कक्षा 9 गणित अध्याय 11: सममिति, परावर्तन और घूर्णन — महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

समरूपता केवल सिद्धांत नहीं है—इसे समझ (परिभाषाएँ) और अनुप्रयोग (वास्तविक आकृतियों में समरूपता की पहचान) दोनों के रूप में परीक्षा में पूछा जाता है। CBSE बोर्ड आमतौर पर पूछता है: • सरल आकृतियों (आयत, वर्ग, त्रिभुज) में रैखिक/घूर्णन समरूपता की पहचान पर 1–2 अंक • समरूपता की रेखाएँ खींचने या घूर्णन की कोटि ज्ञात करने पर 2–3 अंक • संयुक्त समस्याएँ: जैसे 'एक नियमित षट्भुज की कितनी समरूपता की रेखाएँ हैं? इसकी घूर्णन समरूपता की कोटि क्या है?' यह अध्याय कक्षा 10 की निर्देशांक ज्यामिति और त्रिकोणमिति के लिए स्थानिक तर्क को भी मजबूत करता है। जो छात्र शीघ्र ही समरूपता गुणों में महारत हासिल करते हैं, उन्हें बाद में रूपांतर (घूर्णन, प्रतिबिंब) बहुत आसान लगते हैं। 2024-25 पाठ्यक्रम दृश्य प्रमाण पर बल देता है—आपसे यह पूछा जा सकता है कि एक आकृति में समरूपता क्यों है (या क्यों नहीं है), केवल इसका नाम बताने के बजाय। इसके लिए अक्षों पर प्रतिबिंब और निश्चित बिंदुओं पर घूर्णन की समझ आवश्यक है। उन प्रश्नों की अपेक्षा करें जो समरूपता को चतुर्भुज और बहुभुज के गुणों के साथ जोड़ते हैं।

**Q1: एक वर्ग की कितनी समरूपता की रेखाएँ हैं?** A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 **उत्तर: C) 4** व्याख्या: एक वर्ग की 4 समरूपता की रेखाएँ हैं—दो विकर्ण रेखाएँ और विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर जाने वाली दो रेखाएँ। प्रत्येक रेखा वर्ग को दो सर्वांगसम आधों में विभाजित करती है। --- **Q2: एक समबाहु त्रिभुज की घूर्णन समरूपता की कोटि क्या है?** A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 **उत्तर: C) 3** व्याख्या: एक समबाहु त्रिभुज अपने केंद्र के चारों ओर 120°, 240° और 360° घुमाने के बाद समान दिखता है। इसलिए, कोटि = 3। --- **Q3: किस आकृति की कोई समरूपता की रेखा नहीं है?** A) आयत B) विषमबाहु त्रिभुज C) समद्विबाहु समलंब D) समचतुर्भुज **उत्तर: B) विषमबाहु त्रिभुज** व्याख्या: एक विषमबाहु त्रिभुज की सभी तीन भुजाएँ असमान होती हैं। कोई भी रेखा इसे अपने आप पर नहीं मोड़ सकती। सूचीबद्ध सभी अन्य आकृतियों की कम से कम एक समरूपता की रेखा है। --- **Q4: एक नियमित पंचभुज की घूर्णन समरूपता की कोटि है:** A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 **उत्तर: B) 5** व्याख्या: एक नियमित पंचभुज 72°, 144°, 216°, 288° और 360° घुमाने के बाद समान दिखता है। कोटि = 360° ÷ 72° = 5। --- **Q5: अंग्रेजी वर्णमाला का कौन सा अक्षर 2 की कोटि की घूर्णन समरूपता रखता है?** A) A B) C C) H D) E **उत्तर: C) H** व्याख्या: अक्षर H, 180° घूर्णन के बाद समान दिखता है। A, C और E के पास 180° घूर्णन समरूपता नहीं है।

**Q1: लंबाई 6 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयत के लिए समरूपता की सभी रेखाएँ खींचिए।