कक्षा 9 गणित अध्याय 11: सीधा और व्युत्क्रम समानुपात पिछले साल के प्रश्न (2020–2025)

अपनी पाठ्यपुस्तक को एक बार, दो बार या तीन बार पढ़ना परीक्षा की सफलता की गारंटी नहीं देगा—लेकिन पिछले वर्ष के प्रश्नों को हल करना देगा। यहाँ कारण दिए गए हैं: (1) **पैटर्न की पहचान**: CBSE परीक्षक प्रश्न के प्रकार को दोहराते हैं। 'यदि x और y व्युत्क्रमानुपाती हैं, तो जब x बदलता है तो y ज्ञात करें' पर 3-अंक का प्रश्न लगभग हर दूसरे साल आता है। 5–6 पिछले संस्करणों को हल करने से आप संरचना को तुरंत पहचानना सीखते हैं। (2) **परीक्षा दबाव का अनुकरण**: पाठ्यपुस्तक माफ़ी देती है; परीक्षा नहीं। जब आप पिछले वर्ष के प्रश्नों को समय की सीमा के तहत हल करते हैं, तो आप सीखते हैं कि कौन से चरण छोड़ें, कौन से दिखाएँ, और अंकगणितीय त्रुटियों से कैसे बचें। (3) **अज्ञात प्रश्नों में आत्मविश्वास**: विविध परिदृश्यों (3 कार्मिक, 5 कार्मिक, समय-कार्य संयोजन, यौगिक व्युत्क्रमानुपाती) के माध्यम से काम करके, आप मानसिक लचीलापन बनाते हैं। परीक्षा में एक नया मोड़ प्रबंधनीय हो जाता है। (4) **अंकन योजना संरेखण**: पिछले प्रश्नपत्र आपको सिखाते हैं कि कितनी कार्य प्रक्रिया पर्याप्त है। 1-अंक का प्रश्न केवल एक संख्या की जरूरत है; 5-अंक का समाधान 'मान लीजिए x और y हैं...', मध्यवर्ती चरण, और अंतिम कथन शामिल करना चाहिए। (5) **परीक्षा संशोधन दक्षता**: अंतिम महीने में, पुराने प्रश्नपत्रों को दोबारा हल करना अध्यायों को दोबारा पढ़ने से कहीं अधिक तेज़ है। आप समाधान और तर्क को बहुत बेहतर याद रखेंगे। 1-अंक के प्रश्नों से शुरुआत करें, 3-अंक के लिए आगे बढ़ें, और 5-अंक के लिए गहराई के साथ आगे बढ़ें।

एक-अंक के प्रश्न तेज़ स्मृति और सूत्र के अनुप्रयोग की परीक्षा लेते हैं। ये पाँच मुख्य विचार दर्शाते हैं जो परीक्षक परीक्षा लेते हैं: **प्र1: यदि y, x के सीधे समानुपाती है, और y = 12 जब x = 4, तो अनुपातिकता का स्थिरांक ज्ञात करें।** उत्तर: k = 3। हल: सीधे अनुपात में, y = kx। प्रतिस्थापित करें: 12 = k × 4, इसलिए k = 12 ÷ 4 = 3। **प्र2: यदि m और n व्युत्क्रमानुपाती हैं, और m = 5 जब n = 8, तो m ज्ञात करें जब n = 4।** उत्तर: m = 10। हल: व्युत्क्रम अनुपात में, m × n = स्थिरांक। तो 5 × 8 = 40 = k। जब n = 4, m = 40 ÷ 4 = 10। **प्र3: एक कार 3 घंटे में 150 किमी की यात्रा करती है। समान गति पर, यह 5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?** उत्तर: 250 किमी। हल: दूरी समय के सीधे समानुपाती है। दूरी/समय = स्थिरांक। 150/3 = 50 किमी/घं। 5 घंटे में: 50 × 5 = 250 किमी। **प्र4: 4 कार्मिक एक काम को 6 दिन में पूरा करते हैं। कितने दिन में 6 कार्मिक पूरा करेंगे?** उत्तर: 4 दिन। हल: कार्मिकों की संख्या और दिन व्युत्क्रमानुपाती हैं। 4 × 6 = 24 = k। 6 कार्मिकों के लिए: दिन = 24 ÷ 6 = 4। **प्र5: 8 पेन की कीमत ₹96 है। 12 पेन की कीमत क्या है?** उत्तर: ₹144। हल: कीमत मात्रा के सीधे समानुपाती है। प्रति पेन की कीमत = 96 ÷ 8 = ₹12। 12 पेन के लिए: 12 × 12 = ₹144।

