CBSETUTOR.aiCBSETUTOR.ai
India's #1 AI TutorClass 8 · Mathematics · Chapter 11Read in English →

CBSE Class 8 गणित अध्याय 11 सीधा और प्रतिलोम अनुपात वर्कशीट उत्तर के साथ

सीधा और प्रतिलोम अनुपात CBSE Class 8 गणित में एक महत्वपूर्ण आधार बनाते हैं, जो अंकगणित को बीजगणितीय सोच से जोड़ते हैं। NCERT Class 8 गणित के इस अध्याय से छात्रों को गति, समय, दूरी, लागत, कार्य पूर्णता और संसाधन आवंटन से संबंधित वास्तविक समस्याओं को हल करने की क्षमता मिलती है। यह वर्कशीट CBSE परीक्षाओं में आने वाले सभी प्रश्न प्रकारों में संरचित अभ्यास प्रदान करती है।

Your child's private AI tutor — trained on NCERT.
3-day free trial · ₹1 to start · Cancel anytime.
Start 3-day free trial →

Key takeaways

  • ✓सीधा अनुपात: जब एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी भी आनुपातिक रूप से बढ़ती है (x₁/y₁ = x₂/y₂)
  • ✓प्रतिलोम अनुपात: जब एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी आनुपातिक रूप से घटती है (x₁y₁ = x₂y₂)
  • ✓समय-कार्य समस्याएं प्रतिलोम अनुपात का पालन करती हैं — अधिक कार्यकर्ता एक ही कार्य को कम समय में पूरा करते हैं
  • ✓गति-दूरी-समय की समस्याएं अक्सर स्थिर गति पर दूरी और समय के बीच सीधा अनुपात प्रदर्शित करती हैं
  • ✓एकात्मक विधि CBSE Class 8 में अनुपात समस्याओं को हल करने की आधारभूत तकनीक है
  • ✓केस-स्टडी प्रश्न वास्तविक दुनिया की आवेदन कौशल की परीक्षा करते हैं, जो हाल के CBSE पैटर्न में 4 अंक ले जाते हैं
  • ✓HOTS प्रश्नों के लिए छात्रों को यह पहचानना आवश्यक है कि कोई संबंध सीधा, प्रतिलोम या न ही सीधा है और न ही प्रतिलोम

अध्याय का सारांश: सीधा और व्युत्क्रम अनुपात

NCERT कक्षा 8 गणित का अध्याय 11 दो मौलिक राशियों के बीच संबंध प्रस्तुत करता है। सीधे अनुपात में, दो राशियाँ x और y इस तरह संबंधित होती हैं कि उनका अनुपात स्थिर रहता है: x/y = k (स्थिरांक)। जब x बढ़ता है, तो y भी आनुपातिक रूप से बढ़ता है। सामान्य उदाहरणों में वस्तुओं की कीमत और मात्रा, स्थिर गति पर दूरी और समय, और मजदूरी तथा काम के दिन शामिल हैं। व्युत्क्रम अनुपात में, दो राशियों का गुणनफल स्थिर रहता है: xy = k। जब एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी आनुपातिक रूप से घटती है। विशिष्ट उदाहरणों में नियत दूरी के लिए गति और समय, काम पूरा करने के लिए कर्मचारियों की संख्या और दिन, और टंकी भरने के लिए पाइपों की संख्या और समय शामिल हैं। एकात्मक विधि प्राथमिक समस्या-समाधान उपकरण है। विद्यार्थियों को पहले अनुपात का प्रकार पहचानना चाहिए, फिर उसके अनुसार समीकरण बनाने चाहिए। सीधे अनुपात में x₁/y₁ = x₂/y₂ का उपयोग होता है जबकि व्युत्क्रम अनुपात में x₁y₁ = x₂y₂ का उपयोग होता है। समय-कार्य समस्याएँ लगभग हमेशा व्युत्क्रम संबंध प्रदर्शित करती हैं, जबकि कीमत-मात्रा समस्याएँ सीधे संबंध दिखाती हैं। इन अंतरों में महारत हासिल करना CBSE कक्षा 8 गणित परीक्षा में अच्छे अंक लाने के लिए आवश्यक है।
  • सीधा अनुपात: अनुपात स्थिर, दोनों राशियाँ एक ही दिशा में बदलती हैं
  • व्युत्क्रम अनुपात: गुणनफल स्थिर, राशियाँ विपरीत दिशाओं में बदलती हैं
  • एक इकाई का मान ज्ञात करने के लिए एकात्मक विधि का उपयोग करें, फिर बढ़ाएँ
  • हल करने से पहले हमेशा जाँचें कि संबंध सीधा, व्युत्क्रम या कोई अन्य है

