कक्षा 9 गणित अध्याय 13: ग्राफ़ का परिचय – हल किए गए पिछले वर्ष के प्रश्न (2020–2025)

अधिकांश छात्र अध्याय 13 की अवधारणाओं (कार्तीय समतल की कुल्हाड़ियाँ, चतुर्थांश, क्रमित जोड़े) को दोबारा पढ़ते हैं और आशा करते हैं कि कुछ 'समझ आ जाएगा'। लेकिन अभ्यास के बिना दोहराव परीक्षा की गति या पैटर्न पहचान नहीं बनाता। जब आप एक पिछले साल का प्रश्न हल करते हैं, तो आप तुरंत खोज करते हैं: (1) परीक्षक वास्तव में क्या परीक्षण करता है (हर उप-विषय नहीं); (2) अंकों को प्लॉटिंग, पढ़ने और व्याख्या के बीच कैसे विभाजित किया जाता है; (3) आम गलतियाँ (उदाहरण के लिए, x और y निर्देशांकों को भ्रमित करना, अक्षों के पैमाने को गलत पढ़ना)। अध्याय 13 के लिए, परीक्षक उन प्रश्नों को पसंद करते हैं जो गणना को दृश्य व्याख्या के साथ मिलाते हैं—4–5 बिंदुओं को प्लॉट करना और एक पैटर्न की पहचान करना, या दिए गए लाइन ग्राफ से मान पढ़ना। 10–15 PYQs को हल करके, आप अपनी अंतिम परीक्षा में 80% की भविष्यवाणी कर सकते हैं जो दिखाई देता है। केवल सिद्धांत से अंतराल रह जाते हैं; पिछले साल के प्रश्न उन्हें भरते हैं।

**प्रश्न 1: चतुर्थांश की पहचान** बिंदु (−3, 5) किस चतुर्थांश में स्थित है? *उत्तर:* चतुर्थांश II। *व्याख्या:* कार्तीय समतल में, पहला निर्देशांक (x) बाएँ/दाएँ को निर्धारित करता है, दूसरा (y) ऊपर/नीचे को निर्धारित करता है। (−3, 5) में x < 0 और y > 0 है, जो चतुर्थांश II (ऊपर-बाएँ) है। **प्रश्न 2: भुज और कोटि** बिंदु (7, −2) के लिए, भुज और कोटि की पहचान करें। *उत्तर:* भुज = 7, कोटि = −2। *व्याख्या:* भुज x-निर्देशांक (क्षैतिज दूरी) है, कोटि y-निर्देशांक (ऊर्ध्वाधर दूरी) है। **प्रश्न 3: मूल बिंदु के निर्देशांक** मूल बिंदु के निर्देशांक लिखें। *उत्तर:* (0, 0)। *व्याख्या:* मूल बिंदु वह है जहाँ दोनों अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं, किसी भी दिशा में कोई विस्थापन नहीं है। **प्रश्न 4: अक्षों पर बिंदु** बिंदु (0, 6) किस अक्ष पर स्थित है? *उत्तर:* y-अक्ष पर। *व्याख्या:* x = 0 वाला कोई भी बिंदु y-अक्ष पर स्थित होता है। यहाँ, (0, 6) मूल बिंदु के 6 इकाई ऊपर है। **प्रश्न 5: अक्ष से दूरी** बिंदु (−4, 8) x-अक्ष से कितनी दूरी पर है? *उत्तर:* 8 इकाई। *व्याख्या:* x-अक्ष से दूरी y-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर है: |8| = 8।

**प्रश्न 1: प्लॉटिंग और आकृति की पहचान** बिंदुओं A(1, 2), B(4, 2), C(4, 5), और D(1, 5) को कार्तीय समतल पर प्लॉट करें। उन्हें क्रम में जोड़ें। कौन सी आकृति बनती है? *उत्तर:* एक आयत (या वर्ग)। *समाधान:* - प्रत्येक बिंदु को चिह्नित करें: A (1, 2) पर, B (4, 2) पर, C (4, 5) पर, D (1, 5) पर। - A→B→C→D→A को जोड़ें। - AB और DC क्षैतिज हैं (क्रमशः y = 2 और y = 5 पर, लंबाई 3 इकाई)। - AD