रहे हों या वैचारिक शक्ति बना रहे हों, पिछले पत्रों को हल करना सिद्धांत को फिर से पढ़ने से कहीं अधिक प्रभावी है। cbsetutor.ai पर 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण शुरू करें और व्यक्तिगत प्रतिक्रिया के साथ इन विषयों पर असीमित अभ्यास को अनलॉक करें।
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पिछले साल के सवालों को हल करना सिद्धांत दोबारा पढ़ने से बेहतर क्यों है
अधिकतर छात्र संशोधन के समय का 70% एक ही पाठ्यपुस्तक के पन्नों को बार-बार पढ़ने में बिताते हैं—इसे 'निष्क्रिय समीक्षा भ्रम' कहते हैं। आपको लगता है कि आप उत्पादक हैं, लेकिन जानकारी ठीक से याद नहीं रहती। इसके विपरीत, पिछले वर्षों के प्रश्न-पत्र हल करने से आपका दिमाग परीक्षा की स्थितियों में ज्ञान को पुनः प्राप्त करता है: समय दबाव, अधूरे संकेत, और मिश्रित प्रश्न प्रकार। यह पुनः प्राप्ति अभ्यास दीर्घकालीन स्मृति को मजबूत करता है और पैटर्न पहचान बनाता है। अध्याय 13 के लिए, पिछले वर्षों के प्रश्न हल करने से पता चलता है कि कौन से सूत्र (समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र = आधार × ऊँचाई; वृत्त का क्षेत्र = πr²; परिधि = 2πr) सबसे अधिक आते हैं, परीक्षार्थी किन सामान्य गलतियों की जाँच करते हैं (उदाहरण के लिए, त्रिज्या को व्यास से भ्रमित करना), और बहु-चरणीय समाधानों को कैसे संरचित किया जाए। इसके अलावा, पिछले वर्षों के प्रश्न-पत्र सूत्र के यांत्रिक अनुप्रयोग से तर्क तक के क्रमिक बदलाव को दिखाते हैं: हाल के पत्र तेजी से एक ही समस्या में परिमाप और क्षेत्र को मिलाते हैं, अनियमित आकार विघटन की माँग करते हैं, और ज्यामिति को वास्तविक दुनिया के संदर्भ से जोड़ते हैं (खेत, ट्रैक, टाइलें)। 10–15 असली पिछले वर्षों के प्रश्न हल करके, आप कक्षा 9 गणित परीक्षाओं की गति को आंतरिक कर लेते हैं और नोट्स दोबारा पढ़ने की तुलना में कहीं अधिक तेजी से आत्मविश्वास बनाते हैं।
सबसे अधिक दोहराए जाने वाले 1-अंक के प्रश्न (5 उदाहरण उत्तर सहित)
अध्याय 13 में एक-अंक के प्रश्न प्रत्यक्ष सूत्र याद करने और सरल प्रतिस्थापन पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यदि आप मुख्य सूत्रों को सही तरीके से याद रखते हैं तो ये बहुत ही उपयोगी हैं।
**प्रश्न 1:** यदि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र 240 cm² है और इसका आधार 20 cm है, तो ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
*उत्तर:* क्षेत्र = आधार × ऊँचाई का उपयोग करते हुए, हमारे पास 240 = 20 × h है, इसलिए h = 12 cm।
**प्रश्न 2:** एक वृत्त की परिधि 88 cm है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 का उपयोग करें)
*उत्तर:* C = 2πr, तो 88 = 2 × (22/7) × r। हल करने पर: r = (88 × 7)/(2 × 22) = 14 cm।
**प्रश्न 3:** एक त्रिभुज का आधार 8 cm और ऊँचाई 6 cm है। इसका क्षेत्र है:
*उत्तर:* क्षेत्र = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 8 × 6 = 24 cm²।
**प्रश्न 4:** एक वृत्त का क्षेत्र 154 cm² है। इसका व्यास ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 का उपयोग करें)
*उत्तर:* πr² = 154, तो (22/7) × r² = 154। फिर r² = 49, r = 7 cm। व्यास = 14 cm।
**प्रश्न 5:** एक समचतुर्भुज के विकर्ण 10 cm और 8 cm लंबाई के हैं। इसका क्षेत्र है:
*उत्तर:* समचतुर्भुज का क्षेत्र = (1/2) × d₁ × d₂ = (1/2) × 10 × 8 = 40 cm²।