कार्यपत्र निर्देश और कठिनाई स्तर

यह CBSE कक्षा 8 गणित अध्याय 11 कार्यपत्र मध्यम कठिनाई के लिए तैयार किया गया है, जो उन विद्यार्थियों के लिए उपयुक्त है जिन्होंने NCERT पाठ्यपुस्तक के अभ्यास पूरे कर लिए हैं। सुझाव दिया गया समय आवंटन परीक्षा की स्थिति में 90 मिनट है। इस कार्यपत्र में सर्वश्रेष्ठ CBSE परीक्षा पैटर्न के अनुरूप एकाधिक प्रारूप में 25+ प्रश्न हैं। खंड A बहुविकल्पीय प्रश्नों के माध्यम से वैचारिक समझ का परीक्षण करता है। खंड B रिक्त स्थान भरने के माध्यम से स्मृति और अनुप्रयोग का मूल्यांकन करता है। खंड C सत्य/असत्य कथन का उपयोग करके सामान्य गलतफहमियों की पहचान करता है। खंड D 2-3 अंकों वाले संक्षिप्त उत्तर प्रश्न प्रदान करता है, जिन्हें विधि दिखाने की आवश्यकता होती है। खंड E उच्च-स्तरीय सोच वाले प्रश्नों और एक केस-स्टडी प्रश्न शामिल करता है जो वास्तविक CBSE बोर्ड परीक्षा पैटर्न की नकल करते हैं। विद्यार्थियों को सभी प्रश्नों का क्रमिक रूप से प्रयास करना चाहिए, गणना-आधारित समस्याओं के लिए पूरा काम दिखाना चाहिए। यदि आवश्यक हो तो ग्राफ या आरेख के लिए पेंसिल का उपयोग करें। प्रश्न खंडों के बाद एक संपूर्ण उत्तर कुंजी चरण-दर-चरण व्याख्या के साथ दी गई है, जो प्रभावी आत्म-मूल्यांकन और कमजोर क्षेत्रों की पहचान को सक्षम बनाती है।

खंड A: बहुविकल्पीय प्रश्न (प्रत्येक 1 अंक)

इस खंड में NCERT कक्षा 8 गणित अध्याय 11 के मौलिक अवधारणाओं का परीक्षण करने वाले छह बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न के चार विकल्प हैं जिनमें बिल्कुल एक सही उत्तर है। विद्यार्थियों को प्रत्येक प्रश्न को ध्यान से पढ़ना चाहिए, पहचानना चाहिए कि क्या परिस्थिति सीधे अनुपात, व्युत्क्रम अनुपात या कोई अन्य को दर्शाती है, फिर उपयुक्त सूत्र लागू करना चाहिए। CBSE कक्षा 8 गणित में बहुविकल्पीय प्रश्न अक्सर लंबी गणनाओं के बजाय वैचारिक स्पष्टता का परीक्षण करते हैं, इसलिए अपना उत्तर चुनने से पहले राशियों के बीच संबंध को समझने पर ध्यान दें। सामान्य त्रुटियों में सीधे और व्युत्क्रम संबंधों को भ्रमित करना या गलत सूत्र लागू करना शामिल है। अपने उत्तरों को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें और प्रत्येक प्रश्न पर एक मिनट से अधिक समय न लगाएँ। ये प्रश्न CBSE मूल्यांकन में तेजी से बढ़ रहे उद्देश्य-प्रकार के प्रश्नों के अनुरूप हैं और गति तथा सटीकता बनाने में मदद करते हैं जो बाद में प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं के लिए आवश्यक है। यह समझने के लिए कि गलत विकल्प गलत क्यों हैं, उत्तर कुंजी व्याख्याओं की समीक्षा करें, जिससे कक्षा 8 गणित समाधान के लिए अपनी वैचारिक बुनियाद मजबूत करें।
  • Q1. यदि 15 वस्तुओं की कीमत ₹45 है, तो 25 वस्तुओं की कीमत क्या होगी? (a) ₹65 (b) ₹75 (c) ₹85 (d) ₹95
  • Q2. निम्नलिखित में से कौन व्युत्क्रम अनुपात है? (a) किताबों की संख्या और उनकी कीमत (b) नियत दूरी के लिए गति और समय (c) वृत्त का क्षेत्रफल और त्रिज्या (d) स्थिर गति पर दूरी और समय
  • Q3. यदि 8 कर्मचारी किसी काम को 12 दिन में पूरा कर सकते हैं, तो 6 कर्मचारी कितने दिन में करेंगे? (a) 9 दिन (b) 16 दिन (c) 14 दिन (d) 10 दिन
  • Q4. सीधे अनुपात में, यदि x बढ़ता है, तो y: (a) घटेगा (b) स्थिर रहेगा (c) बढ़ेगा (d) शून्य हो जाएगा
  • Q5. वृत्त की परिधि और व्यास के बीच संबंध: (a) सीधा अनुपात (b) व्युत्क्रम अनुपात (c) कोई अन्य (d) निर्धारित नहीं किया जा सकता
  • Q6. यदि x और y व्युत्क्रम अनुपात में हैं, तो: (a) x + y = स्थिरांक (b) x - y = स्थिरांक (c) xy = स्थिरांक (d) x/y = स्थिरांक