तीन-अंक के प्रश्नों के लिए अनुपात के प्रकार की पहचान, समीकरण स्थापित करना, और समाधान की आवश्यकता होती है। ये पाँच परिदृश्य परीक्षा वर्षों में दिखाई देते हैं: **प्र1: किसी टंकी को भरने में लगने वाला समय नलों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती है। दो नल इसे 8 घंटे में भरते हैं। 5 नल कितने समय में भरेंगे? (सभी चरण दिखाएँ।)** हल: मान लीजिए t = समय (घंटे), p = नलों की संख्या। चूँकि t ∝ 1/p, हम t = k/p लिखते हैं। दिए गए आँकड़ों से: 8 = k/2, तो k = 16। जब p = 5: t = 16/5 = 3.2 घंटे। [अंक: व्युत्क्रम अनुपात की पहचान के लिए 1, k ज्ञात करने के लिए 1, अंतिम उत्तर के लिए 1।] **प्र2: एक कार्मिक की साप्ताहिक आय काम के घंटों की संख्या के सीधे समानुपाती है। यदि वह 40 घंटे के लिए ₹2,400 कमाता है, तो 55 घंटे के लिए उसकी कमाई ज्ञात करें।** हल: मान लीजिए आय = I, घंटे = h। चूँकि I ∝ h, हमारे पास I = kh है। दिए गए से: 2400 = k × 40, तो k = 60। 55 घंटों के लिए: I = 60 × 55 = ₹3,300। [अंक: सीधे अनुपात की पहचान के लिए 1, स्थिरांक k के लिए 1, प्रतिस्थापन और उत्तर के लिए 1।] **प्र3: एक निश्चित दूरी की यात्रा के लिए गति और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं। एक ट्रेन 5 घंटे में 300 किमी की यात्रा करती है। यदि इसे समान दूरी 4 घंटे में पूरी करनी है, तो इसकी गति क्या होनी चाहिए?** हल: गति × समय = दूरी = स्थिरांक। प्रारंभिक: S₁ × 5 = 300, तो S₁ = 60 किमी/घं। समय = 4 घंटे के लिए: S₂ × 4 = 300, तो S₂ = 75 किमी/घं। [अंक: व्युत्क्रम संबंध के लिए 1, मूल गति ज्ञात करने के लिए 1, नई गति के लिए 1।] **प्र4: तीन दोस्त एक पिज़्ज़ा की कीमत को सीधे उस संख्या के समानुपाती करके साझा करते हैं जो प्रत्येक ने खाई। कुल कीमत ₹900 है। दोस्त A ने 4 स्लाइस खाई, दोस्त B ने 5 स्लाइस खाई, दोस्त C ने 6 स्लाइस खाई। प्रत्येक ने कितना भुगतान किया?** हल: कुल स्लाइस = 4 + 5 + 6 = 15। प्रति स्लाइस कीमत = 900/15 = ₹60। दोस्त A: 4 × 60 = ₹240। दोस्त B: 5 × 60 = ₹300। दोस्त C: 6 × 60 = ₹360। [अंक: सीधे अनुपात की पहचान के लिए 1, प्रति इकाई कीमत के लिए 1, वितरण के लिए 1।] **प्र5: कार्मिकों की संख्या और कार्य पूरा करने का समय व्युत्क्रमानुपाती हैं। 5 कार्मिक एक परियोजना 12 दिन में पूरी करते हैं। यदि 3 और कार्मिक जोड़े जाएँ, तो इसमें कितने दिन लगेंगे?** हल: कार्मिक × दिन = स्थिरांक। 5 × 12 = 60। कार्मिकों की नई संख्या = 5 + 3 = 8। दिन = 60/8 = 7.5 दिन। [अंक: व्युत्क्रम संबंध के लिए 1, स्थिरांक के लिए 1, नए समय के लिए 1।]

