कक्षा 9 गणित अध्याय 10: अनुपात, समानुपात और प्रतिशत – समाधान के साथ महत्वपूर्ण प्रश्न

अध्याय 10 CBSE कक्षा 9 की अंतिम परीक्षा में लगभग 12–15 अंक लेकर आता है, जो 1-अंक MCQs, 2-अंक लघु उत्तर, 3-अंक अनुप्रयोग समस्याओं और 5-अंक केस स्टडीज में बँटा होता है। 2024-25 के तर्कसंगत पाठ्यक्रम में व्यावहारिक अनुप्रयोग पर बल दिया गया है: खुदरा व्यापार में छूट की गणना, निवेश रिटर्न की तुलना, और वास्तविक अनुपातों को सरल बनाना। बोर्ड परीक्षक रटंत सीखने के बजाय अवधारणात्मक स्पष्टता पर ध्यान केंद्रित करते हैं। सामान्य प्रश्न प्रकारों में शामिल हैं: (1) अनुपातों को सबसे सरल रूप में सरल करना, (2) क्रॉस-गुणा का उपयोग करके समानुपात की समस्याओं को हल करना, (3) प्रतिशत, भिन्न और दशमलव रूपों के बीच रूपांतरण, (4) दी गई लागत और विक्रय कीमतों से लाभ/हानि प्रतिशत की गणना, (5) साधारण ब्याज सूत्र व्युत्पन्न करना और उन्हें ऋण/जमा परिदृश्यों में लागू करना। जो छात्र अनुपात की तुलना और समानुपात को संभालने में माहिर होते हैं वे आमतौर पर 10+ अंक प्राप्त करते हैं; जो प्रतिशत रूपांतरण और लाभ-हानि तर्क में कमजोर हैं वे औसतन 6–7 अंक प्राप्त करते हैं। अपेक्षित प्रश्न संख्या: 3–4 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (3–4 अंक), 2 लघु उत्तर प्रश्न (4 अंक), 1 दीर्घ उत्तर प्रश्न (5 अंक), और 1 केस स्टडी या परिस्थिति-आधारित प्रश्न (3–5 अंक)।

ये वस्तुनिष्ठ प्रश्न परिभाषा की याद, सूत्र का अनुप्रयोग, और तेज़ गणना कौशल का परीक्षण करते हैं। परीक्षा की स्थितियों में प्रति प्रश्न 45 सेकंड आवंटित करें। **प्र1: यदि दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है और उनका योग 48 है, तो बड़ी संख्या कौन सी है?** A) 30 B) 25 C) 18 D) 20 **उत्तर: A) 30** व्याख्या: संख्याएँ 3x और 5x मानें। तब 3x + 5x = 48 → 8x = 48 → x = 6। बड़ी संख्या = 5(6) = 30। **प्र2: 80 का 25% बराबर है:** A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 **उत्तर: C) 20** व्याख्या: 25% = 1/4। 80 का एक-चौथाई = 80 ÷ 4 = 20। **प्र3: यदि क्रय मूल्य = ₹200 और विक्रय मूल्य = ₹250 है, तो लाभ प्रतिशत है:** A) 20% B) 25% C) 30% D) 35% **उत्तर: B) 25%** व्याख्या: लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = 250 − 200 = ₹50। लाभ% = (50/200) × 100 = 25%। **प्र4: एक समानुपात में, यदि 4:x = 8:10 है, तो x बराबर है:** A) 5 B) 3 C) 2 D) 8 **उत्तर: A) 5** व्याख्या: क्रॉस-गुणा करें: 4 × 10 = 8 × x → 40 = 8x → x = 5। **प्र5: ₹1000 पर 5% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए साधारण ब्याज है:** A) ₹100 B) ₹125 C) ₹150 D) ₹200 **उत्तर: A) ₹100** व्याख्या: SI = (P × R × T) / 100 = (1000 × 5 × 2) / 100 = 10,000 / 100 = ₹100।

