Class 9 गणित Chapter 10 'शून्य की दूसरी ओर' महत्वपूर्ण प्रश्न और पूर्ण समाधान

अध्याय 10 उच्च विद्यालय के गणित का प्रवेशद्वार है। CBSE कक्षा 9 की बोर्ड परीक्षा आमतौर पर पूर्णांकों और उनकी संक्रियाओं को 6–8 अंक देती है—ये MCQ, लघु उत्तर और अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों में दिखते हैं। 2024-25 का तर्कसंगत पाठ्यक्रम इन बातों पर जोर देता है: (1) **संख्या रेखा और पूर्णांक निरूपण की वैचारिक समझ**, (2) **< और > का उपयोग करके पूर्णांकों की तुलना**, (3) **जोड़ और घटाव के नियम** सूत्र याद किए बिना—दिशा और परिमाण को समझकर, (4) **वास्तविक जीवन का मॉडलिंग**: तापमान परिवर्तन (जैसे, −5°C से +3°C), वित्तीय संदर्भ (कर्ज = नकारात्मक, जमा = सकारात्मक), और गहराई (समुद्र तल से नीचे = नकारात्मक)। परीक्षक यह देखते हैं कि आप पूर्णांकों के बारे में *तर्क* कर सकते हैं या नहीं, बस गणना नहीं। जो छात्र यहाँ संघर्ष करता है वह बाद में रैखिक समीकरणों, निर्देशांक ज्यामिति और बीजगणित में कठिनाई का सामना करता है। यह मार्गदर्शिका तीनों संज्ञानात्मक स्तरों को लक्ष्य करती है: **ज्ञान** (परिभाषाएँ याद करें), **अनुप्रयोग** (शब्द समस्याओं को हल करें), और **विश्लेषण** (रणनीतियों की तुलना करें, समझाएँ कि −7 < −2 क्यों है)।

**प्रश्न 1. संख्या रेखा पर, कौन-सा पूर्णांक +2 के बाईं ओर 5 कदम है?** (a) +7 (b) −3 (c) +3 (d) −7 **उत्तर: (b) −3** व्याख्या: बाईं ओर गति से मान घटता है। +2 − 5 = −3। --- **प्रश्न 2. कौन-सा कथन सत्य है?** (a) −8 > −3 (b) −8 < −3 (c) −8 = −3 (d) कोई नहीं **उत्तर: (b) −8 < −3** व्याख्या: संख्या रेखा पर, −8 −3 के बाईं ओर है, इसलिए यह छोटा है। --- **प्रश्न 3. −15 का योगात्मक प्रतिलोम है:** (a) +15 (b) −15 (c) 0 (d) 1/15 **उत्तर: (a) +15** व्याख्या: −15 + 15 = 0। योगात्मक प्रतिलोम किसी संख्या को निरस्त करता है। --- **प्रश्न 4. यदि तापमान +5°C से 7°C घटता है, तो नया तापमान है:** (a) +12°C (b) −2°C (c) +2°C (d) −12°C **उत्तर: (b) −2°C** व्याख्या: +5 − 7 = −2। --- **प्रश्न 5. पूर्णांकों की कौन-सी जोड़ी विपरीत है?** (a) −6 और 6 (b) −6 और −6 (c) 0 और 0 (d) 6 और 12 **उत्तर: (a) −6 और 6** व्याख्या: विपरीत संख्याएँ शून्य से समान दूरी पर विपरीत दिशाओं में स्थित होती हैं।

**प्रश्न 1. −45 और −54 की तुलना करें। कौन बड़ा है? संख्या रेखा पर दिखाएँ।** **उत्तर:** −45 > −54 संख्या रेखा पर: …−54 … −45 … 0। चूँकि −45 −54 के दाईं ओर है, यह बड़ा है। वैकल्पिक रूप से: −45 −54 की तुलना में "कम कर्ज में है", इसलिए यह बड़ा है। --- **प्रश्न 2. सरल करें: (−12) + 8 − (−5)। अपने चरण दिखाएँ।** **उत्तर:** (−12) + 8 − (−5) = (−12) + 8 + 5 [नकारात्मक घटाना = इसके विपरीत को जोड़ना] = −4 + 5 = +1 --- **प्रश्न 3. एक बैंक खाता −₹250 (अधिविकर्ष) दिखाता है। खाताधारक ₹400 जमा करता है। नया शेष क्या है?