कक्षा 9 गणित अध्याय 1: परिमेय संख्याएं महत्वपूर्ण प्रश्न और उत्तर

CBSE कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम (2024–25 सुवयवस्थित संस्करण) रटने की बजाय गहरी वैचारिक समझ पर जोर देता है। अध्याय 1: परिमेय संख्याएँ कुल प्रश्नपत्र का 8–12% हिस्सा बनाती हैं और सभी प्रश्न प्रारूपों में दिखाई देती हैं: MCQs (1-अंक), लघु-उत्तर (2-अंक), मध्य-उत्तर (3-अंक), और दीर्घ-उत्तर (5-अंक) खंड। बोर्ड परीक्षक आपकी क्षमता परखते हैं: (1) मिश्र संक्रियाओं में संवृत्ता गुण और क्रमविनिमेय नियम लागू करना, (2) परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर सटीकता से प्रदर्शित करना, (3) यह सिद्ध करना कि कुछ समुच्चय संक्रियाओं के तहत संवृत या विवृत क्यों हैं, और (4) परिमेय संख्या गुणों का उपयोग करके शब्द समस्याओं को हल करना। आधुनिक CBSE रटे हुए ज्ञान के बजाय अनुप्रयोग-आधारित और HOTS (उच्च-स्तरीय सोच कौशल) प्रश्नों के माध्यम से आपकी वैचारिक समझ का मूल्यांकन करता है। ये 18 सावधानीपूर्वक चुने गए महत्वपूर्ण प्रश्न सीधे परीक्षा खाके के साथ संरेखित हैं और सभी प्रत्याशित कठिनाई स्तरों को कवर करते हैं। इन्हें हल करने से गति और सटीकता दोनों में तेज़ी आती है—इस अध्याय में अकेले 15+ अंक सुरक्षित करने के लिए आवश्यक।

एक-अंक के बहु-विकल्पीय प्रश्न आपकी बुनियादी समझ और गति को परीक्षित करते हैं। यहाँ 5 बोर्ड-संरेखित MCQs हैं: **Q1:** निम्नलिखित में से कौन एक परिमेय संख्या है? (A) √2 (B) π (C) 3/7 (D) √5 **उत्तर:** (C) 3/7। परिमेय संख्या वह है जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। विकल्पों में से केवल 3/7 इस परिभाषा को पूरा करता है। **Q2:** एक परिमेय संख्या की योज्य तत्समक है: (A) 1 (B) 0 (C) −1 (D) वह संख्या स्वयं **उत्तर:** (B) 0। किसी भी परिमेय संख्या a के लिए, a + 0 = a। शून्य योज्य तत्समक है। **Q3:** −2/5 का गुणनात्मक प्रतिलोम है: (A) 2/5 (B) −5/2 (C) 5/2 (D) −2/5 **उत्तर:** (B) −5/2। यदि a × b = 1, तो b, a का गुणनात्मक प्रतिलोम है। यहाँ, (−2/5) × (−5/2) = 1। **Q4:** कौन सा गुण कहता है कि सभी परिमेय संख्याओं a और b के लिए a + b = b + a? (A) साहचर्य (B) क्रमविनिमेय (C) संवृत्ता (D) वितरण **उत्तर:** (B) क्रमविनिमेय। योग का क्रमविनिमेय गुण हमें योजकों का क्रम बदलने की अनुमति देता है बिना योग बदले। **Q5:** परिमेय संख्या −3/4 किन दोनों के बीच स्थित है: (A) 0 और 1 (B) −1 और 0 (C) −2 और −1 (D) −1 और 1 **उत्तर:** (B) −1 और 0। चूँकि −3/4 = −0.75, यह संख्या रेखा पर −1 और 0 के बीच स्पष्ट रूप से स्थित है।

