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कक्षा 8 गणित अध्याय 11 सीधा और प्रतिलोम अनुपात — सूत्र और मुख्य बिंदु

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सीधा और प्रतिलोम अनुपात (Direct and Inverse Proportions) CBSE कक्षा 8 गणित में अनुपात-तर्क की रीढ़ हैं। अध्याय 11 दो मौलिक संबंधों का परिचय देता है: वे राशियाँ जो एक साथ बढ़ती हैं (सीधा) और वे राशियाँ जो विपरीत दिशा में चलती हैं (प्रतिलोम)। इन सूत्रों में महारत हासिल करने से समय-कार्य, चाल-दूरी, लागत-मात्रा और संसाधन-आवंटन की समस्याएं सुलझती हैं जो बोर्ड परीक्षाओं, ओलंपियाड और दैनिक जीवन में आती हैं। यह सूत्र पत्रक NCERT परिभाषाओं, मानक संकेतन और शीघ्र-जाँच विधियों को तालिकाओं और उदाहरणों में संकुचित करता है जो तेजी से संशोधन के लिए बनाए गए हैं।

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Key takeaways

✓सीधा अनुपात का मतलब है कि जब एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी भी समानुपातिक रूप से बढ़ती है (x₁/x₂ = y₁/y₂)।
✓प्रतिलोम अनुपात का मतलब है कि जब एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी समानुपातिक रूप से घटती है (x₁y₁ = x₂y₂)।
✓समय-कार्य समस्याओं में आमतौर पर प्रतिलोम अनुपात शामिल होता है: अधिक कार्यकर्ता कम समय में कार्य पूरा करते हैं।
✓दो प्रतिलोम अनुपातिक राशियों का गुणनफल हमेशा स्थिर रहता है।
✓चाल-दूरी-समय समस्याएं सीधा और प्रतिलोम दोनों अनुपात का उपयोग करती हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन-सी राशि स्थिर है।
✓अनुपात का प्रकार सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है; ग्राफ की ढलान सीधा (ऊपर की ओर) बनाम प्रतिलोम (अतिपरवलय) संबंधों को दृश्यमान करने में मदद करती है।
✓NCERT कक्षा 8 गणित अध्याय 11 के अभ्यासों में एकात्मक विधि और अनुपात समीकरण दोनों दृष्टिकोण शामिल हैं।

मुख्य सूत्र और संबंध तालिका

नीचे दी गई तालिका CBSE कक्षा 8 गणित अध्याय 11 में परीक्षित हर सूत्र और संबंध को दर्शाती है। सीधे अनुपात के लिए संरचना x₁/x₂ = y₁/y₂ और व्युत्क्रम अनुपात के लिए x₁y₁ = x₂y₂ को याद रखें। ये दो टेम्पलेट लगभग हर NCERT अभ्यास और बोर्ड सवाल को हल करते हैं। हल करने के लिए क्रॉस-गुणन की चाल पर ध्यान दें: सीधे अनुपात में आप सीधे गुणा करते हैं, व्युत्क्रम अनुपात में आप तिरछे गुणा करते हैं। टर्म परीक्षाओं में 2-3 अंकों के सवाल आमतौर पर पहले अनुपात के प्रकार को पहचानने के लिए कहते हैं, फिर संबंधित सूत्र लागू करते हैं। अपने उत्तर की पहली पंक्ति में सही सूत्र लिखने का अभ्यास करें ताकि गणना में त्रुटि होने पर भी विधि के अंक मिल जाएं।