** **उत्तर:** नया शेष = −250 + 400 = +150 खाते में अब ₹150 का जमा है। --- **प्रश्न 4. आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 0, −8, +3, −2, +1** **उत्तर:** −8 < −2 < 0 < +1 < +3 (संख्या रेखा पर बाईं ओर से दाईं ओर।) --- **प्रश्न 5. दो पूर्णांकों का योग −10 है। यदि एक पूर्णांक −6 है, तो दूसरा ज्ञात करें।** **उत्तर:** दूसरे पूर्णांक को x मानें। −6 + x = −10 x = −10 − (−6) = −10 + 6 = −4 दूसरा पूर्णांक −4 है।

**प्रश्न 1. 4 दिनों में तापमान में निम्न परिवर्तन होते हैं: दिन 1: 3°C घटता है, दिन 2: 5°C बढ़ता है, दिन 3: 2°C घटता है, दिन 4: 1°C बढ़ता है। यदि शुरुआती तापमान 8°C है, तो अंतिम तापमान क्या है?** **उत्तर:** शुरुआत: +8°C दिन 1 के बाद: 8 − 3 = +5°C दिन 2 के बाद: 5 + 5 = +10°C दिन 3 के बाद: 10 − 2 = +8°C दिन 4 के बाद: 8 + 1 = +9°C अंतिम तापमान: **+9°C** --- **प्रश्न 2. सिद्ध करें कि (−a) + (−b) = −(a + b) संख्या रेखा का उपयोग करके। a = 3 और b = 2 लें।** **उत्तर:** a = 3, b = 2 के साथ: बायां पक्ष: (−3) + (−2) = −5 दायां पक्ष: −(3 + 2) = −5 दोनों पक्ष −5 के बराबर हैं। संख्या रेखा पर: 0 से शुरू करें, 3 कदम बाईं ओर (−3), फिर 2 कदम बाईं ओर (−2), −5 पर पहुँचें। शुद्ध प्रभाव 5 कदम बाईं ओर गति है, जो −5 को दर्शाता है। ✓ --- **प्रश्न 3. एक गोताखोर समुद्र तल से 40 मीटर नीचे है। वह 15 मीटर ऊपर जाती है, फिर 8 मीटर नीचे जाती है। उसकी गतिविधियों को पूर्णांकों का उपयोग करके दर्शाएँ और समुद्र तल के सापेक्ष उसकी अंतिम स्थिति ज्ञात करें।** **उत्तर:** शुरुआती स्थिति: −40 मी (समुद्र तल से नीचे) 15 मीटर ऊपर जाने के बाद: −40 + 15 = −25 मी 8 मीटर नीचे जाने के बाद: −25 − 8 = −33 मी अंतिम स्थिति: **समुद्र तल से 33 मीटर नीचे** (या −33 मी)। --- **प्रश्न 4. यदि x एक पूर्णांक है और −5 < x < 2, तो x के सभी संभावित मान सूचीबद्ध करें और उनका योग ज्ञात करें।** **उत्तर:** −5 और 2 के बीच के पूर्णांक: −4, −3, −2, −1, 0, +1 योग = (−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 0 + 1 = −9 [समूहीकरण: (−4 − 3 − 2 − 1) + (0 + 1) = −10 + 1 = −9]

**प्रश्न 1. 'संख्या रेखा पर पूर्णांकों का जोड़ एक दृश्य यात्रा है।' इस कथन को दो उदाहरणों के साथ समझाएँ: (a) (+3) + (−5), और (b) (−2) + (−4)। संख्या रेखाएँ खींचें और प्रत्येक चरण का वर्णन करें।** **उत्तर:** कथन का अर्थ है कि पूर्णांक जोड़ को संख्या रेखा पर गति के रूप में समझा जा सकता है: - सकारात्मक पूर्णांक = दाईं ओर गति करें। - नकारात्मक पूर्णांक = बाईं ओर गति करें। - अंतिम स्थिति योग है। **(a) (+3) + (−5):** 0 से शुरू करें। 3 कदम दाईं ओर गति करें → +3 पर पहुँचें। अब 5 कदम बाईं ओर गति करें → −2 पर पहुँचें। तो (+3) + (−5) = −2। [संख्या रेखा: 0 →(+3)→ +3 →(−5)→ −2] **(b) (−2) + (−4):** 0 से शुरू करें। 