** *समाधान:* एक आयत की 2 समरूपता की रेखाएँ हैं: 1. लंबी भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर जाने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा (क्षैतिज रूप से किसी भी सिरे से 3 सेमी पर) 2. छोटी भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर जाने वाली एक क्षैतिज रेखा (ऊर्ध्वाधर रूप से किसी भी सिरे से 2 सेमी पर) नोट: आयत के विकर्ण समरूपता की रेखाएँ *नहीं* हैं (वे आयत को दो सर्वांगसम आधों में नहीं मोड़ते)। --- **Q2: अक्षर Z के लिए घूर्णन समरूपता की कोटि ज्ञात कीजिए।** *समाधान:* अक्षर Z की घूर्णन समरूपता की कोटि 2 है। जब इसे अपने केंद्र के चारों ओर 180° घुमाया जाता है, तो Z समान दिखता है। यह 0° और 180° के बीच किसी भी कोण पर समान नहीं दिखता। --- **Q3: एक समद्विबाहु त्रिभुज की एक समरूपता की रेखा है। इसे खींचिए और समझाइए कि समरूपता की कोई अन्य रेखा क्यों नहीं है।** *समाधान:* समरूपता की रेखा आधार का लंबवत् समद्विभाजक है, जो शीर्ष (शीर्ष कोण) से होकर जाती है। यह रेखा त्रिभुज को दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। कोई अन्य रेखा काम नहीं करती क्योंकि: - दोनों समान भुजाएँ किसी भी भुज का लंबवत् समद्विभाजक नहीं हैं। - आधार के शीर्ष से होकर जाने वाली रेखा विपरीत भुज के लंबवत् नहीं है। --- **Q4: एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई 8 सेमी और 6 सेमी है। इसकी कितनी समरूपता की रेखाएँ हैं?** *समाधान:* एक समचतुर्भुज की 2 समरूपता की रेखाएँ हैं—दोनों विकर्ण। प्रत्येक विकर्ण एक समरूपता की रेखा है क्योंकि यह समचतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। --- **Q5: एक नियमित षट्भुज के लिए घूर्णन समरूपता की कोटि और समरूपता की रेखाओं की संख्या बताइए।** *समाधान:* - **घूर्णन समरूपता की कोटि: 6** (कोण: 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°) - **समरूपता की रेखाओं की संख्या: 6** (विपरीत शीर्षों से होकर 3 रेखाएँ, विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर 3 रेखाएँ)

**Q1: एक चतुर्भुज खींचिए जिसकी घूर्णन समरूपता की कोटि 2 हो लेकिन यह आयत न हो। चतुर्भुज का नाम बताइए और इसके घूर्णन केंद्र को चिह्नित कीजिए।** *समाधान:* एक समांतर चतुर्भुज (गैर-आयताकार) अपने विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर घूर्णन समरूपता की कोटि 2 रखता है। कारण: जब इसे विकर्णों के मिलन बिंदु के चारों ओर 180° घुमाया जाता है, तो प्रत्येक शीर्ष विपरीत शीर्ष से मेल खाता है। 90° या 270° पर, यह समान नहीं दिखता, इसलिए कोटि = 2 केवल। रेखाचित्र: एक तिरछे समांतर चतुर्भुज को शीर्षों A, B, C, D (ऊपर-बाएँ, ऊपर-दाएँ, नीचे-दाएँ, नीचे-बाएँ) के साथ खींचिए। विकर्णों के प्रतिच्छेदन को बिंदु O (घूर्णन केंद्र) के रूप में चिह्नित कीजिए। --- **Q2: एक आकृति की 6 समरूपता की रेखाएँ हैं लेकिन केवल 3 रेखाएँ शीर्षों से होकर जाती हैं। आकृति का नाम बताइए और अन्य 3 रेखाओं की स्थिति की व्याख्या कीजिए।