**आम गलती:** छात्र अक्सर प्रश्नों में दिए गए π मानों को सरल किए बिना पूरी परिधि सूत्र का उपयोग करते हैं। हमेशा π = 22/7 या π ≈ 3.14 को निर्देशानुसार प्रतिस्थापित करें।
सबसे अधिक दोहराए जाने वाले 3-अंक के प्रश्न (5 उदाहरण उत्तर सहित)
तीन-अंक के प्रश्नों को एक या दो मध्यवर्ती चरणों की आवश्यकता होती है और स्पष्ट कार्य-प्रक्रिया की माँग करते हैं। परीक्षार्थी सही विधि के लिए अंक देते हैं भले ही अंतिम उत्तर पूर्णांकन के कारण थोड़ा भिन्न हों।
**प्रश्न 1:** एक आयताकार खेत 50 m × 30 m है। खेत के अंदर की ओर 2 m चौड़ा समान पथ चलता है। पथ का क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
*समाधान:* बाहरी आयत का क्षेत्र = 50 × 30 = 1500 m²। भीतरी आयत (सभी ओर से 2 m सीमा हटाने के बाद) = (50 − 4) × (30 − 4) = 46 × 26 = 1196 m²। पथ का क्षेत्र = 1500 − 1196 = 304 m²।
**प्रश्न 2:** त्रिज्या 14 cm वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड 90° के केंद्रीय कोण वाला है। त्रिज्यखंड का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 का उपयोग करें)
*समाधान:* त्रिज्यखंड का क्षेत्र = (θ/360°) × πr² = (90°/360°) × (22/7) × 14² = (1/4) × (22/7) × 196 = (1/4) × 616 = 154 cm²।
**प्रश्न 3:** एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का एक ही आधार (12 cm) और एक ही क्षेत्र (60 cm²) है। यदि समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 5 cm है, तो इसे सत्यापित कीजिए और त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
*समाधान:* समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र = 12 × 5 = 60 cm² ✓। त्रिभुज का क्षेत्र = (1/2) × 12 × h = 60, तो h = 10 cm। त्रिभुज की ऊँचाई समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई से दोगुनी है।
**प्रश्न 4:** समांतर भुजाएँ 8 cm और 12 cm तथा ऊँचाई 5 cm वाले एक समलंब का क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
*समाधान:* क्षेत्र = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई = (1/2) × (8 + 12) × 5 = (1/2) × 20 × 5 = 50 cm²।
**प्रश्न 5:** 7 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त एक वर्ग में अंतर्निहित है। वृत्त और वर्ग के बीच का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 का उपयोग करें)
*समाधान:* वर्ग की भुजा = 2r = 14 cm। वर्ग का क्षेत्र = 14² = 196 cm²। वृत्त का क्षेत्र = (22/7) × 7² = 154 cm²। अंतर = 196 − 154 = 42 cm²।
सबसे अधिक दोहराए जाने वाले 5-अंक के प्रश्न (पूर्ण समाधान के साथ 3 उदाहरण)
पाँच-अंक के प्रश्न कई अवधारणाओं को एकीकृत करते हैं: मिश्रित आकार, वास्तविक दुनिया के संदर्भ, और बहु-चरणीय तर्क। ये अक्सर CBSE अंतिम परीक्षा के खंड C में दिखाई देते हैं।
**प्रश्न 1: बाग पथ समस्या**
21 m त्रिज्या वाले एक गोलाकार बाग के चारों ओर बाहर की ओर 3 m चौड़ा एक समान पथ है। पथ का क्षेत्र ज्ञात कीजिए। साथ ही, यदि पथ को पक्का करने की लागत ₹150 प्रति m² है, तो कुल लागत की गणना कीजिए। (π = 22/7 का उपयोग करें)
*पूर्ण समाधान:*
बाहरी त्रिज्या (R) = 21 + 3 = 24 m
भीतरी त्रिज्या (r) = 21 m
पथ का क्षेत्र = π(R² − r²) = (22/7) × (24² − 21²)
= (22/7) × (576 − 441)