खंड B: रिक्त स्थान भरें (प्रत्येक 1 अंक)

रिक्त स्थान वाले प्रश्न कक्षा 8 गणित अध्याय 11 के सीधे और व्युत्क्रम अनुपात सूत्रों की स्मृति और अनुप्रयोग का परीक्षण करते हैं। विद्यार्थियों को प्रत्येक कथन को सटीक गणितीय पद, संख्या या व्यंजक के साथ पूरा करना चाहिए। ये प्रश्न उत्तर विकल्प प्रदान किए बिना अनुपात शब्दावली, सूत्र और संख्यात्मक संबंधों की समझ का आकलन करते हैं। प्रत्येक वाक्य को सावधानीपूर्वक पढ़ें और सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर व्याकरणिक और गणितीय रूप से फिट बैठता है। सामान्य विषयों में अनुपात का प्रकार पहचानना, अनुपात समीकरण पूरा करना और मुख्य गुणों को बताना शामिल है। दिए गए स्थान में उत्तर स्पष्ट रूप से लिखें। गणितीय पदों में वर्तनी की त्रुटि से बचें। ये प्रश्न गणितीय भाषा में सटीकता विकसित करते हैं, जो CBSE बोर्ड परीक्षाओं के लिए एक महत्वपूर्ण कौशल है जहाँ परीक्षक केवल बिल्कुल सही उत्तरों के लिए अंक देते हैं। NCERT कक्षा 8 गणित अध्याय 11 में परिभाषाओं की सटीक वर्तनी पर जोर दिया जाता है, इसलिए इस खंड का प्रयास करने से पहले परिभाषाओं की समीक्षा करें। समय प्रबंधन महत्वपूर्ण है — प्रत्येक रिक्त स्थान पर 30 सेकंड से अधिक समय न लगाएँ। यदि अनिश्चित हैं, तो आगे बढ़ें और बाद में लौटें बजाय यादृच्छिक अनुमान लगाने के समय बर्बाद करने के।
  • Q7. दो राशियाँ _______ अनुपात में होती हैं यदि उनका अनुपात स्थिर रहता है।
  • Q8. यदि 12 मजदूर एक तालाब को 8 दिन में खोद सकते हैं, तो 18 मजदूर इसे _______ दिन में खोदेंगे।
  • Q9. व्युत्क्रम अनुपात में, दो राशियों का गुणनफल _______ है।
  • Q10. 5 किग्रा चावल की कीमत ₹200 है। 1 किग्रा की कीमत _______ है।
  • Q11. नियत दूरी के लिए गति और समय _______ अनुपात में हैं।
  • Q12. यदि x/y = 3/4 और वे सीधे अनुपात में हैं, तो 2x/2y = _______।

खंड C: सत्य या असत्य (प्रत्येक 1 अंक)

सत्य/असत्य प्रश्न सीधे और व्युत्क्रम अनुपात के बारे में सामान्य गलतफहमियों की पहचान करते हैं जो CBSE कक्षा 8 गणित मूल्यांकन में बार-बार दिखाई देते हैं। प्रत्येक कथन को सावधानीपूर्वक पढ़ें और यह निर्धारित करें कि यह गणितीय रूप से सही है या गलत। प्रत्येक प्रश्न संख्या के बगल में 'सत्य' या 'असत्य' स्पष्ट रूप से लिखें। ये प्रश्न अक्सर शब्दों या गणितीय संबंधों में सूक्ष्म त्रुटियाँ होती हैं जो गहन समझ का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन की गई हैं बजाय सतही स्मरण के। निरपेक्ष शब्दों जैसे 'हमेशा', 'कभी नहीं' और 'केवल' पर विशेष ध्यान दें जो अक्सर झूठे कथनों का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, यह कहना कि सभी समय-आधारित समस्याएँ व्युत्क्रम अनुपात हैं, असत्य है क्योंकि स्थिर गति पर दूरी और समय सीधा अनुपात दिखाते हैं। NCERT कक्षा 8 गणित अध्याय 11 हल करने से पहले अनुपात के प्रकार की सावधानीपूर्वक पहचान पर जोर देता है। यदि किसी कथन को असत्य चिह्नित कर रहे हैं, तो मानसिक रूप से न्यायसंगत करने के लिए तैयार रहें — यह कक्षा 8 गणित नोट्स संशोधन में सही समझ को मजबूत करने में मदद करता है।
  • Q13. जितने अधिक कर्मचारी, किसी काम को पूरा करने में उतना कम समय (समान दक्षता मानते हुए)।
  • Q14. वस्तुओं की कीमत और खरीदी गई वस्तुओं की संख्या हमेशा सीधे अनुपात में होती है।
  • Q15. यदि x और y व्युत्क्रम अनुपात में हैं, तो x को दोगुना करने से y आधा हो जाता है।
  • Q16. सीधे अनुपात को y = kx के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ k एक स्थिरांक है।
  • Q17. एक वर्ग की भुजा और उसके क्षेत्रफल के बीच संबंध सीधा अनुपात है।
  • Q18. यदि गति दोगुनी हो जाती है, तो समान दूरी तय करने में लगा समय आधा हो जाता है।