** *समाधान:* आकृति एक नियमित षट्भुज है। - **विपरीत शीर्षों से होकर 3 रेखाएँ** (शीर्ष से शीर्ष) - **विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर 3 रेखाएँ** (भुजाओं के लंबवत् समद्विभाजक) कुल: 6 समरूपता की रेखाएँ। यह सम संख्या वाली भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों की विशेषता है। --- **Q3: समझाइए कि एक वृत्त की अनंत समरूपता की रेखाएँ क्यों हैं लेकिन अर्धवृत्त की केवल एक है।** *समाधान:* **वृत्त:** केंद्र से होकर जाने वाली प्रत्येक रेखा एक समरूपता की रेखा है क्योंकि कोई भी जीवा (chord) विपरीत ओर की एक समान जीवा पर परावर्तित होती है। चूँकि अनंत रेखाएँ केंद्र से होकर जा सकती हैं, वृत्त की अनंत समरूपता की रेखाएँ हैं। **अर्धवृत्त:** केवल व्यास के साथ वाली रेखा (दोनों आधों को अलग करने वाली) एक समरूपता की रेखा है। केंद्र से होकर जाने वाली कोई भी अन्य रेखा अर्धवृत्त को अपने आप पर नहीं मोड़ती—एक आधा काट दिया जाता है। इसलिए, केवल एक समरूपता की रेखा है। --- **Q4: एक नियमित अष्टभुज (octagon) की घूर्णन समरूपता की कोटि 8 है। यदि एक शीर्ष केंद्र से (5, 0) स्थिति पर है, तो इस शीर्ष को अगले शीर्ष पर ले जाने के लिए आवश्यक घूर्णन कोण लिखिए, और सभी घूर्णन समरूपता के कोण सूचीबद्ध कीजिए।** *समाधान:* एक नियमित अष्टभुज के लिए: कोटि = 8 → लगातार शीर्षों के बीच कोण = 360° ÷ 8 = **45°** घूर्णन समरूपता के सभी कोण: **45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360°** कारण: प्रत्येक कोण (45° का गुणज) पर, अष्टभुज समान दिखता है। (5, 0) पर स्थित शीर्ष केंद्र के चारों ओर 45° घूर्णन के बाद अगली शीर्ष स्थिति पर जाता है।

**Q1: रैखिक समरूपता और घूर्णन समरूपता की तुलना कीजिए। इन आकृतियों—वर्ग, समचतुर्भुज, आयत—में से प्रत्येक के लिए समरूपता की रेखाओं की संख्या और घूर्णन समरूपता की कोटि बताइए। एक तालिका बनाइए और समझाइए कि कौन सी आकृतियों में दोनों हैं।** *समाधान:* | आकृति | समरूपता की रेखाएँ | घूर्णन समरूपता की कोटि | दोनों? | |-------|-------------------|-------------------------------|-------| | वर्ग | 4 | 4 | हाँ | | समचतुर्भुज | 2 (विकर्ण) | 2 | हाँ | | आयत | 2 (क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर) | 2 | हाँ | **व्याख्या:** - **वर्ग:** 4 रेखाएँ (2 विकर्ण + 2 मध्य रेखाएँ) और घूर्णन कोटि 4 (90°, 180°, 270°, 360°)। - **समचतुर्भुज:** 2 रेखाएँ (केवल विकर्ण, भुजाओं के लंबवत् समद्विभाजक नहीं) और घूर्णन कोटि 2 (180°, 360°)। - **आयत:** 2 रेखाएँ (विपरीत भुजाओं के केंद्रों से होकर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर) और घूर्णन कोटि 2 (180°, 360°)। **दोनों क्यों हैं:** ये चतुर्भुज सभी समांतर चतुर्भुज हैं जिनकी विपरीत भुजाएँ समान हैं। यह गुण कम से कम एक समरूपता की रेखा और कम से कम 2 की घूर्णन समरूपता की कोटि सुनिश्चित करता है। वर्ग, जो नियमित है, दोनों को अधिकतम करता है। --- **Q2: एक तारे की आकृति 5 समान समद्विबाहु त्रिभुजों को एक नियमित पंचभुज के शीर्षों पर रखकर बनाई जाती है, सभी बाहर की ओर इंगित करते हुए। इस तारे की समरूपता की रेखाओं की संख्या और घूर्णन समरूपता की कोटि निर्धारित कीजिए।