= (22/7) × 135
= (22 × 135)/7
= 2970/7
= 424.29 m² (लगभग)
कुल लागत = 424.29 × 150 = ₹63,643.50 (या ₹63,643 पूर्णांकित करने पर)
**प्रश्न 2: मिश्रित आकार (L-आकृति क्षेत्र)**
एक L-आकृति वाली भूमि एक बड़े आयत से एक आयताकार भाग काटकर बनाई गई है। बड़ा आयत 20 m × 15 m है। कटा हुआ आयत एक कोने से 8 m × 6 m है। L-आकृति वाली भूमि का परिमाप और क्षेत्र ज्ञात कीजिए।
*पूर्ण समाधान:*
क्षेत्र = (20 × 15) − (8 × 6) = 300 − 48 = 252 m²
परिमाप: सीमा को अनुरेखित करें। बाहरी आयाम 20 m (शीर्ष), 15 m (एक ओर), फिर कटान बनाते हैं: (20 − 8) = 12 m क्षैतिज, (15 − 6) = 9 m ऊर्ध्वाधर, फिर 8 m और 6 m खंड।
परिमाप = 20 + 9 + 12 + 6 + 8 + 15 = 70 m
**प्रश्न 3: वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग (ट्रैक समस्या)**
एक आयताकार ट्रैक 100 m लंबा और 50 m चौड़ा है। भीतरी दौड़ने की पट्टी सभी ओर से 2 m की समान चौड़ाई वाली है। की गणना कीजिए: (a) दौड़ने के लिए उपलब्ध क्षेत्र (भीतरी आयत), (b) केवल बाहरी पट्टी का क्षेत्र, और (c) यदि टारकोल बिछाने की लागत ₹80 प्रति m² है, तो बाहरी पट्टी को टारकोल बिछाने की कुल लागत ज्ञात कीजिए।
*पूर्ण समाधान:*
बाहरी आयाम: 100 m × 50 m
भीतरी आयाम: (100 − 2 × 2) × (50 − 2 × 2) = 96 × 46 m
(a) दौड़ने के लिए क्षेत्र = 96 × 46 = 4,416 m²
(b) बाहरी पट्टी का क्षेत्र = (100 × 50) − (96 × 46) = 5,000 − 4,416 = 584 m²
(c) लागत = 584 × 80 = ₹46,720
ये समस्याएँ जटिल आकारों को विघटित करने, सूत्रों को व्यवस्थित रूप से लागू करने, और ज्यामिति को व्यावहारिक परिस्थितियों से जोड़ने की आपकी क्षमता का परीक्षण करती हैं—ये कौशल CBSE मूल्यांकन में उदारतापूर्वक पुरस्कृत किए जाते हैं।
नए 2026–27 CBSE पैटर्न में पैटर्न बदलाव
व्यावहारिकीकृत 2024–25 CBSE पाठ्यक्रम और विकसित होने वाले प्रश्न प्रवृत्तियाँ अध्याय 13 को परीक्षित करने के तरीके में महत्वपूर्ण बदलावों का संकेत देती हैं:
**वास्तविक दुनिया का बढ़ता एकीकरण:** बोर्ड अलग-थलग सूत्र अभ्यास से दूर जा रहा है। हाल के पत्र परिमाप और क्षेत्र समस्याओं को संदर्भ में एम्बेड करते हैं: 'एक किसान को एक गोलाकार भूमि को बाड़ से घेरना है' या 'एक टाइल दुकान प्रति यूनिट क्षेत्र शुल्क लेती है।' 2026–27 तक 40% अधिक परिस्थिति-आधारित प्रश्नों की अपेक्षा करें।
**बहु-चरणीय मिश्रित आकार:** पत्र अब सरल आकारों की तुलना में अनियमित या मिश्रित आकृतियों (L-आकार, वलय, आयतों के भीतर त्रिज्यखंड) को प्राथमिकता देते हैं। छात्रों को इन्हें पहचानने योग्य भागों में विघटित करना, अलग-अलग गणना करना, और संयोजित करना होगा। यह समस्या-समाधान का परीक्षण करता है, केवल सूत्र स्मृति नहीं।
**तर्क और न्यायसंगतता:** पाँच-अंक के प्रश्न तेजी से 'सिद्ध कीजिए कि…' या 'दिखाइए कि त्रिभुज का क्षेत्र एक ही आधार और ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र का आधा है।' माँग करते हैं। यांत्रिक समाधान पूर्ण अंक नहीं देंगे; आपको अपने तर्क को समझाना होगा।
**सन्निकटन और महत्वपूर्ण अंक:** जैसे π = 22/7 और π ≈ 3.14 दोनों की अनुमति है, परीक्षार्थी यह परीक्षण करते हैं कि छात्र अपनी पसंद को न्यायसंगत कर सकते हैं और समझदारी से पूर्णांकन संभाल सकते हैं। प्रश्नों की अपेक्षा करें जैसे 'कौन सी सन्निकटन अधिक सटीक परिणाम देती है?'