2 कदम बाईं ओर गति करें → −2 पर पहुँचें। अब 4 कदम बाईं ओर गति करें → −6 पर पहुँचें। तो (−2) + (−4) = −6। [संख्या रेखा: 0 ←(−2)← −2 ←(−4)← −6] निष्कर्ष: दृश्य यात्रा स्पष्ट करती है कि *क्यों* जोड़ काम करता है और याद किए गए नियमों पर निर्भरता को हटाता है। जो छात्र गति को समझते हैं वे बाद में बीजगणितीय समीकरणों को स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत करते हैं। --- **प्रश्न 2. 'पूर्णांकों का घटाव विपरीत का जोड़ है।' इस नियम को तीन उदाहरणों का उपयोग करके सत्यापित करें और समझाएँ कि यह गणना को कैसे सरल करता है।** **उत्तर:** *उदाहरण 1:* 7 − 5 = 7 + (−5) = 2 ✓ *उदाहरण 2:* −3 − 4 = −3 + (−4) = −7 ✓ *उदाहरण 3:* −6 − (−2) = −6 + 2 = −4 ✓ यह नियम क्यों काम करता है: घटाना मतलब 'दूर करना।' 5 को दूर करना उसके विपरीत −5 को जोड़ने के समान है। यह घटाव को जोड़ में परिवर्तित करता है, जो एक एकल सुसंगत नियम उपयोग करता है। सरलीकरण: - अलग-अलग घटाव नियमों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। - नकारात्मक × नकारात्मक = सकारात्मक विपरीत की परिभाषा से स्वाभाविक रूप से अनुसरण करता है। - त्रुटियों को कम करता है: छात्र एक संक्रिया (जोड़) और एक अवधारणा (विपरीत) के साथ काम करते हैं। - बीजगणित तक विस्तारित होता है: x − 5 = 3 को हल करना x + (−5) = 3 बन जाता है, फिर x = 3 − (−5) = 8। --- **प्रश्न 3. एक वित्तीय सलाहकार 6 महीनों में एक ग्राहक के खाते को पूर्णांकों का उपयोग करके समझाता है। महीना 1: ₹5000 जमा (+5000)। महीना 2: ₹8000 निकालना (−8000)। महीना 3: ₹3000 जमा (+3000)। महीना 4: ₹1000 निकालना (−1000)। महीना 5: ₹6000 जमा (+6000)। महीना 6: ₹2000 निकालना (−2000)। (a) शुद्ध परिवर्तन की गणना करें। (b) यदि खाता ₹10,000 से शुरू हुआ, तो अंतिम शेष ज्ञात करें। (c) किस महीने में खाता पहली बार अधिविकर्ष में गया (यदि बिल्कुल भी)?** **उत्तर:** **(a) शुद्ध परिवर्तन:** सभी लेनदेन का योग = 5000 − 8000 + 3000 − 1000 + 6000 − 2000 = (5000 + 3000 + 6000) − (8000 + 1000 + 2000) = 14,000 − 11,000 = +3000 (शुद्ध लाभ) **(b) अंतिम शेष:** शुरुआती शेष: ₹10,000 अंतिम शेष = 10,000 + 3000 = **₹13,000** **(c) महीना-दर-महीना शेष:** - शुरुआत: +10,000 - महीना 1: 10,000 + 5000 = +15,000 - महीना 2: 15,000 − 8000 = +7000 - महीना 3: 7000 + 3000 = +10,000 - महीना 4: 10,000 − 1000 = +9000 - महीना 5: 9000 + 6000 = +15,000 - महीना 6: 15,000 − 2000 = +13,000 खाता **कभी भी अधिविकर्ष में नहीं गया** (कभी नकारात्मक नहीं हुआ)। महीना 2 में सबसे कम शेष ₹7000 था।

**केस स्टडी: 'हिमालय के मौसम स्टेशन पर जलवायु निगरानी'** एक मौसम स्टेशन जो 3500 मीटर की ऊँचाई पर है, हर घंटे तापमान दर्ज करता है। स्टेशन एक ग्लेशियर के किनारे पर है, और वैज्ञानिक मौसमी प्रवृत्तियों की निगरानी करते हैं। यहाँ 24 घंटे का एक नमूना है (°C में): | घंटा | 12 AM | 3 AM | 6 AM | 9 AM | 12 PM | 3 PM | 6 PM | 9 PM | |------|-------|------|------|------|-------|------|------|------| | तापमान | −8 | −12 | −15 | −9 | +2 | +5 | +1 | −4 | **(a) तापमान को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।