खंड D: लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 2-3 अंक)

लघु उत्तरीय प्रश्नों के लिए CBSE Class 8 गणित परीक्षाओं में पूर्ण अंक के लिए संपूर्ण कार्य और विधि प्रदर्शन आवश्यक है। प्रत्येक प्रश्न जटिलता के आधार पर 2 से 3 अंकों का होता है। विद्यार्थियों को सभी गणना के चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाना चाहिए, संबंधित सूत्र लिखने चाहिए, अनुपात के प्रकार की पहचान करनी चाहिए, और उपयुक्त इकाइयों के साथ अंतिम उत्तर प्रस्तुत करना चाहिए। केवल अंतिम उत्तर लिखने से, भले ही वह सही हो, शून्य अंक मिलते हैं। एकात्मक विधि (Unitary Method) का सुव्यवस्थित प्रयोग करें: एक इकाई का मान ज्ञात करें, फिर आवश्यक मात्रा के लिए गुणा करें। स्पष्ट रूप से बताएँ कि आप सीधे अनुपात सूत्र (x₁/y₁ = x₂/y₂) का उपयोग कर रहे हैं या व्यस्त अनुपात सूत्र (x₁y₁ = x₂y₂) का। अपने अंतिम उत्तर को स्पष्टता के लिए रेखांकित या बॉक्स करें। ये प्रश्न CBSE अंकन की रीढ़ हैं, जो आमतौर पर 40 अंकों की अध्याय परीक्षा में 15-20 अंक का योगदान देते हैं। ऐसे समाधान लिखने का अभ्यास करें जो परीक्षक आसानी से समझ सकें। समय प्रबंधन महत्वपूर्ण है — प्रत्येक प्रश्न के लिए 3-4 मिनट आवंटित करें। Class 8 गणित समाधान उत्तर कुंजी में CBSE परीक्षकों द्वारा अपेक्षित सटीक प्रस्तुति प्रदर्शित की गई है।
  • Q19. एक कार 4 घंटे में 240 किमी की दूरी तय करती है। वह समान गति से 7 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी? (3 अंक)
  • Q20. यदि 15 मजदूर एक दीवार को 48 घंटे में बना सकते हैं, तो उसे 30 घंटे में बनाने के लिए कितने मजदूरों की आवश्यकता होगी? (3 अंक)
  • Q21. 12 कलमों की कीमत ₹156 है। ऐसी ही 8 कलमों की कीमत ज्ञात करें। (2 अंक)
  • Q22. एक छात्रावास में 150 विद्यार्थियों के लिए 40 दिनों का भोजन है। यदि 30 और विद्यार्थी आ जाएँ, तो भोजन कितने दिनों के लिए चलेगा? (3 अंक)
  • Q23. यदि 35 मीटर कपड़े की कीमत ₹1,470 है, तो ₹882 में कितना कपड़ा खरीदा जा सकता है? (2 अंक)

खंड E: दीर्घ उत्तरीय और HOTS प्रश्न (प्रत्येक 4-5 अंक)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न और उच्च-क्रम चिंतन कौशल (HOTS) समस्याएँ NCERT Class 8 गणित अध्याय 11 से अनुपात की अवधारणाओं की गहन समझ का परीक्षण करती हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 से 5 अंकों का होता है और बहु-चरणीय तर्क, अवधारणाओं का एकीकरण, या अपरिचित संदर्भों में अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है। HOTS प्रश्न छात्रों से पूछ सकते हैं कि दिया गया संबंध सीधा अनुपात है, व्यस्त अनुपात है, या कोई नहीं — यह रटंत अनुप्रयोग से परे विश्लेषणात्मक कौशल का परीक्षण करता है। सभी कार्य को पद्धतिबद्ध रूप से दिखाएँ: दी गई जानकारी बताएँ, न्यायसंगतता के साथ अनुपात के प्रकार की पहचान करें, लागू सूत्र लिखें, मानों को प्रतिस्थापित करें, गणना को चरणबद्ध रूप से करें, और निष्कर्ष को स्पष्ट रूप से बताएँ। ये प्रश्न अक्सर अनुपात को प्रतिशत, भिन्न, या बीजगणित जैसी अन्य गणितीय अवधारणाओं के साथ जोड़ते हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए 6-8 मिनट आवंटित करें। CBSE मार्किंग योजना सही विधि के लिए आंशिक क्रेडिट देती है भले ही अंतिम उत्तर गलत हो, इसलिए कभी भी प्रश्न को खाली न छोड़ें। उत्तर कुंजी में विस्तृत Class 8 गणित समाधान प्रदर्शित करते हैं कि अंकों को अधिकतम करने वाली विस्तारित प्रतिक्रियाओं को कैसे संरचित किया जाए। बोर्ड परीक्षाओं के लिए आत्मविश्वास बनाने के लिए इनका नियमित अभ्यास करें।
  • Q24. एक कारखाने को दी गई संख्या में लेख 56 दिनों में बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता है। वही संख्या में लेख 48 दिनों में बनाने के लिए कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी? शामिल अनुपात के प्रकार की व्याख्या करें। (4 अंक)
  • Q25. दो राशियाँ x और y इस प्रकार संबंधित हैं: जब x = 6, y = 18; जब x = 10, y = 30। निर्धारित करें कि x और y सीधे अनुपात में हैं, व्यस्त अनुपात में हैं, या कोई नहीं। अपने उत्तर को गणितीय रूप से न्यायसंगत ठहराएँ। (5 अंक)
  • Q26. राश्मि 2 घंटे में 8.2 किमी की दूरी तय कर सकती है। वह समान गति से 14.35 किमी की दूरी तय करने में कितना समय लेगी? साथ ही 3.5 घंटे में उसके द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें। (5 अंक)

