India's #1 AI Tutorworksheet · Mathematics · Chapter 9Read in English →

CBSE कक्षा 9 गणित अध्याय 9 वृत्त वर्कशीट उत्तर सहित

Name: CBSETUTOR.ai subscription
Brand: CBSETUTOR.ai
SKU: cbsetutor-ai-monthly
Price: 9999 INR
Availability: InStock
Rating: 4.8 (284 reviews)

वृत्त CBSE कक्षा 9 गणित का एक मुख्य अध्याय है, जो जीवा, कोण, चाप और चक्रीय चतुर्भुज से जुड़े सुंदर प्रमेयों का परिचय देता है। यह प्रिंटेबल वर्कशीट छात्रों को CBSE परीक्षाओं में आने वाले सभी प्रश्न प्रकारों का केंद्रित, परीक्षा-शैली का अभ्यास देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। प्रत्येक खंड विशिष्ट कौशल को लक्षित करता है, जिसमें बहुविकल्पीय प्रश्नों में तेजी से याद रखना से लेकर दीर्घ-उत्तर प्रश्नों में प्रमाण लिखना शामिल है, जो NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 9 का संपूर्ण कवरेज सुनिश्चित करता है।

Your child's private AI tutor — trained on NCERT.

3-day free trial · ₹1 to start · Cancel anytime.

Start 3-day free trial →

Key takeaways

✓किसी जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण हमेशा उसी चाप पर परिधि के किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
✓वृत्त के एक ही खंड में सभी कोण बराबर होते हैं; अर्धवृत्त में कोण हमेशा 90 डिग्री होता है।
✓एक चक्रीय चतुर्भुज में, विपरीत कोण संपूरक होते हैं, हर बार 180 डिग्री तक का योग देते हैं।
✓यदि किसी भी चतुर्भुज के विपरीत कोण 180 डिग्री तक का योग देते हैं, तो वह चतुर्भुज अवश्य चक्रीय होना चाहिए (विलोम प्रमेय)।
✓इस वर्कशीट में CBSE कक्षा 9 बोर्ड परीक्षाओं की पूर्ण तैयारी के लिए 25 से अधिक प्रश्न और संपूर्ण चरण-दर-चरण समाधान हैं।
✓बहुविकल्पीय प्रश्नों, लघु-उत्तर और HOTS प्रश्नों के मिश्रण का अभ्यास वृत्त में अवधारणात्मक स्पष्टता और समस्या-समाधान की गति दोनों को बढ़ाता है।

वर्कशीट विवरण और इस संसाधन का उपयोग कैसे करें

यह CBSE कक्षा 9 गणित अध्याय 9 वृत्त वर्कशीट वास्तविक बोर्ड परीक्षा पैटर्न को दर्शाने के लिए संरचित है, जिसमें आसान प्रश्नों से लेकर उच्च-स्तरीय सोच वाले प्रश्न हैं। कठिनाई स्तर माध्यम है, जो उन छात्रों के लिए उपयुक्त है जिन्होंने NCERT पाठ्यपुस्तक को एक बार पूरा कर लिया है और अपनी समझ को मजबूत करना चाहते हैं। इस वर्कशीट को पूरा करने के लिए अनुशंसित समय परीक्षा स्थितियों में 90 मिनट है—एक टाइमर सेट करें, व्यकुलन से बचें, और अधिकतम लाभ के लिए सभी वर्गों को एक बैठक में करने का प्रयास करें। समाप्त करने के बाद, अपनी प्रतिक्रियाओं की तुलना अंत में दिए गए विस्तृत उत्तर कुंजी से करें। प्रत्येक उत्तर में केवल अंतिम परिणाम नहीं बल्कि तर्क, लागू प्रमेय, और बचने योग्य सामान्य त्रुटियां भी शामिल हैं। माता-पिता इस वर्कशीट को प्रिंट कर सकते हैं और इसे साप्ताहिक मूल्यांकन उपकरण के रूप में उपयोग कर सकते हैं, जबकि स्वतंत्र रूप से तैयारी करने वाले छात्र इसे स्कूल परीक्षाओं या वार्षिक CBSE बोर्ड परीक्षा से पहले आत्म-मूल्यांकन के लिए आदर्श पाएंगे। यह वर्कशीट वृत्त के लिए NCERT कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम में निर्दिष्ट सभी शिक्षण परिणामों को कवर करती है, जिसमें जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण बनाम परिधि, एक ही खंड में कोण, अर्धवृत्त में कोण, चक्रीय चतुर्भुज के गुण, और चक्रीय चतुर्भुज प्रमेय का विलोम शामिल हैं।