मुख्य शब्द और परिभाषाएं

सटीक शब्दावली समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि CBSE कक्षा 8 गणित परीक्षक NCERT भाषा का उपयोग करके सवाल तैयार करते हैं। 'दो राशियां x और y सीधे अनुपात में हैं' — यह वही पहचान है जो आप 2024-25 पाठ्यक्रम में देखेंगे। कई विद्यार्थी 'सीधे परिवर्तित होता है' को 'व्युत्क्रमानुपाती परिवर्तित होता है' से भ्रमित करते हैं — समस्या कथन को ध्यान से पढ़ने से यह गलती रुक जाती है। प्रतीक ∝ (अनुपातिक) एक सीधे संबंध का संकेत देता है जब तक कि अन्यथा न कहा जाए। जब समस्या 'व्युत्क्रमानुपाती' कहती है या 'अधिक कर्मचारी तो कम समय' जैसे वाक्यांश का उपयोग करती है, तो वह व्युत्क्रम अनुपात को इंगित करता है। परिभाषाएं सिद्धांत के सवालों में 1-2 अंक ले आती हैं, इसलिए उन्हें NCERT के अनुसार शब्द-दर-शब्द लिखें। 'अनुपात' (एक तुलना a:b) और 'समानुपात' (दो अनुपातों की समानता a:b = c:d) के बीच अंतर सीखें।

सीधा अनुपात: दो राशियां x और y सीधे अनुपात में हैं यदि x में वृद्धि से y में समानुपाती वृद्धि होती है (और इसके विपरीत), जिससे x/y स्थिर रहता है।
व्युत्क्रम अनुपात: दो राशियां x और y व्युत्क्रम अनुपात में हैं यदि x में वृद्धि से y में समानुपाती कमी होती है (और इसके विपरीत), जिससे x × y स्थिर रहता है।
अनुपातिकता का स्थिरांक: सीधे अनुपात में y = kx या व्युत्क्रम अनुपात में xy = k में नियत मान k।
एकात्मक विधि: एक इकाई का मान ज्ञात करना, फिर आवश्यक इकाइयों का मान निकालना।
समय-कार्य संबंध: जब कर्मचारियों की संख्या नियत हो तो कार्य समय के व्युत्क्रमानुपाती होता है; जब समय नियत हो तो कार्य कर्मचारियों के सीधे अनुपाती होता है।

महत्वपूर्ण स्थिरांक और मानक संकेतन

कक्षा 8 गणित अध्याय 11 π या g जैसे भौतिक स्थिरांक नहीं सिखाता, लेकिन यह भ्रम से बचने के लिए सुसंगत संकेतन पर निर्भर करता है। हमेशा अपनी राशियों को स्पष्ट रूप से लेबल करें: M = कर्मचारियों की संख्या, D = दिनों की संख्या, W = किया गया कार्य। गति-दूरी-समय की समस्याओं में S को गति, D को दूरी, T को समय के लिए रखें। NCERT पाठ्यपुस्तक पहले और बाद के मानों को अलग करने के लिए सबस्क्रिप्ट संकेतन (x₁, x₂, y₁, y₂) का उपयोग करती है; अपने काम में भी इसे अपनाएं ताकि परीक्षक आपके तर्क का अनुसरण कर सके। अनुपातों में क्रम बनाए रखें: यदि समस्या 'लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3:2 है' कहती है, तो पहले लड़कों को लिखें। संकेतन में सुसंगतता चिह्न त्रुटियों को रोकती है और आपके समाधानों को दोहराए जाने योग्य बनाती है। कई 3-अंकीय सवाल सही अंकगणित जितना ही प्रस्तुति की स्पष्टता को पुरस्कृत करते हैं।

x₁, y₁: राशियां x और y के प्रारंभिक मान
x₂, y₂: अंतिम या दूसरे समूह के मान
k: अनुपातिकता का स्थिरांक (सीधा: y = kx; व्युत्क्रम: xy = k)
∝: 'अनुपातिक है' के लिए प्रतीक
M, D, W: समय-कार्य समस्याओं में कर्मचारी, दिन, कार्य के लिए मानक अक्षर
S, D, T: गति समस्याओं में गति, दूरी, समय