खंड F: केस स्टडी प्रश्न (4 अंक)

2020 के बाद से केस स्टडी प्रश्न CBSE Class 8 गणित परीक्षाओं में एक मुख्य अंग बन गए हैं, जो वास्तविक संदर्भों में अनुप्रयोग कौशल का परीक्षण करते हैं। विद्यार्थी एक छोटे परिदृश्य को पढ़ते हैं जो सीधे या व्यस्त अनुपात से जुड़ी व्यावहारिक स्थिति का वर्णन करता है, फिर अनुच्छेद के आधार पर 3-4 उप-प्रश्नों के उत्तर देते हैं। प्रत्येक केस स्टडी आमतौर पर कुल 4 अंकों का होता है। अनुच्छेद को ध्यान से पढ़ें, मुख्य संख्यात्मक डेटा को रेखांकित करें, और उप-प्रश्नों का प्रयास करने से पहले राशियों के बीच संबंधों की पहचान करें। ये प्रश्न समझ, डेटा व्याख्या, और गणितीय अनुप्रयोग को एक साथ आकलन करते हैं। उप-प्रश्न MCQ प्रारूप या बहुत ही लघु उत्तर प्रकार के हो सकते हैं। सामान्य संदर्भों में खरीदारी के परिदृश्य, निर्माण परियोजनाएँ, यात्रा योजना, या संसाधन आवंटन शामिल हैं — ये सभी क्षेत्र जहाँ अनुपात की अवधारणाएँ दैनिक जीवन में लागू होती हैं। नीचे दिया गया केस स्टडी वास्तविक CBSE बोर्ड परीक्षा पैटर्न को दर्शाता है। संपूर्ण केस स्टडी पर लगभग 8-10 मिनट व्यय करें। गणना-आधारित उप-प्रश्नों के लिए कार्य दिखाएँ भले ही प्रारूप MCQ हो। यह खंड विद्यार्थियों को यह देखने में मदद करता है कि NCERT Class 8 गणित की अवधारणाएँ पाठ्यपुस्तकों से परे क्यों महत्वपूर्ण हैं, वास्तविक जीवन और प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं के लिए गणितीय साक्षरता का निर्माण करते हुए।

व्याख्याओं के साथ संपूर्ण उत्तर कुंजी

यह व्यापक उत्तर कुंजी कार्यपत्र के प्रत्येक प्रश्न के लिए सही उत्तर के साथ चरणबद्ध व्याख्याएँ प्रदान करती है। विद्यार्थियों को इस खंड से परामर्श लेने से पहले सभी प्रश्नों का स्वतंत्र रूप से प्रयास करना चाहिए। आत्म-मूल्यांकन के लिए उत्तर कुंजी का उपयोग करें: अपने उत्तरों को चिह्नित करें, अपना स्कोर परिकलित करें, और संशोधन की आवश्यकता वाले विषयों की पहचान करें। व्याख्याएँ CBSE Class 8 गणित परीक्षाओं में अपेक्षित सटीक कार्य और प्रस्तुति प्रदर्शित करती हैं। MCQ के लिए, व्याख्याएँ स्पष्ट करती हैं कि सही विकल्प क्यों सही है और अन्य क्यों गलत हैं। संख्यात्मक समस्याओं के लिए, उचित गणितीय संकेतन का उपयोग करके प्रत्येक गणना चरण दिखाया गया है। ध्यान दें कि सीधे और व्यस्त अनुपात को कैसे अलग किया जाता है और कौन सा सूत्र लागू किया जाता है। यदि आपने त्रुटियाँ कीं, तो संबंधित NCERT Class 8 गणित अध्याय 11 अनुभागों को पुनरीक्षित करें और समान समस्याओं का अभ्यास करें। सामान्य गलतियों में सीधे और व्यस्त अनुपात को भ्रमित करना, गणना त्रुटियाँ, और अंतिम उत्तरों में इकाइयों को छोड़ना शामिल है। उत्तर कुंजी समीक्षा के साथ नियमित कार्यपत्र अभ्यास परीक्षा प्रदर्शन में महत्वपूर्ण सुधार करता है। CBSETUTOR.ai Classes 6-12 के लिए ₹999/माह में केवल असीमित व्यक्तिगत कार्यपत्र और तत्काल फोटो-अपलोड संदेह समाधान प्रदान करता है, AI-संचालित सीखने का अनुभव प्राप्त करने के लिए 3-दिन की निःशुल्क परीक्षण अवधि के साथ।
  • खंड A उत्तर: 1(b), 2(b), 3(b), 4(c), 5(a), 6(c)
  • खंड B उत्तर: 7-सीधा, 8-5.33 या 16/3, 9-अचर, 10-₹40, 11-व्यस्त, 12-3/4
  • खंड C उत्तर: 13-सत्य, 14-सत्य, 15-सत्य, 16-सत्य, 17-असत्य, 18-सत्य
  • खंड D कार्य किए गए समाधान नीचे दिए गए हैं
  • खंड E विस्तृत समाधान नीचे दिए गए हैं
  • केस स्टडी उत्तर: 27-24 विद्यार्थी, 28-8 बसें, 29-24 विद्यार्थी, 30-सीधा अनुपात