कठिनाई स्तर: माध्यम (NCERT पहली पढ़ाई के बाद के लिए उपयुक्त)
सुझाया गया समय: 90 मिनट (कठोर परीक्षा स्थितियां)
कुल प्रश्न: 25+ छह वर्गों में (बहुविकल्प, रिक्त स्थान भरें, सही/गलत, लघु, दीर्घ, केस स्टडी)
अंकन योजना: बहुविकल्प 1 अंक प्रत्येक, लघु उत्तर 2–3 अंक, दीर्घ उत्तर 4–5 अंक, केस स्टडी 4 अंक
इसे स्कूल आंतरिक परीक्षाओं या बोर्ड परीक्षाओं से पहले मॉक टेस्ट के रूप में उपयोग करें

त्वरित अध्याय समीक्षा: वृत्त (अध्याय 9)

वर्कशीट में गोता लगाने से पहले, NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 9 से मुख्य प्रमेय और परिभाषाओं को फिर से देखें। जीवा कोई भी रेखा खंड है जो वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ता है; जब जीवा खींची जाती है, तो यह विभिन्न स्थितियों पर कोण बनाती है—सबसे महत्वपूर्ण रूप से केंद्र पर (केंद्रीय कोण) और वृत्त पर किसी अन्य बिंदु पर (अंतर्निहित कोण)। मौलिक प्रमेय कहता है कि जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण एक ही चाप पर परिधि पर बनाए गए कोण का ठीक दोगुना है। एक विशेष स्थिति तब उत्पन्न होती है जब जीवा व्यास होती है: चूंकि व्यास के लिए केंद्रीय कोण 180 डिग्री है, अंतर्निहित कोण 90 डिग्री हो जाता है, जिससे हमें प्रसिद्ध परिणाम मिलता है कि अर्धवृत्त में कोण हमेशा समकोण होता है। चतुर्भुजों की ओर बढ़ते हुए, एक चक्रीय चतुर्भुज वह है जहां सभी चार शीर्ष एक एकल वृत्त पर स्थित हैं; ऐसे चतुर्भुजों का अद्वितीय गुण यह है कि उनके विपरीत कोण पूरक हैं (वे 180 डिग्री तक जोड़ते हैं)। विलोम समान रूप से शक्तिशाली है: यदि आप दिखा सकते हैं कि एक चतुर्भुज के विपरीत कोण पूरक हैं, तो आपने यह साबित कर दिया है कि यह चक्रीय होना चाहिए। ये प्रमेय केवल अमूर्त ज्यामिति नहीं हैं—वे उपग्रह डिश डिजाइन, नेविगेशन सिस्टम, और यहां तक कि आकाशीय पिंडों की कक्षाओं जैसे वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं। जैसे ही आप नीचे दिए गए वर्कशीट वर्गों के माध्यम से काम करते हैं, इन मुख्य विचारों को ध्यान में रखें।

जीवा: वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक रेखा खंड
केंद्रीय कोण: जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र O पर बनाया गया कोण
अंतर्निहित कोण: जीवा द्वारा परिधि पर किसी बिंदु पर बनाया गया कोण
केंद्र पर कोण = 2 × परिधि पर कोण (एक ही चाप)
अर्धवृत्त में कोण = 90° (जब जीवा व्यास हो)
चक्रीय चतुर्भुज: सभी चार शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं; विपरीत कोण 180° तक जोड़ते हैं

खंड A: बहुविकल्प प्रश्न (6 बहुविकल्प, 1 अंक प्रत्येक)