** *समाधान:* **समरूपता की रेखाएँ:** 5 प्रत्येक रेखा एक शीर्ष (त्रिभुज का शिखर) से होकर जाती है और पंचभुज की विपरीत भुज के मध्य बिंदु से। चूँकि 5 ऐसे शीर्ष हैं, समरूपता की 5 रेखाएँ हैं। **घूर्णन समरूपता की कोटि:** 5 तारा 360° ÷ 5 = 72° घुमाने के बाद अपनी मूल स्थिति में आ जाता है। यह 144°, 216°, 288° और 360° पर भी समान दिखता है। **सत्यापन:** एक 5-भुज वाले नियमित तारे की घूर्णन समरूपता की कोटि बिंदुओं की संख्या के बराबर होनी चाहिए, जो 5 है। कारण: सभी 5 भुज समान हैं, इसलिए 72° घुमाने से अगला भुज पहले की स्थिति पर आता है। --- **Q3: एक डिजाइन दो समान त्रिज्या वाले अतिव्यापी वृत्तों से बना है, जैसे कि प्रत्येक की परिधि दूसरे के केंद्र से होकर जाती है। इस डिजाइन की कितनी समरूपता की रेखाएँ हैं? समझाइए कि क्यों।** *समाधान:* **समरूपता की रेखाओं की संख्या:** 2 **व्याख्या:** केंद्रों को O₁ और O₂ लेबल दीजिए। दोनों वृत्त दो बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। 1. **रेखा 1 (O₁ और O₂ से होकर):** यह रेखा एक समरूपता की रेखा है क्योंकि: - वृत्त 1 (O₁ पर केंद्रित) अपने आप पर परावर्तित होता है। - वृत्त 2 (O₂ पर केंद्रित) अपने आप पर परावर्तित होता है। - अतिव्यापी क्षेत्र भी सममित रूप से परावर्तित होता है। 2. **रेखा 2 (O₁O₂ का लंबवत् समद्विभाजक):** यह रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं A और B से होकर जाती है। यह एक समरूपता की रेखा है क्योंकि: - O₁ और O₂ को इस रेखा पर प्रतिबिंबित करना दोनों वृत्तों को विनिमय करता है, जो समान हैं। - डिजाइन इस रेखा की दोनों ओर समान दिखता है। **अन्य रेखाएँ क्यों काम नहीं करतीं:** - O₁ और O₂ दोनों से न होकर जाने वाली या A और B से न होकर जाने वाली कोई भी रेखा समरूपता को तोड़ेगी क्योंकि दोनों वृत्त अलग-अलग वस्तुएँ हैं जो केवल इन दो अक्षों के बारे में सममित रूप से स्थित हैं। --- **Q4: एक पैटर्न एक वर्ग के अंदर अक्षर 'A' को व्यवस्थित करके बनाया गया है जैसे कि A की एक ऊर्ध्वाधर समरूपता की रेखा है। यदि इस पूरे डिजाइन (अक्षर + वर्ग) को वर्ग के केंद्र के चारों ओर 180° घुमाया जाता है, तो क्या यह अभी भी समान दिखता है? वर्ण और अक्षर दोनों की घूर्णन समरूपता पर विचार करके अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए।** *समाधान:* **उत्तर:** हाँ, यह 180° घूर्णन के बाद समान दिखता है।

**केस स्टडी: टाइल फैक्ट्री डिज़ाइन समस्या** एक टाइल फैक्ट्री एक नियमित षट्भुज को छोटी आकृतियों के साथ जोड़कर सजावटी टाइलें डिज़ाइन करती है। डिज़ाइनर एक टाइल बनाता है जिसमें: - केंद्र में एक नियमित षट्भुज। - षट्भुज के प्रत्येक पक्ष में 6 समान समद्विबाहु त्रिभुज जुड़े हुए, सभी बाहर की ओर इशारा करते हुए। फैक्ट्री मैनेजर चाहता है कि इस टाइल में अधिकतम समरूपता हो ताकि वह किसी भी दिशा में निर्बाध रूप से फिट हो जाए। निम्नलिखित का उत्तर दें: **भाग A:** इस