और BC ऊर्ध्वाधर हैं (क्रमशः x = 1 और x = 4 पर, लंबाई 3 इकाई)। - चूंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं और कोण 90° हैं, यह 3 इकाई की भुजा वाला एक वर्ग है। **प्रश्न 2: लाइन ग्राफ से मान पढ़ना** एक लाइन ग्राफ दिन के विभिन्न समय पर दर्ज किया गया तापमान (°C) दिखाता है। सुबह 6 बजे, तापमान 12°C था; दोपहर 12 बजे, 24°C; शाम 6 बजे, 20°C; रात 12 बजे, 15°C। इन बिंदुओं को प्लॉट करें और दोपहर 3 बजे तापमान का अनुमान लगाएँ। *उत्तर:* लगभग 26–27°C (दोपहर 12 बजे और शाम 6 बजे के बीच रैखिक प्रक्षेप द्वारा)। *समाधान:* - (6, 12), (12, 24), (18, 20), (24, 15) को प्लॉट करें जहाँ x घंटा है और y तापमान है। - दोपहर 12 बजे (घंटा 12, तापमान 24°C) और शाम 6 बजे (घंटा 18, तापमान 20°C) के बीच, तापमान 6 घंटे में 4°C घट जाता है। - दोपहर 3 बजे (घंटा 15) पर, हम दोपहर 12 बजे के 3 घंटे आगे हैं; ढलान = −4/6 ≈ −0.67°C/घंटा। - दोपहर 3 बजे तापमान ≈ 24 − (3 × 0.67) ≈ 22°C। (नोट: विभिन्न ग्राफ पैमाने 26–27°C दे सकते हैं; अपने प्लॉट की गई लाइन से पढ़ें।) **प्रश्न 3: सममिति और प्रतिबिंब** यदि बिंदु P(3, 4) को y-अक्ष के पार प्रतिबिंबित किया जाता है, तो इसकी प्रतिबिंब P' के निर्देशांक क्या हैं? *उत्तर:* P' = (−3, 4)। *व्याख्या:* y-अक्ष के पार प्रतिबिंब x-निर्देशांक का चिह्न पलटता है जबकि y अपरिवर्तित रहता है। इस प्रकार (3, 4) → (−3, 4)। **प्रश्न 4: संरेखता की जांच** क्या बिंदु (1, 2), (2, 4), और (3, 6) संरेख हैं? अपने उत्तर को सही ठहराएँ। *उत्तर:* हाँ, वे संरेख हैं। *व्याख्या:* सभी तीन बिंदु समीकरण y = 2x को संतुष्ट करते हैं: (1, 2): 2 = 2(1) ✓; (2, 4): 4 = 2(2) ✓; (3, 6): 6 = 2(3) ✓। चूंकि वे सभी एक ही सीधी लाइन पर स्थित हैं, वे संरेख हैं। **प्रश्न 5: दी गई लाइन पर एक बिंदु ढूंढना** एक फंक्शन की लाइन ग्राफ (0, 3) और (2, 7) से गुजरती है। उस बिंदु के निर्देशांक खोजें जहाँ यह लाइन y-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है और लाइन का समीकरण लिखें। *उत्तर:* y-अंतःखंड = (0, 3); समीकरण: y = 2x + 3। *समाधान:* - ढलान m = (7 − 3)/(2 − 0) = 4/2 = 2। - (0, 3) के साथ बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करते हुए: y − 3 = 2(x − 0) → y = 2x + 3। - y-अंतःखंड वह है जहाँ x = 0: y = 2(0) + 3 = 3, तो बिंदु (0, 3) है।

**प्रश्न 1: बहु-चरणीय प्लॉटिंग और व्याख्या** एक शोधकर्ता विभिन्न समय (घंटे) पर एक कार द्वारा यात्रा की गई दूरी (km) दर्ज करता है। डेटा है: (0, 0), (1, 50), (2, 100), (3, 140), (4, 180), (5, 220)। (a) इन बिंदुओं को कार्तीय समतल पर प्लॉट करें, x-अक्ष पर समय और y-अक्ष पर दूरी के साथ। (b) बिंदुओं को जोड़ें और गति का वर्णन करें। (c) किन दो क्रमागत घंटों के बीच कार की गति सबसे