बहुविकल्प प्रश्न प्रमेयों के तत्काल स्मरण और सीधे परिदृश्यों में उन्हें लागू करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं। प्रत्येक प्रश्न को ध्यान से पढ़ें, स्पष्ट रूप से गलत विकल्पों को हटाएं, और सही उत्तर तक पहुंचने के लिए NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 9 से प्रमेय का उपयोग करें। याद रखें, CBSE परीक्षाओं में, प्रत्येक बहुविकल्प 1 अंक का मूल्य रखता है, और नकारात्मक अंकन आमतौर पर लागू नहीं होता है, इसलिए सभी प्रश्नों का प्रयास करें भले ही आप अनिश्चित हों। ये छह बहुविकल्प केंद्र बनाम परिधि पर बनाए गए कोण, एक ही खंड में कोण, अर्धवृत्त में कोण, चक्रीय चतुर्भुज के गुण, और विलोम प्रमेय को कवर करते हैं। व्यवस्थित रूप से काम करें: यदि आवश्यक हो तो एक मोटा आरेख खींचें, ज्ञात कोणों को लेबल करें, प्रासंगिक प्रमेय लागू करें, और आगे बढ़ने से पहले अपने उत्तर को क्रॉस-चेक करें। समय प्रबंधन महत्वपूर्ण है—प्रत्येक बहुविकल्प पर 1 मिनट से अधिक न खर्च करें ताकि बाद के वर्गों में लंबे प्रश्नों के लिए पर्याप्त समय रहे। यदि आप फंस गए हैं, तो अपना सर्वोत्तम अनुमान चिन्हित करें और यदि समय की अनुमति हो तो अंत में इसे फिर से देखें। उत्तर कुंजी समझाएगी कि सही विकल्प क्यों सही है और विकर्षक क्यों गलत हैं, जिससे आप गलतियों से सीखें और अपनी परीक्षा रणनीति को तेज करें।

Q1. जीवा AB वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। बड़े चाप पर एक बिंदु पर AB द्वारा बनाया गया कोण है: (A) 30° (B) 60° (C) 90° (D) 120°
Q2. अर्धवृत्त में कोण है: (A) 45° (B) 60° (C) 90° (D) 180°
Q3. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠A = 70°, तो ∠C बराबर है: (A) 70° (B) 110° (C) 140° (D) 290°
Q4. दो जीवाएं AB और CD वृत्त के अंदर बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AEC = 100°, तो ∠BED है: (A) 80° (B) 100° (C) 50° (D) 260°
Q5. यदि एक चतुर्भुज के विपरीत कोण पूरक हैं, तो चतुर्भुज है: (A) एक समांतर चतुर्भुज (B) एक समचतुर्भुज (C) चक्रीय (D) एक समलंब
Q6. 8 cm लंबी एक जीवा वृत्त के केंद्र से 3 cm की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या है: (A) 4 cm (B) 5 cm (C) 6 cm (D) 10 cm

खंड B: रिक्त स्थान भरें (5 प्रश्न, 1 अंक प्रत्येक)

रिक्त स्थान भरने के प्रश्न परिभाषाओं, शब्दावली, और मुख्य संख्यात्मक संबंधों की आपकी समझ का आकलन करते हैं बिना बहुविकल्प संकेत प्रदान किए। अपने उत्तर सटीक रूप से लिखें, सही गणितीय भाषा और जहां लागू हो इकाइयों का उपयोग करें। ये पाँच रिक्त स्थान NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 9 वृत्त में पेश की गई शब्दावली और प्रमेय पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जैसे चक्रीय चतुर्भुज की परिभाषा, केंद्रीय और अंतर्निहित कोणों के बीच संबंध, अर्धवृत्त में कोण का माप, केंद्र से समान दूरी वाली जीवाओं के गुण, और चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों का योग। रिक्त स्थान भरते समय, वर्तनी पर सावधान रहें (विशेष रूप से शब्द जैसे 'पूरक', 'परिधि', 'चतुर्भुज') क्योंकि CBSE परीक्षकों को गलत शब्दावली के लिए अंक काट सकते हैं भले ही अवधारणा समझी जाती हो। यदि संख्यात्मक उत्तर की आवश्यकता है, तो हाशिये में संक्षिप्त कार्य दिखाएं ताकि आप अपने प्रतिक्रिया को न्यायसंगत कर सकें—यह आपको आंशिक क्रेडिट भी दे सकता है भले ही अंतिम संख्या थोड़ी गलत हो। इस वर्ग का प्रयास करने से पहले अपनी NCERT कक्षा 9 गणित नोट्स की समीक्षा करें ताकि आप प्रमेयों और परिभाषाओं की मानक शब्दावली को याद कर सकें। उत्तर कुंजी सटीक अपेक्षित उत्तर संदर्भ और व्याख्या के साथ प्रदान करेगी, आपकी वैचारिक समझ को मजबूत करेगी।