खंड A विस्तृत समाधान

A2. उत्तर: (b) गति और निश्चित दूरी के लिए समय। व्याख्या: जब दूरी स्थिर होती है, यदि गति बढ़ती है, तो समय आनुपातिक रूप से घटता है। यह व्यस्त अनुपात है: गति × समय = अचर दूरी। विकल्प (a) सीधा अनुपात है, विकल्प (c) द्विघातीय संबंध दिखाता है (क्षेत्र = πr²), विकल्प (d) सीधा अनुपात है (दूरी = गति × समय)। A3. उत्तर: (b) 16 दिन। व्याख्या: समान कार्य के लिए मजदूर और दिन व्यस्त अनुपात में हैं। सूत्र का उपयोग करते हुए: 8 × 12 = 6 × d, इसलिए d = 96/6 = 16 दिन। अधिक मजदूर कार्य तेजी से पूरा करते हैं; कम मजदूरों को अधिक समय लगता है। A4. उत्तर: (c) बढ़ना। व्याख्या: सीधे अनुपात में, दोनों राशियाँ समान दिशा में बदलती हैं। जब x बढ़ता है, y भी आनुपातिक रूप से बढ़ता है। अनुपात x/y स्थिर रहता है। A5. उत्तर: (a) सीधा अनुपात। व्याख्या: परिधि = πd जहाँ d व्यास है। चूँकि π अचर है, C और d सीधे आनुपातिक हैं। जब व्यास दोगुना होता है, परिधि भी दोगुनी हो जाती है। A6. उत्तर: (c) xy = अचर। व्याख्या: यह व्यस्त अनुपात का परिभाषित गुण है। व्यस्त आनुपातिक राशियों का गुणनफल अचर रहता है भले ही व्यक्तिगत मान बदलें।

खंड B, C और D विस्तृत समाधान

B8. उत्तर: 5.33 दिन या 5⅓ दिन या 16/3 दिन। व्याख्या: मजदूर और दिन व्युत्क्रमानुपाती हैं। 12 × 8 = 18 × d, इसलिए d = 96/18 = 16/3 ≈ 5.33 दिन। अधिक मजदूर काम तेजी से पूरा करते हैं। B12. उत्तर: 3/4। व्याख्या: सीधे अनुपात में, अनुपात अदिश गुणन की परवाह किए बिना स्थिर रहता है। अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (2) से गुणा करने से अनुपात नहीं बदलता। C17. उत्तर: गलत। व्याख्या: वर्ग की भुजा और क्षेत्रफल द्विघात संबंध दिखाते हैं (क्षेत्रफल = भुजा²), सीधे अनुपात नहीं। जब भुजा दोगुनी होती है, तो क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है, दोगुना नहीं। D20. समाधान: समान कार्य के लिए मजदूर और घंटे व्युत्क्रमानुपाती हैं। आवश्यक मजदूर = w। फिर 15 × 48 = w × 30। इसलिए w = (15 × 48)/30 = 720/30 = 24 मजदूर आवश्यक हैं। उत्तर: 24 मजदूर। D21. समाधान: कीमत और कलमों की संख्या सीधे अनुपाती हैं। 12 कलमों की कीमत ₹156 है, इसलिए 1 कलम की कीमत ₹156/12 = ₹13। इसलिए 8 कलमों की कीमत ₹13 × 8 = ₹104 है। उत्तर: ₹104। D22. समाधान: अधिक छात्र भोजन तेजी से खाते हैं — व्युत्क्रमानुपात। भोजन 150 छात्रों के लिए 40 दिन के लिए पर्याप्त है। कुल छात्र अब = 150 + 30 = 180। माना भोजन d दिन के लिए पर्याप्त है। 150 × 40 = 180 × d, इसलिए d = 6000/180 = 33.33 दिन या 33⅓ दिन। उत्तर: 33⅓ दिन।