स्मरण करने की तरकीबें और स्मृति सहायक

परीक्षा की चिंता में CBSE बोर्ड परीक्षा की तैयारी करने वाले विद्यार्थी अक्सर सीधे और व्युत्क्रम अनुपात को भ्रमित कर देते हैं। यह याद रखने के लिए कि सीधे अनुपात में आप दोनों ओर एक विभाजन (अनुपात) सेट करते हैं: x₁/x₂ = y₁/y₂, मनेमॉनिक 'DIRECT = DIVIDE' का उपयोग करें। व्युत्क्रम अनुपात के लिए, 'INVERSE = MULTIPLY' सोचें क्योंकि आप गुणनफल को बराबर करते हैं: x₁y₁ = x₂y₂। एक और तरकीब: मानसिक रूप से एक त्वरित ग्राफ बनाएं — सीधा अनुपात मूल से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है (ऊपरी ढलान), व्युत्क्रम अनुपात एक अतिपरवलय है (नीचे की ओर झुकी हुई वक्र)। यदि समस्या 'A अधिक तो B अधिक' कहती है, तो यह सीधा है; 'A अधिक तो B कम' व्युत्क्रम अनुपात को संकेत करता है। समय-कार्य की समस्याएं लगभग हमेशा व्युत्क्रम संबंध रखती हैं (अधिक कर्मचारी → कम दिन), जबकि लागत-मात्रा की समस्याएं सीधी होती हैं (अधिक वस्तुएं → अधिक लागत)। अपने कच्चे काम के शीर्ष पर ये जांचें लिखें ताकि आपका दृष्टिकोण स्थिर रहे।

DIRECT = DIVIDE: x₁/x₂ = y₁/y₂ सेट करें
INVERSE = MULTIPLY: x₁y₁ = x₂y₂ सेट करें
ग्राफ संकेत: सीधा अनुपात एक सीधी रेखा है; व्युत्क्रम एक अतिपरवलय है
भाषा संकेत: 'अधिक → अधिक' या 'कम → कम' = सीधा; 'अधिक → कम' = व्युत्क्रम
समय-कार्य संकेत: अधिक कर्मचारी, कम समय → व्युत्क्रम
लागत-मात्रा संकेत: अधिक वस्तुएं, अधिक लागत → सीधा

सामान्य गलतियां: चिह्न, इकाई और संकेतन त्रुटियां

2024 CBSE कक्षा 8 टर्म परीक्षाओं में परीक्षकों ने तीन बार-बार आने वाली गलतियों की रिपोर्ट दी। पहली, विद्यार्थी व्युत्क्रम अनुपात के लिए x₁/y₁ = x₂/y₂ लिखते हैं — यह गलत है; सही रूप x₁y₁ = x₂y₂ है। दूसरी, सूत्रों में लगाने से पहले इकाइयों को परिवर्तित करना भूल जाना: यदि एक गति km/h में है और दूसरी m/s में है, तो पहले दोनों को एक ही इकाई में बदलें। तीसरी, सबस्क्रिप्ट को मिक्स करना: x₁ को y₁ के साथ जोड़ा जाना चाहिए, y₂ के साथ नहीं। समय-कार्य की समस्याओं में, विद्यार्थी कभी-कभी सीधा अनुपात मानते हैं जबकि सवाल स्पष्ट रूप से व्युत्क्रम तर्क देता है (जैसे 'यदि 6 कर्मचारी 10 दिन में काम पूरा करते हैं, तो 15 कर्मचारी कितने दिन में?')। हमेशा महत्वपूर्ण शब्दों को रेखांकित करें — 'अधिक', 'कम', 'समान' — संबंध पहचानने के लिए। अंतिम उत्तर की इकाइयां मेल खानी चाहिएं: यदि समय घंटों में पूछा है, तो इसे मिनटों में न छोड़ें। आयाम जांचें: x₁/x₂ = y₁/y₂ में, बाएं अनुपात और दाएं अनुपात आयामी रूप से सुसंगत होने चाहिए।