** **उत्तर:** −15, −12, −9, −8, −4, +1, +2, +5 **(b) 12 AM से 9 PM तक कुल तापमान परिवर्तन की गणना करें।** **उत्तर:** परिवर्तन = अंतिम − प्रारंभिक = −4 − (−8) = −4 + 8 = +4°C तापमान 21 घंटों में 4°C बढ़ा (शुद्ध प्रभाव)। **(c) सबसे कम तापमान −15°C था (6 AM)। 9 AM तक, तापमान −9°C तक पहुँच गया। यह कितना बढ़ा?** **उत्तर:** परिवर्तन = −9 − (−15) = −9 + 15 = +6°C 6 AM से 9 AM तक तापमान 6°C बढ़ा। **(d) यदि ग्लेशियर तब पिघलता है जब दैनिक औसत तापमान 0°C से अधिक हो, तो क्या इस दिन ग्लेशियर पिघलने का खतरा था?** **उत्तर:** औसत = (−8 − 12 − 15 − 9 + 2 + 5 + 1 − 4) ÷ 8 = −40 ÷ 8 = −5°C चूँकि −5°C < 0°C, ग्लेशियर को इस दिन पिघलने का **कोई खतरा नहीं** था। 24 घंटे का औसत पिघलने की सीमा से बहुत कम है। **(e) चुनौती: वैज्ञानिकों का अनुमान है कि कल का औसत +3°C होगा। इसका ग्लेशियर के लिए क्या मतलब है? पूर्णांक परिवर्तन के संदर्भ में समझाइए।** **उत्तर:** दैनिक औसत में परिवर्तन = +3 − (−5) = +8°C यदि औसत 8°C बढ़ता है और +3°C तक पहुँचता है, तो ग्लेशियर पिघलने का खतरे में होगा। यह एक महत्वपूर्ण वार्मिंग प्रवृत्ति को दर्शाता है। 0°C से ऊपर निरंतर वार्मिंग पिघलने की दर को तेज करता है, जो ग्लेशियर की स्थिरता और नीचे की ओर जल आपूर्ति को खतरे में डालता है।

**cbsetutor.ai** पर, हमने एक AI ट्यूटर बनाया है जो आपके कक्षा 9 के परीक्षक द्वारा पूछे जाने वाले सटीक प्रश्न पैटर्न की नकल करता है। यहाँ अध्याय 10 के लिए हमारी प्रणाली कैसे काम करती है: **1. अनुकूली प्रश्न बैंक:** हमारा AI आपके कमजोर क्षेत्रों (जैसे नकारात्मक पूर्णांकों की तुलना, या नकारात्मकों को घटाना) का विश्लेषण करता है और उन खामियों को लक्ष्य करने वाले प्रश्न देता है। यदि आप तापमान पर 3-अंक के आवेदन प्रश्नों में गलती करते हैं, तो सिस्टम समान परिदृश्य को प्राथमिकता देता है: गहराई, कर्ज, ऊँचाई। आपको 10–15 नए भिन्न प्रश्न मिलते हैं, उसी 5 प्रश्नों को बार-बार नहीं। **2. रीयल-टाइम संख्या-रेखा दृश्यीकरण:** स्थिर पाठ्यपुस्तक आरेखों के बजाय, हमारी इंटरैक्टिव संख्या-रेखा आपके कदमों को **एनिमेट** करती है। जब आप (+3) + (−5) दर्ज करते हैं, तो आप एक कर्सर को 3 दाईं ओर, फिर 5 बाईं ओर घूमते हुए, −2 पर उतरते हुए देखते हैं। यह दृश्य प्रतिक्रिया कुछ ही सेकंड में अवधारणा को दृढ़ करती है, घंटों की निष्क्रिय पढ़ाई नहीं। **3. बोर्ड गति से मेल खाते समयबद्ध अभ्यास:** हम 15 मिनट के समयबद्ध MCQ सेट (ऊपर दिए गए 5-प्रश्न ब्लॉक जैसे), 30 मिनट के मिश्रित पत्र (MCQs + shorts + mediums), और 90 मिनट के पूर्ण सिमुलेशन (बोर्ड-परीक्षा अनुपात में 2-अंक, 3-अंक, और 5-अंक खंड) प्रदान करते हैं। आप एक साथ गति **और** सटीकता का अभ्यास करते हैं। **4. तत्काल, विस्तृत प्रतिक्रिया:** प्रत्येक प्रश्न के बाद, AI बताता है कि आपका उत्तर सही या गलत *क्यों* था। ऊपर प्रश्न 2 के लिए (−8 < −3 या −8 > −3?), यदि आप गलत चुनते हैं, तो हमारा ट्यूटर पूछता है: 'संख्या-रेखा पर, −8 −3 के बाईं या दाईं ओर है? कौन सी ओर = छोटा?' यह सुकराती विधि केवल याद नहीं, बल्कि तर्क बनाती है। **5. वास्तविक जीवन संदर्भ अभ्यास:** हमारी प्रणाली पूर्णांकों को दैनिक परिदृश्यों में बुनती है। आप एक ही सत्र में 3 तापमान समस्याओं, 2 वित्तीय प्रश्नों, और 2 गहराई/ऊँचाई समस्याओं को हल करते हैं—सभी भिन्न संख्याओं के साथ, इसलिए कोई याद नहीं होता। दिन 5 तक, आवेदन प्रश्न दिनचर्या महसूस होते हैं, नए नहीं। **6. माता-पिता के अनुकूल प्रगति रिपोर्ट:** आपके माता-पिता देखते हैं कि आपने 1-अंक MCQs (90% सटीकता) में महारत हासिल की है, 3-अंक कौशल विकसित कर रहे हैं (72% सटीकता), और 5-अंक लंबे उत्तर संरचना (58% सटीकता) पर काम की जरूरत है। लक्षित, डेटा-समर्थित लक्ष्य अस्पष्ट 'अधिक अध्ययन करो' सलाह को प्रतिस्थापित करते हैं। **cbsetutor.ai** पर 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण शुरू करें यह अनुभव करने के लिए कि AI-निर्देशित अभ्यास अध्याय 10 को भ्रामक से क्रिस्टल-स्पष्ट तक कैसे बदलते हैं, सब कुछ अपनी गति पर।

अपनी परीक्षा से 24 घंटे पहले अध्याय 10 की महारत की पुष्टि करने के लिए इस चेकलिस्ट का उपयोग करें: ✓ **संख्या-रेखा बेसिक्स:** क्या आप −8, 0, +5, −2, +10 को संख्या-रेखा पर सही स्थिति में चिह्नित कर सकते हैं? ✓ **तुलना:** संख्या-रेखा के बिना, क्या आप तुरंत कह सकते हैं −9 < −4 < 0 < +3 सही है? ✓ **जोड़ नियम:** क्या आप समझते हैं (याद नहीं करते) कि (−a) + (−b) = −(a + b) *क्यों* है? क्या आप इसे संख्या-रेखा पर समझा सकते हैं? ✓ **घटाव नियम:** क्या आप घटाव को जोड़ में बदल सकते हैं और तुरंत (−6) − (+3) = (−6) + (−3) = −9 को सरल बना सकते हैं? ✓ **मिश्रित संचालन:** क्या आप (−5) + 8 − (−3) को 30 सेकंड से कम में बिना त्रुटि के हल कर सकते हैं? ✓ **वास्तविक जीवन मॉडलिंग:** एक शब्द समस्या (तापमान, कर्ज, गहराई) दी गई, क्या आप: (i) सकारात्मक/नकारात्मक को सही तरीके से निर्दिष्ट कर सकते हैं, (ii) पूर्णांक समीकरण सेट कर सकते हैं, (iii) हल कर सकते हैं, (iv) संदर्भ में उत्तर की व्याख्या कर सकते हैं? ✓ **योज्य प्रतिलोम:** किसी भी पूर्णांक दिया गया, क्या आप तुरंत इसका योज्य प्रतिलोम बता सकते हैं? (उदा., −17 का प्रतिलोम +17 है) ✓ **बोर्ड-शैली MCQs:** क्या आप 5 पूर्णांकों पर एकल-विकल्प प्रश्नों को 5 मिनट में 100% सटीकता के साथ हल कर सकते हैं? ✓ **2-अंक के छोटे:** क्या आप एक स्पष्ट, चरण-दर-चरण 2-अंक का समाधान 3 मिनट से कम में लिख सकते हैं? ✓ **3-अंक के आवेदन:** क्या आप एक परिदृश्य-आधारित 3-अंक का प्रश्न (उदा., गोताखोर, खाता, तापमान) 5 मिनट में गणना और व्याख्या दोनों के साथ हल कर सकते हैं? यदि आपने ≥8 बॉक्स पर निशान लगाया है, तो आप परीक्षा के लिए तैयार हैं। यदि नहीं, तो अपने अंतिम 24 घंटे अचिह्नित क्षेत्रों पर ध्यान दें।