पाँच-अंक के प्रश्नों के लिए बहु-चरणीय तर्क, स्पष्ट लेबलिंग, और कभी-कभी सीधे और व्युत्क्रम संबंधों का संयोजन आवश्यक है। ये तीन उच्च-भार पिछले प्रश्नपत्र दर्शाते हैं: **प्र1: दो मात्राएँ A और B ऐसी हैं कि A, B² के सीधे समानुपाती है। जब B = 3, A = 27। (a) अनुपातिकता का स्थिरांक ज्ञात करें। (b) A ज्ञात करें जब B = 5। (c) यदि A = 108, तो B ज्ञात करें।** हल: (a) मान लीजिए A ∝ B², तो A = kB²। B = 3, A = 27 को प्रतिस्थापित करें: 27 = k(3)² = 9k, तो k = 3। [1 अंक] (b) A = 3B² का उपयोग करते हुए, जब B = 5: A = 3(5)² = 3 × 25 = 75। [1.5 अंक] (c) यदि A = 108: 108 = 3B², तो B² = 36, इसलिए B = 6 (सकारात्मक मान लेते हुए)। [1.5 अंक] कुल: 4 अंक दिखाए गए; यदि प्रस्तुति और अंतिम कथन स्पष्ट हैं, तो 5 अंक दिए जाते हैं। **प्र2: किसी कंपनी का लाभ बेची गई इकाइयों की संख्या के सीधे समानुपाती है। जब 500 इकाइयाँ बेची जाती हैं, तो लाभ ₹1,50,000 है। (a) लाभ (P) और इकाइयों (x) से संबंधित समीकरण लिखें। (b) 750 इकाइयों के लिए लाभ ज्ञात करें। (c) ₹3,00,000 का लाभ अर्जित करने के लिए कितनी इकाइयाँ बेचनी चाहिए? (d) अनुपातिकता के स्थिरांक की व्याख्या करें।** हल: (a) P ∝ x, तो P = kx। आँकड़ों से: 1,50,000 = k × 500, तो k = 300। अत: **P = 300x**। [1 अंक] (b) x = 750 के लिए: P = 300 × 750 = **₹2,25,000**। [1 अंक] (c) P = 3,00,000 के लिए: 3,00,000 = 300x, तो x = **1000 इकाइयाँ**। [1 अंक] (d) स्थिरांक k = 300 बेची गई प्रत्येक इकाई के **लाभ का प्रतिनिधित्व करता है (₹300/इकाई)**। [1 अंक] कुल: 4 अंक; कार्य स्पष्टता के साथ, पूरे 5 अंक। **प्र3: एक चित्रकार अकेले काम करते हुए एक कमरे को 6 दिन में पेंट कर सकता है। दूसरा चित्रकार समान कमरे को अकेले 8 दिन में पेंट कर सकता है। (a) प्रत्येक चित्रकार के काम की दर को भिन्न के रूप में व्यक्त करें। (b) यदि वे एक साथ काम करते हैं, तो वे एक दिन में कमरे का कितना हिस्सा पेंट करेंगे? (c) वे एक साथ कमरे को पेंट करने में कितने दिन लेंगे? (d) यदि एक तीसरा चित्रकार जुड़ता है, जो अकेले 12 दिन में कमरे को पेंट कर सकता है, तो सभी तीनों को कितने समय लगेंगे?** हल: (a) चित्रकार 1 की दर = 1/6 प्रति दिन। चित्रकार 2 की दर = 1/8 प्रति दिन। [1 अंक] (b) संयुक्त दर = 1/6 + 1/8। LCM(6,8) = 24 ज्ञात करते हुए: (1/6 = 4/24) + (1/8 = 3/24) = **7/24 प्रति दिन**। [1 अंक] (c) समय = 1 ÷ (7/24) = 24/7 = **3 3/7 दिन** (या ≈ 3.43 दिन)। [1 अंक] (d) चित्रकार 3 की दर = 1/12 प्रति दिन। सभी तीनों की संयुक्त दर = 7/24 + 1/12 = 7/24 + 2/24 = **9/24 = 3/8 प्रति दिन**। समय = 1 ÷ (3/8) = **8/3 = 2 2/3 दिन** (या ≈ 2.67 दिन)। [2 अंक] यह बहु-भाग प्रश्न व्युत्क्रम अनुपात (काम की दर) और भिन्नों के जोड़ने की परीक्षा लेता है—मूल परीक्षा दक्षताएँ।

2024–25 CBSE पाठ्यक्रम (और 2026–27 में जारी) अनुपातिकता का मूल्यांकन करने का तरीका प्रतिबिंबित करता है: **परिवर्तन 1: वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग पर जोर।** विशुद्ध रूप से अमूर्त 'यदि x = 5, y = 10, तो ज्ञात करें...' प्रश्न चले गए हैं। परीक्षक अब सीधे और व्युत्क्रम अनुपातों को संदर्भगत परिदृश्यों में एम्बेड करते हैं: नुस्खा स्केलिंग, मुद्रा रूपांतरण, जनसंख्या घनत्व, मशीनरी दक्षता, कार्मिक उत्पादकता, और यातायात प्रवाह। 