खंड E और केस स्टडी विस्तृत समाधान

E25. समाधान: जांचें कि क्या x/y स्थिर है (सीधा) या xy स्थिर है (व्युत्क्रम)। जब x = 6, y = 18: अनुपात = 6/18 = 1/3, गुणनफल = 6 × 18 = 108। जब x = 10, y = 30: अनुपात = 10/30 = 1/3, गुणनफल = 10 × 30 = 300। चूंकि x/y स्थिर रहता है (1/3) लेकिन xy नहीं, x और y सीधे अनुपात में हैं। हम y = 3x भी लिख सकते हैं, जो सीधे अनुपात की पुष्टि करता है। उत्तर: सीधा अनुपात। E26. समाधान: स्थिर गति पर दूरी और समय सीधे अनुपाती हैं। (i) 8.2 km को 2 घंटे में तय करना मतलब 1 km को 2/8.2 घंटे में। इसलिए 14.35 km को (2/8.2) × 14.35 = 28.7/8.2 = 3.5 घंटे में तय किया जाता है। (ii) 2 घंटे में, दूरी = 8.2 km। 1 घंटे में, दूरी = 4.1 km। 3.5 घंटे में, दूरी = 4.1 × 3.5 = 14.35 km। उत्तर: (i) 3.5 घंटे (ii) 14.35 km। केस स्टडी: प्रश्न 27. 5 बसों में 120 छात्र मतलब 120/5 = 24 छात्र प्रति बस। प्रश्न 28. 192 छात्रों के लिए: 192/24 = 8 बसें आवश्यक हैं। प्रश्न 29. 7 बसें 7 × 24 = 168 छात्रों को समायोजित करती हैं। बचे हुए छात्र = 192 - 168 = 24। प्रश्न 30. अधिक छात्रों के लिए अधिक बसें समान अनुपात में आवश्यक हैं — सीधा अनुपात।