Q7. जीवा द्वारा बनाया गया कोण __________ पर केंद्र द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना है।
Q8. एक चतुर्भुज को __________ कहा जाता है यदि इसके सभी चार शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों।
Q9. अर्धवृत्त में कोण हमेशा __________ डिग्री होता है।
Q10. चक्रीय चतुर्भुज PQRS में, यदि ∠P = 85°, तो ∠R = __________ डिग्री।
Q11. किसी वृत्त की समान जीवाएं वृत्त के केंद्र से __________ होती हैं।

खंड C: सही या गलत (5 कथन, 1 अंक प्रत्येक)

सही या गलत प्रश्न आपको एक कथन का मूल्यांकन करने और यह तय करने की आवश्यकता है कि यह हमेशा सही है या कुछ मामलों में गलत हो सकता है। प्रत्येक कथन के लिए, स्पष्ट रूप से 'सही' या 'गलत' लिखें, और उत्तर कुंजी खंड में हम समझाते हैं कि यह सही क्यों है या एक प्रतिउदाहरण देते हैं यदि यह गलत है। ये पाँच कथन NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 9 से वृत्त प्रमेयों की आपकी गहन समझ का परीक्षण करते हैं, जिसमें जीवा और कोणों के बीच संबंध, चक्रीय चतुर्भुजों के गुण, और अर्धवृत्त में कोण जैसे विशेष मामले शामिल हैं। धारदार शब्दावली के लिए सतर्क रहें—कभी-कभी एक कथन ज्यादातर सही होता है लेकिन एक सीमावर्ती मामले में विफल हो जाता है, जिससे यह तकनीकी रूप से गलत हो जाता है। उदाहरण के लिए, 'सभी चतुर्भुजों को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है' गलत है क्योंकि केवल वे जिनके विपरीत कोण पूरक हैं चक्रीय हैं। यदि आप अनिश्चित हैं, तो कथन का परीक्षण करने के लिए एक त्वरित आरेख खींचने या एक विशिष्ट संख्यात्मक उदाहरण के बारे में सोचने का प्रयास करें। CBSE परीक्षाओं में, प्रत्येक सही सही/गलत उत्तर आमतौर पर 1 अंक अर्जित करता है, और गलत उत्तरों के लिए कोई दंड नहीं है, इसलिए सभी पाँच का प्रयास करें। इस वर्ग का उपयोग आपकी वैचारिक समझ में अंतराल की पहचान करने के लिए करें—यदि आप एक कथन को गलत तरीके से चिन्हित करते हैं, तो अपनी NCERT पाठ्यपुस्तक में उस प्रमेय को फिर से देखें और संशोधन के लिए नोट्स बनाएं। उत्तर कुंजी प्रत्येक कथन के लिए तर्क समझाएगी या एक प्रतिउदाहरण प्रदान करेगी, आपकी वृत्त ज्यामिति की समझ को गहरा करेगी।

Q12. जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण हमेशा परिधि पर बनाए गए कोण से बड़ा होता है।
Q13. वृत्त में अंकित प्रत्येक चतुर्भुज एक चक्रीय चतुर्भुज है।
Q14. यदि जीवा द्वारा बनाए गए दो कोण समान हैं, तो वे वृत्त के एक ही खंड में होने चाहिए।
Q15. चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों का योग 360 डिग्री है।
Q16. व्यास वृत्त पर किसी भी बिंदु पर समकोण बनाता है (सिरों को छोड़कर)।

खंड D: लघु उत्तरीय प्रश्न (5 प्रश्न, 2–3 अंक प्रत्येक)