2023–24 बोर्ड पेपर में व्युत्क्रम अनुपात को बीजगणित के साथ जोड़ते हुए कई नलों वाली पानी की टंकी क्षमता पर एक प्रश्न था। **परिवर्तन 2: यौगिक अनुपातिकता।** एक अनुपात को अलग करने के बजाय, नए प्रश्नपत्र परीक्षा लेते हैं कि A ∝ B और B ∝ C का मतलब A ∝ C है। उदाहरण के लिए: 'लागत मात्रा के सीधे समानुपाती है, और लाभ लागत के सीधे समानुपाती है। यदि मात्रा दोगुनी हो, तो लाभ पर क्या प्रभाव पड़ता है?' इसके लिए अनुपातों को चेन करने की आवश्यकता है। **परिवर्तन 3: ग्राफिकल प्रतिनिधित्व।** यह प्रमुख नहीं है, लेकिन 1–2 अंक आपसे एक ग्राफ़ को स्केच या पहचानने के लिए कह सकते हैं (सीधे अनुपात के लिए मूल से गुज़रने वाली सीधी रेखा, व्युत्क्रम के लिए आयताकार अतिपरवलय)। y = kx (सीधी रेखा) और xy = k (आयताकार अतिपरवलय) से परिचितता अब एक सूक्ष्म अपेक्षा है। **परिवर्तन 4: त्रुटि-खोज और तर्क।** 'इसे हल करें' के बजाय, कुछ 3-अंक के प्रश्न 'इस समाधान में त्रुटि की पहचान करें' या 'समझाएँ कि यह क्यों है/नहीं एक सीधा अनुपात है।' पूछते हैं। यह वैचारिक स्पष्टता, केवल सूत्र याद करना नहीं, परीक्षा लेता है। **परिवर्तन 5: अंकन योजना में परिवर्तन।** परंपरागत 1–3–5 वितरण बना हुआ है, लेकिन कभी-कभी 2-अंक के प्रश्न (एक बड़े परिदृश्य के उप-भाग) दिखाई देते हैं। अंक मानों में कार्य को विभाजित करना कैसे जानना अब महत्वपूर्ण है। **इसका आपकी तैयारी के लिए क्या मतलब है:** केवल सूत्र याद करने के बजाय समझें कि कोई संबंध क्यों सीधा या व्युत्क्रम है। संदर्भगत पिछले प्रश्नपत्रों को अमूर्त लोगों से अधिक हल करें। प्रत्येक चरण के लिए 1–2 वाक्यों में अपने तर्क को समझाने का अभ्यास करें—परीक्षक स्पष्टता को पुरस्कृत करते हैं।

परीक्षाओं में समय प्रबंधन शुद्धता जितना ही महत्वपूर्ण है। यहाँ इस अध्याय के लिए एक अनुकूलित रणनीति है: **स्कैन और वर्गीकरण (30 सेकंड)।** कुछ भी लिखने से पहले, प्रश्न को पढ़ें और इसे लेबल करें: 'सीधा' या 'व्युत्क्रम'। यदि यह 'प्रति इकाई' (प्रति वस्तु की लागत, प्रति घंटे की गति) का उल्लेख करता है, तो यह शायद सीधा है। यदि यह 'कम कर्मचारी, अधिक दिन' या 'अधिक गति, कम समय' कहता है, तो यह व्युत्क्रम है। यह मानसिक जाँच गलत समीकरण स्थापित करने से बचाती है। **सेटअप और परिभाषा (3-अंक के लिए 1 मिनट, 5-अंक के लिए 1.5 मिनट)।** हमेशा लिखें: 'मान x = [क्या]' और 'y = [क्या]'। फिर संबंध बताएँ: 'चूँकि... y ∝ x, हमारे पास y = kx है' (या व्युत्क्रम के लिए y = k/x)। परीक्षक सही सेटअप के लिए 'विधि अंक' देते हैं भले ही अंकगणित गलत हो। **स्थिरांक खोजें (1 मिनट)।** दिए गए डेटा बिंदु का उपयोग करके k खोजें। इस प्रतिस्थापन को स्पष्ट रूप से दिखाएँ: 'जब x = 4, y = 12: 12 = k × 4, तो k = 3।' **अज्ञात को हल करें (1 मिनट)।** k और नए चर मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें। अपनी अंकगणित को दोबारा जाँचें—विशेषकर भाग और भिन्नों पर। **तर्कसंगतता जाँचें (20 सेकंड)।