इनमें संक्षिप्त कार्यविधि और व्याख्या की आवश्यकता होती है। प्रति प्रश्न 2–3 मिनट का लक्ष्य रखें। **प्र1: अनुपात 36:48 को सबसे सरल रूप में सरल करें।** हल: 36 और 48 का GCD खोजें। 36 = 2² × 3² 48 = 2⁴ × 3 GCD = 2² × 3 = 12 36:48 = (36÷12):(48÷12) = 3:4 **प्र2: एक दुकानदार ने एक कलम ₹15 में खरीदी और ₹18 में बेच दी। लाभ प्रतिशत ज्ञात करें।** हल: लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य = 18 − 15 = ₹3 लाभ% = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (3/15) × 100 = 20% **प्र3: यदि किसी संख्या का 15% = 45 है, तो वह संख्या ज्ञात करें।** हल: संख्या = x मानें x का 15% = 45 (15/100) × x = 45 x = (45 × 100) / 15 = 300 **प्र4: एक स्कूल में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 4:5 है। यदि 80 लड़के हैं, तो कितनी लड़कियाँ हैं?** हल: लड़के:लड़कियाँ = 4:5 यदि लड़के = 80, तो 4 इकाई = 80 1 इकाई = 20 लड़कियाँ = 5 इकाई = 5 × 20 = 100 **प्र5: ₹5000 पर 8% प्रति वर्ष की दर से 1.5 वर्ष के लिए साधारण ब्याज की गणना करें।** हल: SI = (P × R × T) / 100 SI = (5000 × 8 × 1.5) / 100 SI = 60,000 / 100 = ₹600

ये कई अवधारणाओं को मिलाते हैं और स्पष्ट तर्क की आवश्यकता होती है। प्रति समाधान 3–4 मिनट अपेक्षित करें। **प्र1: एक व्यापारी ने दो वस्तुएँ ₹200 प्रत्येक में खरीदीं। पहली को 20% लाभ पर और दूसरी को 15% हानि पर बेचा। कुल लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करें।** हल: पहली वस्तु: क्रय मूल्य = ₹200, लाभ% = 20% विक्रय मूल्य₁ = क्रय मूल्य + (20/100) × क्रय मूल्य = 200 + 40 = ₹240 दूसरी वस्तु: क्रय मूल्य = ₹200, हानि% = 15% विक्रय मूल्य₂ = क्रय मूल्य − (15/100) × क्रय मूल्य = 200 − 30 = ₹170 कुल क्रय मूल्य = 200 + 200 = ₹400 कुल विक्रय मूल्य = 240 + 170 = ₹410 कुल लाभ = 410 − 400 = ₹10 लाभ% = (10/400) × 100 = 2.5% **प्र2: यदि A:B = 3:4 और B:C = 5:6 है, तो A:B:C ज्ञात करें।** हल: A:B = 3:4 (5 से गुणा करें) → A:B = 15:20 B:C = 5:6 (4 से गुणा करें) → B:C = 20:24 इसलिए, A:B:C = 15:20:24 **प्र3: एक छात्र ने एक परीक्षा में 50 में से 35 अंक प्राप्त किए और दूसरी में 60 में से 42 अंक। किस परीक्षा में छात्र ने बेहतर प्रदर्शन किया?** हल: पहली परीक्षा प्रतिशत = (35/50) × 100 = 70% दूसरी परीक्षा प्रतिशत = (42/60) × 100 = 70% छात्र ने दोनों परीक्षाओं में समान रूप से अच्छा प्रदर्शन किया (दोनों 70%)। **प्र4: किसी वस्तु पर ₹500 में अंकित 20% की छूट दी गई है। विक्रय मूल्य क्या है? यदि क्रय मूल्य ₹350 था, तो लाभ प्रतिशत ज्ञात करें।** हल: अंकित मूल्य = ₹500 छूट = 500 का 20% = (20/100) × 500 = ₹100 विक्रय मूल्य = 500 − 100 = ₹400 क्रय मूल्य = ₹350 लाभ = 400 − 350 = ₹50 लाभ% = (50/350) × 100 ≈ 14.29%