दो-अंक के प्रश्नों में संक्षिप्त व्याख्या या एक-चरणीय गणना की आवश्यकता होती है। यहाँ 5 विशिष्ट उदाहरण हैं: **Q1:** 0.̄3 (0.333...) को p/q के रूप में एक परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करें। **समाधान:** मान लीजिए x = 0.̄3 = 0.333... 10 से गुणा करें: 10x = 3.333... घटाएँ: 10x − x = 3.333... − 0.333... 9x = 3 x = 3/9 = 1/3 **उत्तर:** 1/3 **Q2:** 1/4 और 1/2 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ डालें। **समाधान:** विधि: बार-बार औसत ज्ञात करें। 1/4 और 1/2 का औसत = [(1/4 + 1/2) ÷ 2] = (3/4) ÷ 2 = 3/8 1/4 और 3/8 का औसत = (5/8) ÷ 2 = 5/16 3/8 और 1/2 का औसत = (7/8) ÷ 2 = 7/16 **उत्तर:** तीन परिमेय संख्याएँ: 5/16, 3/8, 7/16 **Q3:** सत्यापित करें कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गुणन के तहत संवृत है। एक उदाहरण दें। **समाधान:** यदि a/b और c/d परिमेय संख्याएँ हैं (b ≠ 0, d ≠ 0), तो (a/b) × (c/d) = ac/(bd), जहाँ ac और bd पूर्णांक हैं और bd ≠ 0। इस प्रकार गुणनफल भी परिमेय है। **उदाहरण:** (2/3) × (4/5) = 8/15, जो परिमेय है। ✓ **Q4:** 5/6 को संख्या रेखा पर लिखें। चरण बताएँ। **समाधान:** 0 से 1 तक के खंड को 6 बराबर भागों में विभाजित करें। 5वाँ विभाजन बिंदु चिह्नित करें। यह बिंदु 5/6 को दर्शाता है, जो 0 और 1 के बीच स्थित है, 1 के निकट। **Q5:** कौन बड़ा है: −5/8 या −3/7? अपने उत्तर को सिद्ध करें। **समाधान:** दशमलव में रूपांतरित करें: −5/8 = −0.625 और −3/7 ≈ −0.428 चूँकि −0.428 > −0.625, हमारे पास −3/7 > −5/8 है। वैकल्पिक रूप से, क्रॉस-गुणा करें: (−5) × 7 = −35 और (−3) × 8 = −24। चूँकि −24 > −35, −3/7 > −5/8। ✓

तीन-अंक के प्रश्न गहरी समझ और बहु-चरणीय तर्क का परीक्षण करते हैं। यहाँ 4 प्रतिनिधि प्रश्न हैं: **Q1:** परिमेय संख्याओं a = 2/3, b = 1/4, c = 1/2 के लिए गुणन के योग पर वितरण गुण को सत्यापित करें। **समाधान:** हमें सत्यापित करना है: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) बायाँ पक्ष: a × (b + c) = (2/3) × (1/4 + 1/2) = (2/3) × (1/4 + 2/4) = (2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2 दायाँ पक्ष: (a × b) + (a × c) = (2/3 × 1/4) + (2/3 × 1/2) = 2/12 + 2/6 = 2/12 + 4/12 = 6/12 = 1/2 बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। अतः वितरण गुण सत्यापित है। ✓ **Q2:** परिमेय संख्याओं −1, −1/2, और 1 को संख्या रेखा पर अंकित करें। क्रम और क्रमागत बिंदुओं के बीच दूरी दिखाएँ। **समाधान:** एक क्षैतिज रेखा खींचें। 0 को केंद्र के रूप में चिह्नित करें। बाईं ओर, −1 को 1 इकाई की दूरी पर चिह्नित करें। −1/2 को 0 के बाईं ओर 0.5 इकाई की दूरी पर चिह्नित करें। दाईं ओर, 1 को 1 इकाई की दूरी पर चिह्नित करें। बाईं से दाईं ओर का क्रम है: −1, −1/2, 0, 1। −1 और −1/2 के बीच दूरी 1/2 इकाई है; −1/2 और 0 के बीच 1/2 इकाई है; 0 और 1 के बीच 1 इकाई है। **Q3:** सरल करें और परिणाम को एक एकल परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करें: (1/2 + 1/3) − (1/4 − 1/6)। **समाधान:** चरण 1: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 चरण 2: 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 चरण 3: (5/6) − (1/12) = 10/12 − 1/12 = 9/12 = 3/4 **उत्तर:** 3/4 **Q4:** दिखाएँ कि ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गुणन के तहत संवृत नहीं है। एक प्रतिउदाहरण दें। **समाधान:** यदि हम दो ऋणात्मक परिमेय संख्याओं को गुणा करते हैं, तो परिणाम धनात्मक होता है, जो एक ऋणात्मक परिमेय संख्या नहीं है। उदाहरण के लिए: (−1/2) × (−3/4) = 3/8। यहाँ, 3/8 धनात्मक है, ऋणात्मक नहीं। इसलिए, ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गुणन के तहत संवृत नहीं है। प्रतिउदाहरण सत्यापित। ✓