टाइल डिज़ाइन में समरूपता की कितनी पंक्तियाँ हैं? उनकी स्थिति को ड्रा या वर्णित करें। **भाग B:** घूर्णी समरूपता का क्रम कितना है? **भाग C:** यदि फैक्ट्री टाइलें बनाती है और उन्हें हनीकॉम्ब पैटर्न में व्यवस्थित करती है, तो क्या कुल पैटर्न व्यक्तिगत टाइलों की समरूपता को बनाए रखेगा? समझाइए कि क्यों या क्यों नहीं। **भाग D:** यदि फैक्ट्री उत्पादन लागत कम करना चाहती है और डिज़ाइन को समरूपता की एक पंक्ति के साथ दो समान आधों में तोड़ना चाहती है, तो उन्हें कौन सी पंक्ति चुननी चाहिए? क्यों? --- **चरण-दर-चरण समाधान:** **भाग A – समरूपता की पंक्तियाँ:** डिज़ाइन में **6 समरूपता की पंक्तियाँ** हैं: - षट्भुज के विपरीत शीर्षों के माध्यम से 3 पंक्तियाँ (और विपरीत त्रिभुजों की युक्तियाँ)। - षट्भुज की विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं के माध्यम से 3 पंक्तियाँ (और विपरीत त्रिभुजों के आधार)। ये टाइल को 12 सर्वांगसम भागों में विभाजित करते हैं। **भाग B – घूर्णी समरूपता का क्रम:** क्रम **6** है। कोण: 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°। तर्क: षट्भुज में 6-गुना समरूपता है, और 6 समान त्रिभुज इसे संरक्षित करते हैं। 60° घुमाने पर, डिज़ाइन समान दिखता है क्योंकि अगला त्रिभुज वर्तमान की स्थिति में होता है। **भाग C – हनीकॉम्ब व्यवस्था:** हाँ, कुल पैटर्न समरूपता को बनाए रखता है। जब षट्भुज एक तल को टाइल करते हैं (हनीकॉम्ब), तब भी प्रत्येक टाइल अपनी 6-गुना घूर्णी और परावर्तन समरूपता का सम्मान करती है। टाइलों के बीच की सीमाएँ समरूपता की पंक्तियों के साथ संरेखित होती हैं, जिससे एक निरंतर सममित पैटर्न बनता है। यही कारण है कि हनीकॉम्ब संरचनाएँ प्रकृति में इतनी कुशल हैं। **भाग D – लागत-कमी रणनीति:** षट्भुज के विपरीत शीर्षों के माध्यम से **3 पंक्तियों में से कोई भी चुनें (या समकक्ष रूप से, विपरीत त्रिभुज की युक्तियों के माध्यम से)।** कारण: ये पंक्तियाँ निर्माण के लिए सबसे आसान हैं क्योंकि वे केंद्र से गुज़रती हैं और टाइल को सीधी किनारों के साथ दो समान आधों में विभाजित करती हैं। फैक्ट्री एक आधा बना सकती है और इसे प्रतिबिंबित कर सकती है, जिससे मोल्ड की जटिलता कम हो जाती है। षट्भुज की भुजाओं के माध्यम से पंक्तियाँ गणितीय रूप से समान रूप से मान्य हैं लेकिन उत्पादन के दौरान संरेखित करना कठिन हो सकता है।

cbsetutor.ai पर, हम समझते हैं कि कक्षा 9 गणित को पास करने का मतलब *दृश्य तर्क* में महारत हासिल करना है, केवल परिभाषाएँ याद रखना नहीं। हमारा AI ट्यूटर अध्याय 11 समरूपता समस्याओं को उसी तरह से ड्रिल करने के लिए बनाया गया है जिस तरह आपके बोर्ड परीक्षक उन्हें परीक्षा में देते हैं: **1. अनुकूल MCQ दौर (दैनिक 5–10 मिनट)** हमारा AI यादृच्छिक 1-अंक की समरूपता प्रश्न उत्पन्न करता है और तुरंत प्रतिक्रिया देता है। आपके जवाब देने के बाद, AI समझाता है कि *क्यों* एक वर्ग में 4 पंक्तियाँ हैं (3 नहीं) और क्यों एक विषमबाहु त्रिभुज में शून्य पंक्तियाँ हैं। दूरस्थ पुनरावृत्ति