व्युत्क्रम अनुपात के लिए कभी x₁/y₁ = x₂/y₂ न लिखें; इसके बजाय x₁y₁ = x₂y₂ का उपयोग करें
सूत्रों में प्रतिस्थापन करने से पहले हमेशा सभी राशियों को एक ही इकाई में परिवर्तित करें
सबस्क्रिप्ट सही से जोड़ें: x₁ को y₁ के साथ, x₂ को y₂ के साथ
समय-कार्य की समस्याओं में सीधा अनुपात मत मानें; अधिकांश व्युत्क्रम होते हैं
अंतिम उत्तर की इकाई सवाल से मेल खाए (घंटे बनाम मिनट, रुपये बनाम पैसे)
शब्द समस्याओं में शुरुआत में अपनी राशियों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें ताकि बाद में भ्रम न हो

समाधान किया गया मिनी-उदाहरण 1: सीधा अनुपात (लागत-मात्रा)

एक क्लासिक NCERT कक्षा 8 गणित अध्याय 11 समस्या प्रकार वास्तविक दुनिया के संदर्भ में सीधे अनुपात का परीक्षण करता है। मुख्य बात यह है कि लागत और मात्रा एक साथ चलती हैं। नीचे, हम अनुपात समीकरण और एकात्मक विधि दोनों का उपयोग करके हल करते हैं ताकि आप परीक्षा की परिस्थितियों में तेजी से आने वाला तरीका चुन सकें। ध्यान दें कि हम चर को कैसे परिभाषित करते हैं, अनुपात को कैसे बताते हैं, क्रॉस-गुणा करते हैं, फिर इकाइयों को सत्यापित करते हैं। यह संरचना भी पूर्ण विधि अंक अर्जित करती है यदि अंकगणित थोड़ी सी भी गलत है। हर चरण लिखने का अभ्यास करें: परीक्षक सही सेटअप के लिए आंशिक क्रेडिट देते हैं।

समाधान किया गया मिनी-उदाहरण 2: व्युत्क्रम अनुपात (समय-कार्य)

समय-कार्य समस्याएं लगभग हर CBSE कक्षा 8 टर्म परीक्षा में दिखाई देती हैं, अक्सर 3-4 अंक ले जाती हैं। सुनहरा नियम: यदि कामगारों की संख्या बढ़ती है, तो समय घटता है, इसलिए व्युत्क्रम अनुपात का उपयोग करें। छात्र अक्सर यहाँ सीधे अनुपात लागू करने में गलती करते हैं — मार्जिन में 'अधिक कामगार, कम समय' को रेखांकित करें ताकि आप ट्रैक पर रहें। नीचे हम गुणनफल-स्थिरांक विधि दिखाते हैं, जो व्युत्क्रम समस्याओं के लिए एकात्मक से तेजी से है। हमेशा अपने उत्तर को सत्यापित करें कि यह सामान्य ज्ञान के अनुसार समझदारी भरा हो: कामगारों को दोगुना करने से समय लगभग आधा हो जाना चाहिए (यदि संबंध बिल्कुल व्युत्क्रम है)। यह समझदारी जांच आपके पत्र सौंपने से पहले गणना त्रुटियों को पकड़ता है।

समाधान किया गया मिनी-उदाहरण 3: मिश्रित अनुपात (गति-दूरी-समय)

गति की समस्याएं परीक्षण करती हैं कि आप कौन सी मात्राएं स्थिर हैं। यदि गति स्थिर है, तो दूरी और समय सीधे अनुपात में हैं। यदि समय स्थिर है, तो गति और दूरी सीधे अनुपात में हैं। यदि दूरी स्थिर है, तो गति और समय व्युत्क्रम अनुपात में हैं। यह उदाहरण दूरी को ठीक करता है और गति और समय में भिन्नता लाता है, इसलिए हम व्युत्क्रम अनुपात का उपयोग करते हैं। CBSE कक्षा 8 गणित समाधान NCERT में अक्सर यह परिदृश्य प्रस्तुत करते हैं। अपना सूत्र चुनने से पहले लिखें कि कौन सी चीज स्थिर है और कौन सी भिन्न होती है। यह अनुशासन सबसे सामान्य त्रुटि को रोकता है: गलत अनुपात प्रकार लागू करना। 2024-25 की बोर्ड परीक्षा में बिल्कुल इसी तरह का एक 4-अंक का प्रश्न शामिल था, इसलिए तर्क में महारत हासिल करें।