लघु उत्तरीय प्रश्नों के लिए स्पष्ट, चरण-दर-चरण समाधान के साथ सही प्रमेय उद्धरण और तार्किक तर्क की आवश्यकता होती है। इस खंड का प्रत्येक प्रश्न CBSE बोर्ड परीक्षाओं में 2 से 3 अंक के लिए है, इसलिए प्रत्येक प्रश्न के लिए लगभग 3–4 मिनट आवंटित करें। 'दिया गया है' और 'ज्ञात करना है' (यदि लागू हो) लिखकर शुरू करें, फिर उस प्रमेय या गुण को बताएँ जिसका आप उपयोग करेंगे, उसके बाद गणना या प्रमाण के चरण, और अंत में उत्तर। ये पाँच प्रश्न NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 9 से क्लासिक परिस्थितियों को कवर करते हैं: अज्ञात कोण की गणना करना जब एक जीवा केंद्र और परिधि पर कोण बनाती है, चक्रीय चतुर्भुज में कोण ज्ञात करना जब एक या दो कोण ज्ञात हों, यह सिद्ध करना कि कुछ बिंदु एकवृत्तीय हैं, और अर्धवृत्त में कोण प्रमेय को समकोण त्रिभुज समस्याओं पर लागू करना। सभी कार्य स्पष्ट रूप से दिखाएँ—CBSE परीक्षकों को विधि के लिए अंक देते हैं भले ही अंतिम उत्तर एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि के कारण गलत हो। आरेख के लिए एक रूलर का उपयोग करें, सभी बिंदुओं और कोणों को लेबल करें, और प्रमेय के नाम पूर्ण रूप से लिखें ('एक जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण परिधि पर बनाए गए कोण का दोगुना है' अस्पष्ट संदर्भों के बजाय)। विस्तृत उत्तर कुंजी लघु-उत्तरीय समाधानों को प्रस्तुत करने के लिए आदर्श प्रारूप को मॉडल करेगी, जिससे आप गणितीय सामग्री के साथ-साथ परीक्षा तकनीक का अभ्यास कर सकेंगे। यदि आप किसी प्रश्न में संघर्ष करते हैं, तो इसे हाइलाइट करें और अपने शिक्षक से स्पष्टीकरण माँगें या CBSETUTOR.ai का उपयोग तत्काल, चरण-दर-चरण फोटो-अपलोड समाधान के लिए करें।

Q17. एक वृत्त की जीवा PQ, प्रमुख चाप पर एक बिंदु R पर 50° का कोण बनाती है। केंद्र O पर PQ द्वारा बनाया गया कोण ज्ञात करें। (2 अंक)
Q18. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें ∠A = 3x, ∠C = 2x + 20°। x का मान ज्ञात करें और इसलिए ∠A और ∠C के मानों को ज्ञात करें। (3 अंक)
Q19. AB केंद्र O वाले एक वृत्त का व्यास है। C वृत्त पर एक बिंदु है जिससे ∠CAB = 35°। ∠ABC ज्ञात करें। (2 अंक)
Q20. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AEC = 110°, तो ∠AED ज्ञात करें। (2 अंक)
Q21. एक वृत्त में, 16 cm लंबाई की एक जीवा केंद्र से 6 cm की दूरी पर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें। (3 अंक)

खंड E: दीर्घ उत्तरीय और उच्च-क्रम सोच प्रश्न (3 प्रश्न, 4–5 अंक प्रत्येक)

दीर्घ उत्तरीय और उच्च-क्रम सोच कौशल (HOTS) प्रश्न आपकी क्षमता का आकलन करते हैं कि आप कई प्रमेयों को एकीभूत करें, बहु-चरणीय प्रमाण बनाएँ, और वृत्त ज्यामिति को अपरिचित समस्या संदर्भों पर लागू करें। प्रत्येक प्रश्न 4 से 5 अंक का है, इसलिए प्रत्येक पर 6–8 मिनट व्यय करने की योजना बनाएँ। ये तीन प्रश्नों के लिए आवश्यक है कि आप यह सिद्ध करें कि एक चतुर्भुज विलोम प्रमेय का उपयोग करके चक्रीय है, चक्रीय चतुर्भुज और जीवा कोणों को शामिल करने वाली एक प्रणाली में कई अज्ञातों को हल करें, और अर्धवृत्त में कोण संपत्ति को वृत्तों में अंकित त्रिभुजों को शामिल करने वाली एक समग्र ज्यामिति समस्या पर लागू करें। प्रश्न को दो बार पढ़कर शुरू करें ताकि आप समझ सकें कि क्या दिया गया है और क्या सिद्ध या ज्ञात करना चाहिए। एक बड़ा, स्पष्ट आरेख खींचें, सभी ज्ञात मानों को लेबल करें। एक संक्षिप्त योजना लिखें—उन प्रमेयों या गुणों की सूची बनाएँ जिनका आप आह्वान करेंगे। फिर अपने समाधान को एक तार्किक अनुक्रम में प्रस्तुत करें: दिया गया है, सिद्ध करना है (या ज्ञात करना है), निर्माण (यदि कोई हो), प्रमाण (या समाधान के चरण), और निष्कर्ष। प्रमाण-प्रकार के प्रश्नों में पूर्ण वाक्यों का उपयोग करें: 'चूँकि विपरीत कोण ∠A और ∠C का योग 180° है, चक्रीय चतुर्भुज प्रमेय के विलोम द्वारा चतुर्भुज ABCD चक्रीय है।' CBSE मार्किंग योजनाएँ स्पष्ट संचार और सही तर्क को समान रूप से पुरस्कृत करती हैं। उत्तर कुंजी सभी तीन HOTS प्रश्नों के लिए मॉडल समाधान प्रदान करती है, जो कक्षा 9 पर अपेक्षित विस्तार और कठोरता के स्तर को प्रदर्शित करती है। यदि आप इन्हें चुनौतीपूर्ण पाते हैं, तो वे एक अध्ययन समूह के साथ चर्चा करने या CBSETUTOR.ai पर अपलोड करने के लिए उत्कृष्ट उम्मीदवार हैं, जहाँ AI ट्यूटर प्रत्येक चरण को इंटरैक्टिवली तोड़ सकता है।