सुनिश्चित करती है कि आप परीक्षा के लिए ये तथ्य बनाए रखें। **2. चरण-दर-चरण स्केच-और-समझाइए ड्रिल** 2–3 अंक के प्रश्नों के लिए, आप एक इंटरैक्टिव कैनवास पर समरूपता की पंक्तियों को ड्रा करते हैं या घूर्णन के केंद्रों को चिह्नित करते हैं। AI आपके ड्राइंग को मान्य करता है, वास्तविक समय में गलतियों को सुधारता है, और अनुवर्ती तर्क प्रश्न पूछता है (जैसे, "यह विकर्ण समरूपता की पंक्ति के रूप में क्यों नहीं गिना जाता?")। **3. समयबद्ध समस्या-समाधान सत्र (15–20 मिनट)** हमारा AI ट्यूटर परीक्षा जैसी स्थितियों के तहत मिश्रित 3–5 अंक के प्रश्न सौंपता है। आप पूर्ण समाधान लिखते हैं; AI आपके तर्क, अंकगणित और व्याख्या की स्पष्टता की जाँच करता है। कमजोर क्षेत्र विशिष्ट अवधारणाओं पर लघु पाठ ट्रिगर करते हैं (जैसे, घूर्णी समरूपता क्रम की गणना)। **4. वास्तविक समय त्रुटि विश्लेषण** यदि आप *समरूपता की पंक्तियों* को *घूर्णी समरूपता अक्षों* के साथ भ्रमित करते हैं, तो हमारा AI तुरंत इसे पकड़ता है और उदाहरणों (वृत्त, नियमित बहुभुज, अनियमित आकार) के साथ लक्षित स्पष्टीकरण प्रदान करता है। **5. आत्मविश्वास ट्रैकिंग** प्लेटफॉर्म यह ट्रैक करता है कि आप कौन से प्रश्न प्रकार (MCQ, आरेख, प्रमाण) को आत्मविश्वास से संभालते हैं और कौन से आप संघर्ष करते हैं। आपकी बोर्ड परीक्षा से पहले, आप एक शक्ति/कमजोरी प्रोफाइल देखते हैं ताकि आप जानें कि सटीक रूप से क्या संशोधित करना है। **cbsetutor.ai पर 3-दिवसीय मुफ्त परीक्षण शुरू करें**—इन 18 प्रश्नों के साथ लाइव AI प्रतिक्रिया के साथ काम करें और देखें कि आप अध्याय 11 में कितनी तेजी से महारत हासिल करेंगे।

**रेखा समरूपता (परावर्तन समरूपता):** - एक आकृति में समरूपता की एक पंक्ति होती है यदि इसे एक पंक्ति के साथ मोड़ा जा सकता है ताकि दोनों आधे बिल्कुल मेल खाएँ। - ध्यान से गिनें: आयत के विकर्ण *समरूपता की पंक्तियाँ नहीं* हैं। **घूर्णी समरूपता:** - एक आकृति में *n* की घूर्णी समरूपता होती है यदि यह 360° से कम घुमाने के बाद समान दिखता है (कम से कम एक बार)। - **क्रम = 360° ÷ (घूर्णन का सबसे छोटा कोण)** - उदाहरण: वर्ग 90° पर समान रूप से घूमता है → क्रम = 360° ÷ 90° = 4 **सामान्य आकार:** - **समबाहु त्रिभुज:** 3 पंक्तियाँ, क्रम 3 - **वर्ग:** 4 पंक्तियाँ, क्रम 4 - **नियमित पंचभुज:** 5 पंक्तियाँ, क्रम 5 - **नियमित षट्भुज:** 6 पंक्तियाँ, क्रम 6 - **आयत (गैर-वर्ग):** 2 पंक्तियाँ, क्रम 2 - **समचतुर्भुज (गैर-वर्ग):** 2 पंक्तियाँ, क्रम 2 - **समद्विबाहु त्रिभुज:** 1 पंक्ति, क्रम 1 (कोई घूर्णी समरूपता नहीं) - **विषमबाहु त्रिभुज:** 0 पंक्तियाँ, क्रम 1 (कोई घूर्णी समरूपता नहीं) - **वृत्त:** ∞ पंक्तियाँ, ∞ क्रम - **अर्धवृत्त:** 1 पंक्ति, क्रम 1 **महत्वपूर्ण:** एक आकृति में रेखा समरूपता *बिना* घूर्णी समरूपता (समद्विबाहु त्रिभुज), घूर्णी समरूपता *बिना* रेखा समरूपता (S-वक्र, विषम पुनरावृत्ति के साथ चक्रवात), या *दोनों* (वर्ग, नियमित षट्भुज), या *कोई भी नहीं* (विषमबाहु त्रिभुज) हो सकती है।