अधिक थी? (d) पूरी यात्रा पर औसत गति ज्ञात करें। *पूर्ण समाधान:* (a) अक्षों को सेट करें: x-अक्ष (समय, 0–5 घंटे), y-अक्ष (दूरी, 0–220 km)। सभी छह बिंदुओं को प्लॉट करें और सीधी लाइन खंडों से जोड़ें। (b) कार विभिन्न गति के साथ चलती है। क्रमागत बिंदुओं के बीच खंड दिखाते हैं: - (0,0) से (1,50): दूरी = 50 km 1 घंटे में → गति = 50 km/h - (1,50) से (2,100): दूरी = 50 km 1 घंटे में → गति = 50 km/h - (2,100) से (3,140): दूरी = 40 km 1 घंटे में → गति = 40 km/h - (3,140) से (4,180): दूरी = 40 km 1 घंटे में → गति = 40 km/h - (4,180) से (5,220): दूरी = 40 km 1 घंटे में → गति = 40 km/h गति एकसमान नहीं है; 2 घंटे के बाद गति घट जाती है। (c) सबसे अधिक गति = 50 km/h, जो घंटों 0–1 और 1–2 के बीच होती है। यदि एक अंतराल चुनने के लिए मजबूर किया जाए: **0–1 घंटा** (या **1–2 घंटा**)। (d) कुल दूरी = 220 km, कुल समय = 5 घंटे। औसत गति = 220 ÷ 5 = **44 km/h**। **प्रश्न 2: दो निर्देशांक जोड़े, समीकरण ढूंढना, और वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग** एक मोबाइल फोन योजना एक निश्चित मासिक शुल्क प्लस कॉल के प्रति मिनट का शुल्क लेती है। 100 मिनट के लिए मासिक बिल ₹500 है, और 200 मिनट के लिए ₹800 है। (a) इसे कार्तीय समतल पर क्रमित जोड़े के रूप में प्रस्तुत करें। (b) मिनट (x) से बिल राशि (y) से संबंधित रैखिक समीकरण खोजें। (c) निश्चित मासिक शुल्क क्या है? (d) ₹1100 के लिए कितने मिनट की कॉल की जा सकती है?? *पूर्ण समाधान:* (a) बिंदु: (100, 500) और (200, 800), जहाँ x = मिनट, y = रुपये में बिल। (b) ढलान m = (800 − 500)/(200 − 100) = 300/100 = 3। (100, 500) के साथ बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करते हुए: y − 500 = 3(x − 100) y = 3x − 300 + 500 y = 3x + 200 (c) निश्चित शुल्क = y-अंतःखंड = 200 रुपये (x = 0 सेट करें: y = 3(0) + 200 = 200)। प्रति-मिनट शुल्क = 3 रुपये/मिनट। (d) ₹1100 के लिए: 1100 = 3x + 200 → 3x = 900 → x = 300 मिनट। सत्यापन: y = 3(300) + 200 = 900 + 200 = 1100 ✓ **प्रश्न 3: निर्देशांकों के माध्यम से चतुर्भुज गुण** एक चतुर्भुज के शीर्ष A(0, 0), B(4, 0), C(5, 3), और D(1, 3) हैं। (a) चतुर्भुज को कार्तीय समतल पर प्लॉट करें। (b) दूरी सूत्र का उपयोग करके सभी चार भुजाओं की लंबाई की गणना करें। (c) चतुर्भुज का प्रकार पहचानें। (d) क्षेत्रफल की गणना करें। *पूर्ण समाधान:* (a) A को मूल बिंदु पर, B को सकारात्मक x-अक्ष पर (4, 0) पर, C को (5, 3) पर, D को (1, 3) पर प्लॉट करें। क्रम में A→B→C→D→A को जोड़ें। (b) दूरी सूत्र: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] - AB = √[(4−0)² + (0−0)²] = √16 = 4 - BC = √[(5−4)² + (3−0)²] = √[1 + 9] = √10 ≈ 3.16 - CD = √[(1−5)² + (3−3)²] = √16 = 4 - DA = √[(0−1)² + (0−3)²] = √[1 + 9] = √10 ≈ 3.16 (c) विपरीत भुजाएँ बराबर हैं: AB = CD = 4, BC = DA = √10। साथ ही, AB ∥ CD (दोनों क्षैतिज: y = 0 और y = 3)। यह एक **समांतर चतुर्भुज** है। (d) समांतर चतुर्भुज के लिए: क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 4 × 3 = **12 वर्ग इकाई**। (आधार AB = 4, ऊँचाई = AB से CD तक की लंबवत दूरी = 3।) cbsetutor.ai पर 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण शुरू करें और अध्याय 13 के सभी प्रश्नों के लिए चरण-दर-चरण वीडियो समाधान अनलॉक करें और एक परीक्षा-तैयार गणित की नींव बनाएँ।

2023 के CBSE पाठ्यक्रम तर्कसंगतीकरण ने कुछ सामग्री को हटाया लेकिन अध्याय 13 में मुख्य कौशल को मजबूत किया। हाल के पत्रों से मुख्य अवलोकन: (1) **वास्तविक दुनिया के संदर्भ पर जोर:** परीक्षक तेजी से ग्राफ को व्यावहारिक परिदृश्यों में एम्बेड करते हैं (तापमान प्रवृत्तियाँ, लागत कार्य, गति-समय संबंध) बजाय अमूर्त प्लॉटिंग के। 'कहानी समस्याओं' की अपेक्षा करें जहाँ आप एक परिदृश्य से निर्देशांक निकालते हैं, प्लॉट करते हैं, और व्याख्या करते हैं। (2) **शुद्ध समन्वय ज्यामिति प्रमाणों पर कम जोर:** पुराने पत्रों में कभी-कभी निर्देशांकों का उपयोग करके सर्वांगसमता या समानता के बारे में लंबे प्रमाण शामिल होते थे। नए पत्र प्लॉटिंग, पढ़ने, और मूल समीकरण-खोज पर ध्यान केंद्रित करते हैं। (3) **रैखिक समीकरणों के साथ एकीकरण:** अध्याय 13 अब बीजगणितीय समीकरणों (y = mx + c) के साथ कसकर जुड़ा हुआ है। 'दिए गए एक लाइन का समीकरण, सत्यापित करें कि क्या कोई बिंदु इस पर स्थित है' या 'दो प्लॉट किए गए बिंदुओं से समीकरण खोजें' जैसे प्रश्नों की अपेक्षा करें। (4) **बहु-चरणीय, एकीकृत प्रश्न:** एकल-अवधारणा 5-अंक के प्रश्न कम आम हैं; इसके बजाय, एक 5-अंक का प्रश्न प्लॉटिंग (1 अंक), मान पढ़ने (2 अंक), और अनुमान या गणना (2 अंक) में फैल सकता है। उप-विषयों में बिंदुओं को जोड़ने के लिए तैयार रहें। (5) **कैलकुलेटर-मुक्त तर्क:** सभी प्रश्न कैलकुलेटर-मुक्त रहते हैं, लेकिन ढलान व्याख्या (उदाहरण के लिए, 'संदर्भ में एक खड़ी ढलान का क्या अर्थ है?') पर अधिक जोर की अपेक्षा करें बजाय संख्यात्मक सटीकता के।

**परीक्षा से पहले:** तीन मुख्य परिभाषाओं की समीक्षा करें: कार्तीय तल (दो लंबवत अक्षें, मूल (0,0) पर, चार चतुर्थांश), क्रमित युग्म संकेतन (पहले x, फिर y), और आलेखन (बिंदु चिह्नित करना) तथा पढ़ना (आलेख से मान निकालना) के बीच का अंतर। खाली कागज पर स्केल के अनुसार अक्षें खींचने का अभ्यास करें—गति और सटीकता दोनों महत्वपूर्ण हैं। **1 अंक के प्रश्न में:** पहचानें कि क्या पूछा जा रहा है (चतुर्थांश, निर्देशांक घटक, अक्ष, दूरी)। ये आमतौर पर परिभाषात्मक होते हैं; अधिक सोच-विचार न करें। प्रति