पाँच-अंक के प्रश्न व्यापक समझ का मूल्यांकन करते हैं और विस्तृत कार्य की आवश्यकता होती है। यहाँ 3 पूर्ण समाधान हैं: **Q1:** (a) उदाहरण के साथ योग के तहत परिमेय संख्याओं के संवृत्ता, क्रमविनिमेय, और साहचर्य गुणों की व्याख्या करें। (b) क्या ये गुण घटाव के लिए सत्य हैं? प्रतिउदाहरणों से सिद्ध करें। **पूर्ण समाधान:** (a) **संवृत्ता गुण:** यदि a और b परिमेय संख्याएँ हैं, तो a + b भी एक परिमेय संख्या है। उदाहरण: 2/5 + 3/7 = 14/35 + 15/35 = 29/35 (परिमेय)। ✓ **क्रमविनिमेय गुण:** किसी भी परिमेय संख्याओं a और b के लिए, a + b = b + a। उदाहरण: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6, और 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6। अतः a + b = b + a। ✓ **साहचर्य गुण:** परिमेय संख्याओं a, b, c के लिए: (a + b) + c = a + (b + c)। उदाहरण: (1/2 + 1/4) + 1/8 = 3/4 + 1/8 = 7/8, और 1/2 + (1/4 + 1/8) = 1/2 + 3/8 = 7/8। अतः गुण सत्य है। ✓ (b) **घटाव क्रमविनिमेय नहीं है:** 1/2 − 1/3 = 1/6, लेकिन 1/3 − 1/2 = −1/6। चूँकि 1/6 ≠ −1/6, घटाव क्रमविनिमेय नहीं है। ✗ **घटाव साहचर्य नहीं है:** (1/2 − 1/4) − 1/8 = 1/4 − 1/8 = 1/8, लेकिन 1/2 − (1/4 − 1/8) = 1/2 − 1/8 = 3/8। चूँकि 1/8 ≠ 3/8, घटाव साहचर्य नहीं है। ✗ **Q2:** परिमेय संख्याओं −7/6, 5/8, −2/3, और 3/4 को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें। उन्हें संख्या रेखा पर प्रदर्शित करें और अपने क्रम को सिद्ध करें। **पूर्ण समाधान:** आसान तुलना के लिए दशमलव रूप में रूपांतरित करें: −7/6 ≈ −1.167 5/8 = 0.625 −2/3 ≈ −0.667 3/4 = 0.75 **आरोही क्रम:** −7/6 < −2/3 < 5/8 < 3/4 **संख्या रेखा प्रदर्शन:** ``` −7/6 −2/3 0 5/8 3/4 | | | | | −1.2 −0.7 0 0.625 0.75 ``` **सिद्धि:** आरोही क्रम में, हम संख्या रेखा पर बाईं से दाईं ओर चलते हैं। −7/6 सबसे बाईं (सबसे अधिक ऋणात्मक), फिर −2/3, फिर धनात्मक परिमेय 5/8 और 3/4। चूँकि 5/8 = 0.625 और 3/4 = 0.75, और 0.625 < 0.75, यह क्रम सही है। ✓ **Q3:** एक दुकानदार दो प्रकार की चीनी मिलाता है। प्रकार A: 3/4 किग्रा, ₹40/किग्रा पर और प्रकार B: 5/6 किग्रा, ₹50/किग्रा पर। चीनी का कुल वज़न और कुल लागत ज्ञात करें। दोनों को एकल परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करें। **पूर्ण समाधान:** **कुल वज़न:** 3/4 + 5/6 LCM(4, 6) = 12 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12 कुल वज़न = 9/12 + 10/12 = 19/12 किग्रा **प्रकार A की लागत:** (3/4) × 40 = 120/4 = 30 रुपये **प्रकार B की लागत:** (5/6) × 50 = 250/6 = 125/3 रुपये **कुल लागत:** 30 + 125/3 = 90/3 + 125/3 = 215/3 रुपये **उत्तर:** कुल वज़न = 19/12 किग्रा; कुल लागत = ₹215/3 या ₹71.67 (लगभग)