ये व्यापक, बहु-चरण की समस्याएँ हैं जिनमें विस्तृत तर्क और सूत्र का अनुप्रयोग आवश्यक है। प्रति प्रश्न 5–6 मिनट बजट करें। **प्र1: एक व्यक्ति ने ₹10,000 को 9% प्रति वर्ष साधारण ब्याज पर 3 वर्ष के लिए निवेश किया। 3 वर्ष के बाद, उसने राशि निकाली और इसे 10% प्रति वर्ष चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष के लिए निवेश किया। 5 वर्ष के अंत में कुल राशि ज्ञात करें।** हल: चरण 1: पहले 3 वर्ष के लिए साधारण ब्याज की गणना करें। SI = (P × R × T) / 100 = (10,000 × 9 × 3) / 100 = 270,000 / 100 = ₹2,700 3 वर्ष के बाद राशि = मूलधन + SI = 10,000 + 2,700 = ₹12,700 चरण 2: इस राशि (₹12,700) को 10% प्रति वर्ष पर 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज का मूलधन मानें। चक्रवृद्धि ब्याज के लिए: A = P(1 + r/100)ᵗ A = 12,700 × (1 + 10/100)² A = 12,700 × (1.1)² A = 12,700 × 1.21 = ₹15,367 5 वर्ष के अंत में कुल राशि = ₹15,367 **प्र2: 150 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4:1 है। कितना पानी मिलाया जाए ताकि अनुपात 3:2 हो जाए?** हल: चरण 1: दूध और पानी की प्रारंभिक मात्रा ज्ञात करें। दूध:पानी = 4:1 कुल भाग = 4 + 1 = 5 दूध = (4/5) × 150 = 120 लीटर पानी = (1/5) × 150 = 30 लीटर चरण 2: माना x लीटर पानी मिलाया जाता है। नई पानी की मात्रा = 30 + x दूध अपरिवर्तित = 120 लीटर चरण 3: नया अनुपात 3:2 होना चाहिए 120:(30 + x) = 3:2 क्रॉस-गुणा करें: 120 × 2 = 3 × (30 + x) 240 = 90 + 3x 3x = 150 x = 50 मिलाने वाला पानी = 50 लीटर सत्यापन: नया अनुपात = 120:80 = 3:2 ✓ **प्र3: दो दुकानदार, A और B, ने ₹5,000 प्रत्येक में माल खरीदा। दुकानदार A ने 30% लाभ पर माल बेचा, जबकि दुकानदार B ने 20% हानि पर बेचा। A ने B से कितना अधिक पैसा कमाया?** हल: दुकानदार A: क्रय मूल्य = ₹5,000 लाभ% = 30% लाभ = (30/100) × 5,000 = ₹1,500 विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ = 5,000 + 1,500 = ₹6,500 दुकानदार B: क्रय मूल्य = ₹5,000 हानि% = 20% हानि = (20/100) × 5,000 = ₹1,000 विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य − हानि = 5,000 − 1,000 = ₹4,000 आय में अंतर = A का लाभ − B की हानि = 1,500 − (−1,000) = 1,500 + 1,000 = ₹2,500 वैकल्पिक रूप से: A का विक्रय मूल्य − B का विक्रय मूल्य = 6,500 − 4,000 = ₹2,500 दुकानदार A ने B से ₹2,500 अधिक कमाया।

**केस स्टडी: राज का ऑनलाइन शॉपिंग फैसला** राज ने एक ई-कॉमर्स प्लेटफॉर्म पर ₹50,000 की अंकित कीमत वाला एक लैपटॉप देखा। प्लेटफॉर्म ने 20% की छूट दी। इसके अलावा, उसके क्रेडिट कार्ड ने छूट वाली कीमत पर 5% कैशबैक दिया। राज के दोस्त ने सुझाव दिया कि वह एक फिजिकल स्टोर से उसी लैपटॉप को ₹42,000 में खरीद सकता है (कोई छूट नहीं)। राज के खाते में ₹45,000 हैं। **(a) राज को ऑनलाइन छूट और कैशबैक के बाद अंतिम कीमत का हिसाब लगाएँ।** समाधान: अंकित मूल्य = ₹50,000 छूट = 50,000 का 20% = (20/100) × 50,000 = ₹10,000 छूट के बाद कीमत = 50,000 − 10,000 = ₹40,000 कैशबैक = 40,000 का 5% = (5/100) × 40,000 = ₹2,000 अंतिम भुगतान राशि = 40,000 − 2,000 = ₹38,000 **(b) ऑनलाइन और ऑफलाइन कीमतों की तुलना करें। कौन सा विकल्प बेहतर है?** ऑनलाइन अंतिम कीमत = ₹38,000 फिजिकल स्टोर की कीमत = ₹42,000 अंतर = 42,000 − 38,000 = ₹4,000 की ऑनलाइन खरीद पर बचत बचत% = (4,000/42,000) × 100 ≈ 9.52% ऑनलाइन खरीद बेहतर है। **(c) क्या राज ऑनलाइन खरीद को वहन कर सकता है? अंकित मूल्य पर प्रभावी प्रतिशत छूट क्या होगी?** राज के पास ₹45,000 हैं और उसे ऑनलाइन ₹38,000 देने हैं। हाँ, वह इसे वहन कर सकता है (38,000 < 45,000)। अंकित मूल्य पर प्रभावी छूट = (50,000 − 38,000) / 50,000 × 100 = 12,000 / 50,000 × 100 = 24% दोनों ऑफरों को मिलाकर अंकित मूल्य पर प्रभावी छूट 24% है।

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