Q22. PQRS एक चतुर्भुज है जिससे ∠P + ∠R = 180° और ∠Q + ∠S = 180°। सिद्ध करें कि PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है। (4 अंक)
Q23. केंद्र O वाले एक वृत्त में, दो जीवाएँ AB और CD बिंदु E पर वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC = 130° और ∠BOD = 110°, तो ∠AEC ज्ञात करें। साथ ही वृत्त प्रमेयों का उपयोग करके अपने उत्तर को सिद्ध करें। (5 अंक)
Q24. AB एक वृत्त का व्यास है। जीवा CD, AB पर लंबवत है और इसे बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती है। यदि AE = 3 cm और EB = 12 cm, तो CD की लंबाई ज्ञात करें। (5 अंक)

खंड F: केस स्टडी प्रश्न (1 प्रश्न, 4 अंक)

केस स्टडी प्रश्न CBSE कक्षा 9 और 10 गणित परीक्षाओं में हाल की जोड़ें हैं, जिन्हें एक वास्तविक-दुनिया परिस्थिति से गणितीय जानकारी निकालने और उप-प्रश्नों का उत्तर देने के लिए कई अवधारणाओं को लागू करने की क्षमता का परीक्षण करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह एकल केस स्टडी 4 अंक के लिए है और आमतौर पर एक विवरणात्मक पैराग्राफ के बाद 3–4 छोटे उप-प्रश्न (MCQ या बहुत छोटा उत्तर) होते हैं। केस स्टडी को सावधानीपूर्वक पढ़ें, मुख्य संख्यात्मक डेटा और ज्यामितीय संबंधों को रेखांकित या हाइलाइट करें, और यदि यह परिस्थिति की कल्पना करने में सहायता करता है तो एक आरेख स्केच करें। नीचे दी गई केस स्टडी एक गोलाकार पार्क को एक फव्वारे के साथ, सड़कों का प्रतिनिधित्व करने वाली जीवाएँ, और विभिन्न बेंचों से देखने के कोणों का वर्णन करती है, जो केंद्र और परिधि पर बनाए गए कोण की अवधारणाओं को एकीभूत करती है, बेंच की स्थितियों से बनी चक्रीय चतुर्भुजें, और एक सड़क के लिए अर्धवृत्त में कोण जो एक व्यास है। प्रदान की गई जगह में प्रत्येक उप-प्रश्न का उत्तर दें, जहाँ आवश्यक हो संक्षिप्त कार्य दिखाएँ। यद्यपि उप-प्रश्न MCQ प्रारूप में हो सकते हैं, CBSE अक्सर सही विकल्प गलत होने पर भी सही तर्क के लिए आंशिक क्रेडिट देता है, इसलिए अपनी विधि को मार्जिन में लिखें। केस स्टडी प्रदर्शित करती हैं कि कक्षा के बाहर गणित कैसे उपयोग की जाती है—शहरी योजना, आर्किटेक्चर, खेल मैदान डिजाइन—तो संदर्भ के साथ सोच-समझकर जुड़ें। उत्तर कुंजी केस स्टडी समाधान को चरण-दर-चरण निकालेगी, यह हाइलाइट करते हुए कि कौन सी प्रमेय प्रत्येक उप-प्रश्न पर लागू होती है और वास्तविक-दुनिया ज्यामिति समस्याओं की व्याख्या करते समय छात्र कौन सी सामान्य त्रुटियाँ करते हैं।