Frequently asked questions

CBSE Class 8 Mathematics में प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात में क्या अंतर है?+
प्रत्यक्ष अनुपात में, दोनों राशियाँ एक साथ बढ़ती या घटती हैं और एक स्थिर अनुपात बनाए रखती हैं (x/y = k)। व्युत्क्रम अनुपात में, जब एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी घटती है ताकि उनका गुणनफल स्थिर रहे (xy = k)। लागत-मात्रा की समस्याएँ आमतौर पर प्रत्यक्ष अनुपात दिखाती हैं, जबकि कार्यकर्ता-समय की समस्याएँ व्युत्क्रम अनुपात दिखाती हैं।
मैं कैसे पहचानूँ कि कोई शब्द समस्या प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम अनुपात में है?+
अपने आप से पूछें: अगर एक राशि बढ़ती है, तो क्या दूसरी भी बढ़ती है (प्रत्यक्ष) या घटती है (व्युत्क्रम)? प्रत्यक्ष अनुपात के सामान्य संकेत में लागत और वस्तुएँ, दूरी और स्थिर गति पर समय शामिल हैं। व्युत्क्रम अनुपात के संकेत में अधिक कार्यकर्ता कम समय में काम पूरा करना, अधिक गति में कम समय में दूरी तय करना शामिल है।
एकात्मक विधि क्या है और यह Class 8 Mathematics Chapter 11 के लिए क्यों महत्वपूर्ण है?+
एकात्मक विधि पहले एक इकाई का मान ज्ञात करती है, फिर आवश्यक मात्रा तक बढ़ाती है। यह NCERT Class 8 Mathematics में अनुपात समस्याओं को हल करने के लिए सिखाई जाने वाली मूलभूत पद्धति है। उदाहरण के लिए, यदि 5 किताबें ₹100 की हैं, तो 1 किताब की कीमत ज्ञात करें (₹20), फिर 8 किताबों के लिए गुणा करें (₹160)।
क्या समय और कार्य की समस्याएँ CBSE Class 8 में हमेशा व्युत्क्रम अनुपात होती हैं?+
हाँ, जब कार्य की मात्रा निर्धारित हो और कार्यकर्ता की दक्षता स्थिर हो। अधिक कार्यकर्ता कम समय में काम पूरा करते हैं (व्युत्क्रम)। हालाँकि, यदि कार्य की मात्रा बदलती है या दक्षता अलग-अलग है, तो संबंध भिन्न हो सकता है। हमेशा प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि क्या स्थिर रहता है।
CBSE Class 8 परीक्षाओं में Chapter 11 Direct and Inverse Proportions कितने अंक का होता है?+
Chapter 11 आमतौर पर 80 अंकों की CBSE Class 8 Mathematics वार्षिक परीक्षा में 8-12 अंकों का होता है। प्रश्न 1 अंक के MCQ और रिक्त स्थान से लेकर 4-5 अंकों की अनुप्रयोग समस्याओं और केस स्टडीज तक होते हैं। कार्यपत्रकों के साथ सही अभ्यास इस स्कोरिंग अध्याय में मजबूत प्रदर्शन सुनिश्चित करता है।
अनुपात समस्याओं में छात्र कौन सी सामान्य गलतियाँ करते हैं?+
सामान्य त्रुटियों में शामिल हैं: प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात को भ्रमित करना, सूत्र का गलत अनुप्रयोग, एकात्मक विधि भूलना, गणना में त्रुटि, अंतिम उत्तर में इकाई न लिखना, और कार्य के चरणों को न दिखाना। हमेशा पहले अनुपात का प्रकार पहचानें, सूत्र लिखें, फिर व्यवस्थित रूप से हल करें।
CBSETUTOR.ai NCERT Class 8 Mathematics Chapter 11 अभ्यास में कैसे मदद कर सकता है?+
CBSETUTOR.ai आपके सीखने के स्तर के अनुरूप असीमित AI-जनित कार्यपत्रक प्रदान करता है, फोटो अपलोड के माध्यम से तुरंत संदेह समाधान, और अनुपात समस्याओं के लिए चरण-दर-चरण समाधान। कक्षा 6-12 के लिए ₹999/माह की कीमत पर, यह हर छात्र के लिए सस्ती है। 3 दिनों की मुफ्त परीक्षण आपको प्रतिबद्ध होने से पहले व्यक्तिगत सीखने का अनुभव लेने देती है।
क्या मुझे प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात के सूत्र रटने चाहिए?+
हाँ, मुख्य सूत्र रटें: प्रत्यक्ष अनुपात x₁/y₁ = x₂/y₂ या y = kx, और व्युत्क्रम अनुपात x₁y₁ = x₂y₂ या y = k/x। हालाँकि, प्रत्येक सूत्र को कब लागू करना है यह समझना रटना-रटी से ज्यादा महत्वपूर्ण है। अनुपात संबंधों के बारे में अंतर्ज्ञान बनाने के लिए विविध समस्याओं का अभ्यास करें।
इस वर्कशीट पर मुझे कितना समय देना चाहिए?+
सुझाया गया समय परीक्षा की स्थितियों में 90 मिनट है। सेक्शन A के लिए लगभग 10 मिनट, सेक्शन B के लिए 8 मिनट, सेक्शन C के लिए 7 मिनट, सेक्शन D के लिए 20 मिनट, सेक्शन E के लिए 25 मिनट, केस स्टडी के लिए 10 मिनट, और समीक्षा और जांच के लिए 10 मिनट आवंटित करें।
क्या सभी वास्तविक दुनिया के संबंध या तो प्रत्यक्ष अनुपात या व्युत्क्रम अनुपात हैं?+
नहीं। कई संबंध न तो एक हैं और न ही दूसरे। उदाहरण के लिए, वर्ग की भुजा और उसके क्षेत्रफल के बीच संबंध द्विघात है (क्षेत्रफल = भुजा²), प्रत्यक्ष अनुपात नहीं। जनसंख्या वृद्धि घातीय है। अनुपात के प्रकार का निष्कर्ष निकालने से पहले छात्रों को यह परीक्षण करना चाहिए कि अनुपात या गुणनफल स्थिर रहता है या नहीं।

Related resources

Class 8 Mathematics Chapter 11 Direct and Inverse Proportions — Formulas & Key PointsCBSE Class 8 Mathematics Chapter 11 Direct and Inverse Proportions Worksheet with AnswersImportant Questions: CBSE Class 8 Mathematics Chapter 11 Direct and Inverse Proportionsकक्षा 8 गणित अध्याय 11 सीधा और प्रतिलोम अनुपात — सूत्र और मुख्य बिंदुAI Tutor for Class 8: The Smart Alternative to TuitionAI Tutor for Class 8 Science: Learn Faster with Instant HelpNCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 2: PolynomialsCBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 Number Systems Worksheet with Answers

Keep learning — related guides

Class 8Mathematics
CBSE Class 8 Mathematics Chapter 13 Introduction to Graphs: Mind Map & Revision Notes
Class 8Mathematics
CBSE Class 8 Mathematics — Introduction to Graphs: complete chapter guide
Class 8Mathematics
CBSE Class 8 Mathematics Chapter 13 Introduction to Graphs — Notes
Class 8Mathematics
NCERT Solutions for CBSE Class 8 Mathematics Chapter 13: Introduction to Graphs
Class 8Mathematics
CBSE Class 8 Mathematics Chapter 12 Factorisation: mind map & revision
Class 8Mathematics
CBSE Class 8 Mathematics — Factorisation: complete chapter guide

Ready to give your Class 8 child the tutor that never sleeps?

CBSETUTOR.ai covers every chapter in the Class 8 NCERT syllabus — Maths, Science, Social Science, English, Hindi and more. 24×7. Patient. Unlimited. 3-day free trial.

Start your child's 3-day free trial →