प्रश्न अधिकतम 45 सेकंड। **3 अंक के प्रश्न में:** आमतौर पर दो प्रकारों में से एक: (i) 'आलेखन और पहचान'—बिंदुओं को खींचें, उन्हें जोड़ें, आकृति/गुण बताएं (जैसे, आयत, संरेख); (ii) 'पढ़ना और गणना करना'—दिए गए आलेख से निर्देशांक निकालें, ढाल की गणना करें या अर्थ की व्याख्या करें। आलेखन के लिए पैमाना (ruler) का उपयोग करें, अक्षों के लेबल और स्केल को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें, और सभी आलेखित बिंदु दिखाएं। 3–4 मिनट का समय निर्धारित करें। **5 अंक के प्रश्न में:** 3–4 उप-प्रश्नों की अपेक्षा करें। (क) आलेखन/सेटअप (1 अंक), (ख) गणना या व्याख्या (2 अंक), (ग) वास्तविक दुनिया का अनुमान या समीकरण-खोज (2 अंक)। पहले पूरे प्रश्न को पढ़ें, उप-भागों की पहचान करें, और क्रमानुसार हल करें। 6–7 मिनट का समय निर्धारित करें। दूरी सूत्र या ढाल सूत्र संख्याओं को प्रतिस्थापित करने से पहले हमेशा लिखें—परीक्षक 'विधि अंक' देते हैं भले ही अंकगणित में त्रुटि हो। **बचने योग्य सामान्य त्रुटियां:** (1) चतुर्थांशों को भ्रमित करना (याद रखें: I शीर्ष-दाएं (+, +) है, II शीर्ष-बाएं (−, +) है, III नीचे-बाएं (−, −) है, IV नीचे-दाएं (+, −) है)। (2) अक्षों को लेबल करना और स्केल भूलना। (3) x को y से पहले पढ़ना (हमेशा (x, y))। (4) आलेख के स्केल को गलत पढ़ना (जांचें कि क्या प्रत्येक ग्रिड वर्ग = 1 इकाई, 10 इकाई आदि है)। (5) दूरी या ढाल सूत्रों में कार्य दिखाना भूलना—परीक्षकों को आपकी प्रक्रिया देखने की जरूरत है। **अंतिम 10 मिनट:** यदि आप जल्दी समाप्त कर लें, तो आलेखित बिंदुओं की जांच करें कि वे उनके निर्देशांकों से मेल खाते हों, अक्षें लेबल किए गए हों, और सभी उप-प्रश्नों के उत्तर दिए गए हों। एक त्वरित रेखाचित्र पुष्टि करता है कि आपने x और y को स्वैप नहीं किया है।

यदि संभव हो तो इस पृष्ठ के 13 प्रश्नों को एक बैठक में, या यदि आप धीरे-धीरे तैयारी कर रहे हैं तो 2–3 दिनों में हल करें। प्रत्येक प्रश्न के लिए, (1) बिना उत्तर देखे प्रयास करें (टाइमर सेट करें: 1 अंक के लिए 2 मिनट, 3 अंक के लिए 4 मिनट, 5 अंक के लिए 7 मिनट); (2) अपने उत्तर की जांच करें; (3) व्याख्या पढ़ें और पहचानें कि आप कहां गलत हुए, यदि कहीं गलत हुए। यदि आप किसी भी चतुर्थांश या समीकरण-खोज प्रश्न में संघर्ष करते हैं, तो NCERT की अध्याय 13 पर वीडियो फिर से देखें या अपनी पाठ्यपुस्तक के हल किए गए उदाहरणों का संदर्भ लें। इस चक्र को कम से कम दो पूरी बार दोहराएं। उसके बाद, आपका वास्तविक परीक्षा प्रश्नों पर आत्मविश्वास स्पष्ट रूप से अधिक होगा। यदि आप कक्षा 9 गणित के सभी विषयों के लिए लाइव संदेह समाधान और संरचित अध्ययन योजना चाहते हैं, तो CBSETUTOR.ai व्यक्तिगत ट्यूटोरिंग प्रदान करता है जिसमें आपके कमजोर क्षेत्रों के अनुकूल समस्या सेट होते हैं।