त्वरित संदर्भ: अनुपात प्रकार को पहचानना

CBSE कक्षा 8 गणित अध्याय 11 की आधी लड़ाई यह तय करना है कि समस्या सीधे या व्युत्क्रम अनुपात का वर्णन करती है। हर बार इस निर्णय वृक्ष का उपयोग करें। चरण 1: समस्या पढ़ें और मात्राओं को रेखांकित करें जो बदलती हैं। चरण 2: पूछें 'यदि मात्रा A बढ़ती है, तो क्या B बढ़ता या घटता है?' चरण 3: एक साथ बढ़ना = सीधा; विपरीतता से बढ़ना/घटना = व्युत्क्रम। चरण 4: सूत्र लिखें। शब्द समस्याओं के लिए, वाक्यों को गणितीय कथनों में परिवर्तित करें: 'लागत मात्रा के सीधे अनुपात में बदलती है' Cost = k × Quantity बन जाता है। 'समय गति के व्युत्क्रम अनुपात में बदलता है' Time × Speed = k बन जाता है। यह अनुवाद कौशल ही शीर्ष स्कोरर्स को अलग करता है। पाँच NCERT शब्द समस्याओं को समीकरणों के रूप में लिखने का अभ्यास करें; आप जल्दी पैटर्न देखेंगे।

समान दिशा परिवर्तन: दोनों बढ़ते हैं या दोनों घटते हैं → सीधा अनुपात (x₁/x₂ = y₁/y₂)
विपरीत दिशा परिवर्तन: एक बढ़ता है, दूसरा घटता है → व्युत्क्रम अनुपात (x₁y₁ = x₂y₂)
लागत और मात्रा: लगभग हमेशा सीधा
समय और कामगार (समान कार्य): लगभग हमेशा व्युत्क्रम
गति और समय (समान दूरी): लगभग हमेशा व्युत्क्रम
दूरी और समय (समान गति): लगभग हमेशा सीधा

अंतिम-क्षण संशोधन बॉक्स (एक नज़र में सारांश)

परीक्षा से रात पहले इस बॉक्स को प्रिंट या स्क्रीनशॉट करें। यह अध्याय 11 को छः लाइनों में संपीड़ित करता है जिन्हें आप 30 सेकंड में याद कर सकते हैं। CBSE कक्षा 8 गणित नोट्स अक्सर कई पृष्ठों तक चलते हैं; यह आसवन केवल अंक प्राप्त करने वाले तत्वों पर ध्यान केंद्रित करता है। इन सूत्रों को तीन बार जोर से सुनाएँ, फिर हर प्रकार की एक पिछली-वर्ष की समस्या को हल करें। यह 15-मिनट की ड्रिल CBSETUTOR.ai के अभ्यास मॉड्यूल का उपयोग करने वाले हजारों छात्रों के लिए प्रभावी साबित हुई है। याद रखें, सूत्र याद रखना केवल शुरुआत है — सटीक प्रतिस्थापन और इकाई सामंजस्य अंक अर्जित करता है। परीक्षा सुबह अपने अंतिम प्रक्षेपण के दौरान इस बॉक्स को हाथ में रखें।