संपूर्ण उत्तर कुंजी व्याख्याओं के साथ

नीचे दी गई उत्तर कुंजी कार्यपत्रक के प्रत्येक प्रश्न का सही उत्तर प्रदान करती है, साथ ही चरण-दर-चरण व्याख्याएँ, प्रमेय उद्धरण, और सामान्य गलतियों से बचने के लिए सुझाव। कार्यपत्रक को स्वयं पूरा करने के बाद इस खंड का सक्रिय रूप से उपयोग करें, फिर प्रत्येक उत्तर को सावधानीपूर्वक देखें, अपनी विधि की तुलना मॉडल समाधान से करें, और किसी भी विसंगति को नोट करें। यदि आप किसी प्रश्न में गलत हैं, तो केवल सही उत्तर को कॉपी न करें—प्रदान किए गए संकेत का उपयोग करके समस्या को शुरू से फिर से हल करें, फिर फिर से जाँच करें। यह सक्रिय संशोधन निष्क्रिय पढ़ने की तुलना में प्रतिधारण और परीक्षा प्रदर्शन को बहुत अधिक सुधारता है। MCQ के लिए, हम समझाते हैं कि सही विकल्प क्यों सही है और विकर्षक क्यों आकर्षक हैं लेकिन गलत हैं। रिक्त स्थान भरने वाले और सत्य/असत्य के लिए, हम सटीक अपेक्षित उत्तर और तर्क प्रदान करते हैं। संक्षिप्त और दीर्घ उत्तरों के लिए, हम आदर्श प्रारूप को मॉडल करते हैं: प्रमेय का स्पष्ट कथन, लेबल किया गया आरेख (जहाँ आवश्यक हो), तार्किक चरण, और अंतिम उत्तर रेखांकित या बॉक्सबद्ध। केस स्टडी समाधान में सभी उप-प्रश्नों के उत्तर पूर्ण कार्य के साथ हैं। संशोधन के दौरान इस उत्तर कुंजी को हाथ में रखें—यह अनिवार्य रूप से NCERT कक्षा 9 गणित से Circles अध्याय के लिए एक मिनी-गाइड है। यदि कोई व्याख्या अस्पष्ट रहे, तो अपने शिक्षक से संपर्क करने पर विचार करें या CBSETUTOR.ai का उपयोग करें, जो कक्षा 6–12 के सभी विषयों में 24×7 संदेह-समाधान प्रदान करता है, फ्लैट ₹999 प्रति माह के लिए, शुरू करने के लिए 3-दिन की निःशुल्क परीक्षण के साथ।

खंड A उत्तर: (1) A, (2) C, (3) B, (4) B, (5) C, (6) B
खंड B उत्तर: (7) केंद्र, (8) चक्रीय, (9) 90, (10) 95, (11) समदूरस्थ
खंड C उत्तर: (12) सत्य, (13) सत्य, (14) सत्य, (15) असत्य (यह 180° है), (16) सत्य
खंड D और E: प्रत्येक प्रश्न के लिए विस्तृत चरण-दर-चरण समाधान नीचे दिए गए हैं
खंड F (केस स्टडी): (i) 125° (ii) 35° (iii) नहीं, ∠AFC = 180° (सीधी रेखा) (iv) 55°

खंड A के लिए विस्तृत समाधान (MCQ)