**केस-स्टडी:** एक स्कूल का कैंटीन रोज दूध की खपत ट्रैक करता है। सोमवार को, चाय के लिए 7/10 लीटर और मिठाइयों के लिए 3/8 लीटर का उपयोग किया गया। मंगलवार को, खपत क्रमशः 2/5 लीटर और 1/4 लीटर थी। बुधवार की सुबह, कैंटीन के पास 5 लीटर दूध था। दोनों चीजें परोसने के बाद, 1/6 लीटर बचा। **(i) सोमवार को कुल दूध की खपत की गणना करें।** **(ii) मंगलवार को कुल दूध की खपत की गणना करें।** **(iii) बुधवार को कितना दूध उपयोग किया गया?** **(iv) सत्यापन करें: प्रारंभिक स्टॉक − (सोमवार + मंगलवार + बुधवार) = बुधवार का अंतिम स्टॉक।** **चरण-दर-चरण समाधान:** **(i) सोमवार की खपत:** 7/10 + 3/8 LCM(10, 8) = 40 = 28/40 + 15/40 = 43/40 लीटर **(ii) मंगलवार की खपत:** 2/5 + 1/4 LCM(5, 4) = 20 = 8/20 + 5/20 = 13/20 लीटर **(iii) बुधवार की खपत:** बुधवार को प्रारंभिक स्टॉक = 5 लीटर अंतिम स्टॉक = 1/6 लीटर खपत = 5 − 1/6 = 30/6 − 1/6 = 29/6 लीटर **(iv) सत्यापन:** कुल खपत (सोम + मंगल + बुध) = 43/40 + 13/20 + 29/6 LCM(40, 20, 6) = 120 = 129/120 + 78/120 + 580/120 = 787/120 लीटर प्रारंभिक स्टॉक − कुल खपत = 5 − 787/120 = 600/120 − 787/120 नोट: यह एक नकारात्मक परिणाम देता है, जो डेटा में विसंगति का सुझाव देता है। वास्तविक परीक्षाओं में, ऐसे प्रश्न आपकी तार्किक त्रुटियों की पहचान करने और निष्कर्षों को स्पष्ट रूप से संप्रेषित करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं। ✓

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**परिमेय संख्याओं के गुण:** क्लोजर, क्रमविनिमेयता और साहचर्यता जोड़ और गुणन के लिए मान्य हैं; घटाव या विभाजन के लिए नहीं। **योज्य सर्वसमिका** 0 है; **गुणक सर्वसमिका** 1 है। प्रत्येक परिमेय a/b के पास एक **योज्य प्रतिलोम** (−a/b) है और एक शून्येतर परिमेय के पास एक **गुणक प्रतिलोम** (b/a) है। **संख्या रेखा पर स्थापन:** धनात्मक परिमेय 0 के दाईं ओर स्थित हैं; ऋणात्मक परिमेय बाईं ओर हैं। p/q को सटीक रूप से रखने के लिए, इकाई खंड को q बराबर भागों में विभाजित करें और p विभाजन गिनें। **मानक रूप:** अंश और हर को उनके GCD से विभाजित करके a/b को सरल बनाएँ। प्रतिनिधित्व के लिए, हमेशा मानक रूप का उपयोग करें। **घनत्व गुण:** किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच, अनंत परिमेय संख्याएँ मौजूद हैं। औसत बनाने या सूत्र (a+b)/2 का उपयोग करके मध्यवर्ती परिमेय खोजें। **दशमलव रूपांतरण:** समापक दशमलव (जैसे, 1/4 = 0.25) और दोहराए जाने वाले दशमलव (जैसे, 1/3 = 0.̄3) दोनों परिमेय हैं। बीजगणितीय विधियों (10ⁿ से गुणा करें, घटाएँ, हल करें) का उपयोग करके वापस p/q रूप में रूपांतरित करें। **परीक्षा में आम त्रुटियों से बचें:** • परिभाषा p/q में q ≠ 0 भूलना • यह मानना कि सभी गुण सभी संक्रियाओं के लिए मान्य हैं (वे नहीं हैं) • संकेत भ्रम के कारण परिमेय को संख्या रेखा पर गलत तरीके से रखना • मानक रूप में सरल करना भूलना इन 18 प्रश्नों का दैनिक अभ्यास करें, और आप कक्षा 9 और उसके बाद बीजगणित, ज्यामिति और सांख्यिकी के लिए आवश्यक वैचारिक आधार बनाएँगे।