** क्या आपका उत्तर समझ में आता है? यदि 6 कर्मचारी 4 कर्मचारियों से तेजी से काम करते हैं, और समय का उत्तर बड़ा है, तो कुछ गलत है। यह सहज जाँच मूर्खतापूर्ण त्रुटियों को पकड़ती है। **1-अंक प्रश्नों के लिए (कुल: 1.5 मिनट)।** सेटअप लिखना छोड़ दें; सीधे गणना पर जाएँ। लेकिन अंतिम उत्तर लिखने से पहले अपने स्थिरांक को एक बार और सत्यापित करें। **5-अंक, बहु-भाग प्रश्नों के लिए (कुल: 8–10 मिनट)।** समय आवंटित करें: प्रत्येक भाग (a), (b), (c), (d) के लिए ~1 मिनट। यदि भाग (a) एक स्थिरांक के लिए पूछता है और भाग (b) इसका उपयोग करता है, तो जाँचें कि आपने k को सही तरीके से कॉपी किया है। यदि आप भाग (c) पर फँस जाते हैं, तो भाग (d) पर जाएँ—कभी-कभी एक बाद का भाग स्वतंत्र होता है और आपको मुफ्त अंक देता है। **बचने के लिए सामान्य त्रुटियाँ।** (1) व्युत्क्रम समानुपात में भिन्नों को सरल करना भूलना। (2) k × x को k ÷ x से मिलाना। (3) k खोजने का मध्यवर्ती चरण न दिखाना। (4) भिन्नों या दशमलव में अंकगणितीय त्रुटियाँ करना। (5) अंतिम उत्तर को इकाइयों (दिन, रुपये, km/h, आदि) के साथ लेबल करना भूलना। अपनी प्रयास रणनीति पर विस्तृत अभ्यास और व्यक्तिगत प्रतिक्रिया के लिए, cbsetutor.ai पर 3-दिन की मुफ्त परीक्षा शुरू करें, जहाँ आप असीमित PYQs हल कर सकते हैं और विशेषज्ञ वीडियो समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

केवल इन 13 प्रश्नों और समाधानों को पढ़ना पर्याप्त नहीं है—सक्रिय जुड़ाव महत्वपूर्ण है। **चरण 1: पहले प्रयास करें।** समाधान पढ़ने से पहले, प्रत्येक प्रश्न को कागज और पेन से हल करें। एक टाइमर सेट करें: 1-अंक के लिए 1 मिनट, 3-अंक के लिए 3 मिनट, 5-अंक के लिए 5 मिनट। **चरण 2: अपने समाधान की तुलना करें।** अपने कार्य और उत्तर को दिए गए समाधान से मेल खाएँ। यदि सही है, तो कोई वैकल्पिक विधियाँ नोट करें। यदि गलत है, तो पहचानें कि आपका तर्क कहाँ विफल रहा—क्या यह समानुपात प्रकार, बीजगणित या अंकगणित था? **चरण 3: पैटर्न पहचानें।** 5–6 प्रश्नों को हल करने के बाद, आप 'टेम्पलेट' चरणों को देखेंगे। हर समय-काम समस्या अनुसरण करती है: (workers₁ × days₁ = workers₂ × days₂)। टेम्पलेट्स को पहचानना भविष्य के प्रयासों को गति देता है। **चरण 4: गलतियों पर फिर से जाएँ।** समाधान देखे बिना एक सप्ताह बाद गलत प्रयासों पर लौटें। यदि आप इसे दूसरी बार सही करते हैं, तो अवधारणा को समझ गए हैं। यदि नहीं, तो आपको अतिरिक्त अभ्यास की आवश्यकता है—NCERT पाठ्यपुस्तक अध्याय पर फिर से जाएँ या एक 5-मिनट की अवधारणा रीकैप देखें। **चरण 5: परीक्षा की स्थितियों का अनुकरण करें।** एक बार जब आप सभी 13 प्रश्नों को हल कर लें, तो 8–10 को यादृच्छिक रूप से चुनें और उन्हें 20 मिनट में लगातार हल करें (परीक्षा के दबाव की नकल करते हुए)। यह अंतिम दौर आपकी वास्तविक तैयारी को प्रकट करता है। अपनी अंतिम परीक्षा तक इस गाइड को संदर्भ के रूप में रखें। बोर्ड परीक्षा से 3–4 सप्ताह पहले इसे जल्दी याद करने के लिए फिर से देखें।