**आरेखीय और दृश्य तर्क:** नए पैटर्न में अधिक आरेख-आधारित प्रश्न शामिल हैं जहाँ आप स्केल किए गए चित्रों से आयाम निकालते हैं या ज्यामितीय गुणों को दृश्य रूप से समझाते हैं।
**2026–27 के लिए तैयारी:** (1) गति बनाने के लिए कम से कम 20 मिश्रित-आकार समस्याएँ हल करें। (2) केवल उत्तर नहीं, व्याख्याएँ लिखें। (3) दोनों π सन्निकटनों का अभ्यास करें। (4) प्रश्न कथनों को दो बार पढ़ें सभी छिपी हुई बाधाओं को निकालने के लिए। इन प्रवृत्तियों से अभी परिचय नए परीक्षा प्रारूप में आत्मविश्वास सुनिश्चित करता है।
अध्याय 13 परीक्षा के लिए त्वरित प्रयास की रणनीति
परीक्षा कक्ष में समय का प्रबंधन करना और लापरवाही की त्रुटियों से बचना उतना ही महत्वपूर्ण है जितना कि सूत्र जानना। यहाँ एक परीक्षित दृष्टिकोण है:
**परीक्षा से पहले (1 सप्ताह पहले):** मुख्य सूत्रों को इंडेक्स कार्ड पर याद करें। रोजाना खुद को परखें: समांतर चतुर्भुज, त्रिभुज, वृत्त, त्रिज्यखंड, समलंब, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिधि। उन्हें स्मृति से लिखें, नकल न करें।
**परीक्षा में (पहले 5 मिनट):** सभी प्रश्नों को तेजी से देखें। 1-अंक के प्रश्न (तेज जीत), 3-अंक (मध्यम), और 5-अंक (समय लगने वाले) की पहचान करें। समय आवंटित करें: 1-अंक के लिए 2-3 मिनट, 3-अंक के लिए 5-7 मिनट, 5-अंक के लिए 10-12 मिनट। अंत में समीक्षा के लिए 5 मिनट बचाएँ।
**1-अंक के प्रश्नों के लिए:** सूत्र लिखें, मान प्रतिस्थापित करें, एक बार गणना करें। यदि आप आश्वस्त हैं तो दोबारा जांच की आवश्यकता नहीं है। आगे बढ़ें।
**3-अंक के प्रश्नों के लिए:** एक छोटा, स्पष्ट आरेख बनाएँ (भले ही न पूछा गया हो)। आयाम लेबल करें। न्यूनतम दो पंक्तियाँ कार्य दिखाएँ। इससे छूटे हुए चरणों से बचा जा सकता है और विधि अंक मिलते हैं।
**5-अंक के प्रश्नों के लिए:** समस्या को समझने में 1 मिनट व्यतीत करें—मुख्य शब्दों को रेखांकित करें, विस्तृत आरेख बनाएँ। इसे उप-भागों में विभाजित करें (बाहरी आकृति का क्षेत्रफल, फिर आंतरिक, फिर अंतर)। बुलेट पॉइंट या संख्यांकित चरणों का उपयोग करें। यदि एक भाग में फँस जाएँ, दूसरे पर जाएँ और बाद में लौटें।
**बचने योग्य सामान्य गलतियाँ:** (1) त्रिज्या और व्यास को भ्रमित करना (व्यास = 2 × त्रिज्या)। (2) त्रिभुज और त्रिज्यखंड सूत्रों में 1/2 का गुणनखंड भूलना। (3) जब समस्या 22/7 निर्दिष्ट करती है तो π = 3.14 का उपयोग करना। (4) π के संदर्भ में उत्तर छोड़ना, संख्यात्मक रूप में नहीं (जब तक स्पष्ट रूप से न पूछा गया हो)। (5) परिमाप (भुजाओं का योग) और क्षेत्रफल (अंदर की जगह) को मिलाना।
**अंतिम समीक्षा (अंतिम 3 मिनट):** अपने उत्तरों को देखें। इकाइयाँ जाँचें (सेमी, मी, सेमी², मी²)। एक उच्च-मूल्य उत्तर को पीछे की ओर काम करके सत्यापित करें। आत्मविश्वास के साथ जमा करें।
मुख्य निष्कर्ष और अगले कदम
अध्याय 13 (परिमाप और क्षेत्रफल) उच्च-उपज वाला है: सूत्र सुसंगत हैं, अनुप्रयोग सीधे हैं, और अनुशासित अभ्यास के साथ 70% से 90%+ तक ग्रेड में सुधार यथार्थवादी है। ऊपर दिए गए 13 प्रश्न पिछले पाँच वर्षों में देखे गए ~70% प्रश्न पैटर्न का प्रतिनिधित्व करते हैं। उन्हें दो बार करें—एक बार संशोधन के दौरान, एक बार समयबद्ध परीक्षा परिस्थितियों के तहत—यह मांसपेशियों की स्मृति और आत्मविश्वास बनाएगा। मिश्रित आकृतियों और वास्तविक-दुनिया के परिदृश्यों पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि ये 2026-27 पैटर्न में ऊपर की ओर रुझान ले रहे हैं। इन PYQs को पाठ्यपुस्तक अभ्यासों के साथ पूरक करें ताकि अवधारणात्मक समझ गहरी हो। यदि आप अनियमित आकृतियों को दृश्यमान करने या बहु-चरणीय समस्याओं का प्रबंधन करने में संघर्ष पाते हैं, तो निर्देशित अभ्यास पर विचार करें: ट्यूटर आपको प्रयास-और-त्रुटि की तुलना में तेजी से समस्या-समाधान प्रक्रिया को आंतरिक करने में मदद कर सकते हैं। महत्वपूर्ण बात यह है कि समाधानों को याद न करें बल्कि तर्क को समझें: हम त्रिभुजों के लिए आधे का उपयोग क्यों करते हैं, त्रिज्यखंड क्षेत्र कोण के साथ कैसे मापता है, मिश्रित आकृतियों के लिए विघटन की आवश्यकता क्यों है। इस ढाँचे के साथ, अध्याय 13 के किसी भी रूप का प्रश्न परीक्षा कक्ष में हल करने योग्य बन जाता है।
Frequently asked questions
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?+
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई। नोट: ऊंचाई समांतर भुजाओं के बीच की लंबवत दूरी है, तिरछी भुजा नहीं। उदाहरण के लिए, यदि आधार = 10 cm और ऊंचाई = 6 cm है, तो क्षेत्रफल = 60 cm²।
मैं वृत्त के त्रिज्यखंड (सेक्टर) का क्षेत्रफल कैसे निकालूं?+
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr², जहां θ केंद्रीय कोण (डिग्री में) है और r त्रिज्या है। उदाहरण: यदि θ = 60° और r = 7 cm है, तो क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 49 ≈ 25.67 cm²।
परिधि और परिमाप में क्या अंतर है?+
परिधि (circumference) वृत्त का परिमाप है। परिधि = 2πr या πd। गैर-वृत्ताकार आकृतियों के लिए, 'परिमाप' सीमा के चारों ओर की कुल दूरी है। दोनों को रैखिक इकाइयों (cm, m) में मापा जाता है, न कि क्षेत्रफल में।
मैं अनियमित आकृति का क्षेत्रफल कैसे निकालूं?+
इसे पहचानी जाने वाली आकृतियों (आयत, त्रिभुज, वृत्त, त्रिज्यखंड) में विभाजित करें। मानक सूत्रों का उपयोग करके प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल निकालें। आवश्यकतानुसार जोड़ें या घटाएं। उदाहरण: L-आकार = बड़े आयत का क्षेत्रफल − कटे हुए आयत का क्षेत्रफल।
क्या मुझे π = 22/7 या π = 3.14 का उपयोग करना चाहिए?+
प्रश्न में दिया गया मान उपयोग करें। यदि निर्दिष्ट नहीं है, तो 22/7 हाथ से गणना के लिए बेहतर है (सटीक उत्तर देता है)। जब समस्या संदर्भ दशमलव की मांग करता हो या विशेष रूप से निर्दिष्ट हो, तो 3.14 का उपयोग करें।
आधार 10 cm और ऊंचाई 8 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?+
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊंचाई = (1/2) × 10 × 8 = 40 cm²। (1/2) का गुणांक याद रखें—यह आवश्यक है और त्रुटि का एक आम स्रोत है।
मैं समलंब (trapezium) का क्षेत्रफल कैसे निकालूं?+
क्षेत्रफल = (1/2) × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई। उदाहरण: समांतर भुजाएं 5 cm और 9 cm, ऊंचाई 4 cm → क्षेत्रफल = (1/2) × 14 × 4 = 28 cm²।
क्या 3-अंक के प्रश्न के एक से अधिक सही तरीके हो सकते हैं?+
हां, बिल्कुल। परीक्षार्थी किसी भी गणितीय रूप से वैध दृष्टिकोण को पुरस्कृत करते हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार-ऊंचाई या हेरॉन सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है। अपनी विधि स्पष्ट रूप से दिखाएं और आपको पूरे अंक मिलेंगे।
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