सीधा: x₁/x₂ = y₁/y₂ | व्युत्क्रम: x₁y₁ = x₂y₂
अधिक → अधिक = सीधा | अधिक → कम = व्युत्क्रम
लागत-मात्रा: सीधा | समय-कार्य: व्युत्क्रम | गति-समय (निश्चित दूरी): व्युत्क्रम
हमेशा पहले इकाइयों को परिवर्तित करें; सबस्क्रिप्ट को सही ढंग से जोड़ी करें; सत्यापित करें कि उत्तर तार्किक समझ बनाता है
ग्राफ जांच: सीधा = मूल बिंदु से रेखा; व्युत्क्रम = अतिपरवलय
परीक्षा उत्तर में पहले सूत्र लिखें विधि अंकों के लिए

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व्यापक CBSE कक्षा 8 पाठ्यक्रम में अध्याय 11

सीधे और व्युत्क्रम समानुपात NCERT कक्षा 8 गणित पाठ्यक्रम में तुलना करने वाली मात्राएँ (अध्याय 8) और बीजगणितीय व्यंजन (अध्याय 9) के बीच बैठता है। यह कक्षा 7 से अनुपात अवधारणाओं पर बनता है और कक्षा 9 में दो चरों में रैखिक समीकरणों के लिए आधार तैयार करता है। बोर्ड परीक्षाएँ इस अध्याय को वर्ष भर में लगभग 6-8 अंक आवंटित करती हैं — आमतौर पर एक 2-अंक का प्रश्न, एक 3-अंक का प्रश्न, और कभी-कभी अवधि-2 के पेपर में एक 4-अंक की शब्द समस्या। यह अध्याय 2023 में पेश की गई बोर्ड की क्षमता-आधारित प्रश्नों में परीक्षण की जाने वाली वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में भी योगदान देता है। अध्याय 11 में महारत हासिल करने से डेटा प्रबंधन (अध्याय 5) और मापन (अध्याय 11) में आपके प्रदर्शन में सुधार होता है क्योंकि दोनों अन्तर्निहित रूप से आनुपातिक तर्क का उपयोग करते हैं। इन अध्यायों को संशोधित करते समय अपनी फॉर्मूला शीट हाथ में रखें।

अपेक्षित अंक: वर्ष में 6-8 अवधि-1 और अवधि-2 के पेपर में
सामान्य प्रश्न प्रकार: 2-अंक परिभाषा, 3-अंक शब्द समस्या (समय-कार्य या लागत), 4-अंक मिश्रित समानुपात (गति-दूरी-समय)
पूर्वापेक्षित ज्ञान: कक्षा 7 से अनुपात और प्रतिशत, एकात्मक विधि
संबंधित अध्याय: तुलना करने वाली मात्राएँ, बीजगणितीय व्यंजन, दो चरों में रैखिक समीकरण (कक्षा 9)
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग परीक्षण: शॉपिंग छूट, कार्य शेड्यूलिंग, यात्रा योजना

Frequently asked questions

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात में मुख्य अंतर क्या है?+

प्रत्यक्ष अनुपात में दोनों राशियाँ एक साथ बढ़ती या घटती हैं, इसलिए x₁/x₂ = y₁/y₂। व्युत्क्रम अनुपात में जब एक बढ़ता है तो दूसरा घटता है, इसलिए x₁y₁ = x₂y₂। प्रत्यक्ष का मतलब 'एक जैसी दिशा' और व्युत्क्रम का मतलब 'विपरीत दिशा' है।

मुझे कैसे पता चले कि शब्द समस्या प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम अनुपात की है?+

बदलने वाली राशियों को रेखांकित करें। पूछें: अगर पहली राशि बढ़े, तो दूसरी बढ़ती है (प्रत्यक्ष) या घटती है (व्युत्क्रम)? उदाहरण के लिए, अधिक मजदूर काम को कम समय में पूरा करते हैं, इसलिए यह व्युत्क्रम है। अधिक चीजों की कीमत ज्यादा है तो यह प्रत्यक्ष है।

समय-काम की समस्याओं में व्युत्क्रम अनुपात क्यों उपयोग होता है?+

क्योंकि अधिक मजदूर एक जैसे काम को कम समय में पूरा करते हैं। अगर मजदूर दोगुने हों, तो समय लगभग आधा हो जाता है (समान दक्षता मानते हुए)। यह विपरीत गति व्युत्क्रम अनुपात को परिभाषित करती है: मजदूर × समय = स्थिर काम पूरा हुआ।

क्या मैं व्युत्क्रम अनुपात के लिए एकात्मक विधि का उपयोग कर सकता हूँ?+

हाँ, लेकिन आपको इसे विपरीत तरीके से लागू करना चाहिए। उदाहरण के लिए, अगर 6 मजदूर 15 दिन लेते हैं, तो प्रति मजदूर-दिन की कार्य-दर निकालें, फिर 10 मजदूरों के लिए विपरीत तरीके से मापें। गुणनफल सूत्र x₁y₁ = x₂y₂ आमतौर पर तेज़ और कम त्रुटि वाला होता है।

Class 8 अध्याय 11 परीक्षाओं में सामान्य गलतियाँ क्या हैं?+

सूत्रों को मिलाना (व्युत्क्रम के लिए x₁/y₁ = x₂/y₂ लिखना), इकाइयों को परिवर्तित करना भूलना, गलत सबस्क्रिप्ट जोड़ी करना (x₁ के साथ y₂), और समय-काम की समस्याओं में प्रत्यक्ष अनुपात मान लेना। हमेशा महत्वपूर्ण शब्दों को रेखांकित करें और पहले सही सूत्र लिखें।

CBSE Class 8 परीक्षाओं में अध्याय 11 कितने अंक का है?+

आमतौर पर पूरे शैक्षणिक वर्ष में 6-8 अंक, जिन्हें टर्म परीक्षाओं में बाँटा जाता है। एक लघु उत्तरीय प्रश्न (2-3 अंक) और एक दीर्घ उत्तरीय अनुप्रयोग समस्या (3-4 अंक) जिसमें समय-काम या गति-दूरी-समय परिस्थितियाँ हों, की अपेक्षा करें।

क्या मुझे प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम अनुपात के ग्राफ़ याद रखने चाहिए?+

CBSE Class 8 परीक्षाओं में आपसे ग्राफ़ बनाने के लिए शायद ही कभा कहा जाता है, लेकिन उन्हें देखना मदद करता है। प्रत्यक्ष अनुपात के ग्राफ़ मूल बिंदु से गुज़रने वाली सीधी रेखाएँ होती हैं; व्युत्क्रम अनुपात के ग्राफ़ अतिपरवलय होते हैं। एक तेज़ मानसिक ग्राफ़ बनाना आपके अनुपात के प्रकार की पुष्टि करने में मदद करता है।

आनुपातिकता का स्थिरांक क्या है और इसे कहाँ उपयोग किया जाता है?+

सूत्र y = kx (प्रत्यक्ष) या xy = k (व्युत्क्रम) में स्थिरांक k। यह राशियों के बीच अपरिवर्तनीय संबंध को दर्शाता है। आप अक्सर दी गई मानों से k खोजते हैं, फिर अज्ञात की गणना करने के लिए इसका उपयोग करते हैं। यह बहु-चरणीय समस्याओं में विशेष रूप से उपयोगी है।

क्या गति-दूरी-समय की समस्याएं हमेशा व्युत्क्रम अनुपात होती हैं?+

नहीं। यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या स्थिर रखा गया है। अगर दूरी स्थिर है, तो गति और समय व्युत्क्रम अनुपात में हैं (तेज गति, कम समय)। अगर गति स्थिर है, तो दूरी और समय सीधे अनुपात में हैं (अधिक दूरी, अधिक समय)। हमेशा पहले स्थिर राशि को पहचानें।

CBSETUTOR.ai अनुपात की समस्याओं में मेरी कैसे मदद कर सकता है?+

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