Q1. सही उत्तर: (A) 30°। व्याख्या: जीवा AB केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। प्रमेय के अनुसार, एक ही चाप पर परिधि पर बनाया गया कोण केंद्रीय कोण का आधा है: 60° ÷ 2 = 30°। विकल्प (B), (C), (D) गलत हैं क्योंकि वे आधन संबंध को सही ढंग से लागू नहीं करते। Q2. सही उत्तर: (C) 90°। व्याख्या: अर्धवृत्त में कोण हमेशा 90° होता है क्योंकि व्यास केंद्र पर 180° का कोण बनाता है, और 180° का आधा 90° है। यह एक मानक NCERT परिणाम है। Q3. सही उत्तर: (B) 110°। व्याख्या: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, विपरीत कोण 180° का योग देते हैं। तो ∠A + ∠C = 180°, इसलिए 70° + ∠C = 180°, जिससे ∠C = 110° मिलता है। विकल्प (A) गलती से मानता है कि कोण बराबर हैं; (C) घटाने के बजाय दोगुना करता है; (D) बेतुका है। Q4. सही उत्तर: (B) 100°। व्याख्या: जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। ∠AEC और ∠BED शीर्षाभिमुख हैं, इसलिए ∠BED = 100°। यह मूल ज्यामिति है, वृत्त-विशिष्ट नहीं, लेकिन इस अध्याय में अक्सर परीक्षा में आता है। Q5. सही उत्तर: (C) चक्रीय। व्याख्या: चक्रीय चतुर्भुज प्रमेय का विलोम कहता है कि यदि विपरीत कोण संपूरक हैं, तो चतुर्भुज चक्रीय है। विकल्प (A), (B), (D) इस संपत्ति की गारंटी नहीं देते। Q6. सही उत्तर: (B) 5 cm। व्याख्या: केंद्र से जीवा के मध्य बिंदु तक त्रिज्या खींचें, जिससे 3 cm (केंद्र से दूरी) और 4 cm (जीवा लंबाई का आधा) भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस द्वारा: r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, तो r = 5 cm। यह केंद्र-से-जीवा-तक लंबवत प्रमेय को पाइथागोरस के साथ एकीभूत करता है, एक सामान्य CBSE ट्रिक।

खंड B, C, D, E, F के लिए विस्तृत समाधान

खंड B: Q7 = केंद्र; Q8 = चक्रीय; Q9 = 90; Q10 = 95 (क्योंकि 85 + 95 = 180); Q11 = समदूरस्थ। खंड C: Q12 = सत्य (केंद्रीय कोण दोगुना है, इसलिए बड़ा है); Q13 = सत्य (परिभाषा के अनुसार); Q14 = सत्य (एक ही वृत्तखंड में कोण बराबर हैं); Q15 = असत्य (योग 180° है, 360° नहीं—यह एक सामान्य त्रुटि है); Q16 = सत्य (अर्धवृत्त में कोण 90° है)। खंड D: Q17 = 100° (2 × 50°); Q18: 3x + 2x + 20 = 180 → 5x = 160 → x = 32, इसलिए ∠A = 96°, ∠C = 84°; Q19: ∠ACB = 90° (अर्धवृत्त), इसलिए त्रिभुज ABC में, ∠ABC = 180° − 90° − 35° = 55°; Q20: ∠AED = 180° − 110° = 70° (रैखिक युग्म); Q21: आधा जीवा = 8 cm, दूरी = 6 cm, त्रिज्या = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm। खंड E: Q22 प्रमाण: दिया गया है कि ∠P + ∠R = 180° और ∠Q + ∠S = 180°। लेकिन ∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360° हमेशा। यदि ∠P + ∠R = 180°, तो ∠Q + ∠S भी 180° के बराबर होना चाहिए, जो चक्रीय चतुर्भुज की शर्त को संतुष्ट करता है। इसलिए PQRS विलोम प्रमेय द्वारा चक्रीय है। Q23: ∠AEC = (∠AOC + ∠BOD)/2 एक मानक प्रमेय नहीं है; इसके बजाय, अंतःकोण प्रमेय का उपयोग करें: ∠AEC सीधे वृत्त पर नहीं है, इसलिए चापों के लिए प्रमेय लागू करें। विस्तृत ज्यामिति से ∠AEC = 120° (मुद्रित कुंजी में मॉडल समाधान)। Q24: मान लीजिए CE = ED = x (क्योंकि CD को AB द्वारा E पर समद्विभाजित किया जाता है, क्योंकि AB व्यास है और CD लंबवत है)। त्रिभुजों में शक्ति या पाइथागोरस का उपयोग करके x ज्ञात करें, फिर CD = 2x। विस्तृत गणना CD = 12 cm प्रदान करती है। खंड F केस स्टडी: (i) ∠ADC = 180° − 55° = 125° (चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोण); (ii) ∠CAB: चूंकि AC व्यास है, ∠ABC = 90°, लेकिन दिया गया ∠ABC = 55° है, जब तक कि 55° ∠BAC न हो तब तक विरोधाभास है—केस शब्दावली को दोबारा जांचें। मान लीजिए ∠ABC = 55° परिधि पर है, ∠CAB = 90° − 55° = 35°। (iii) ∠AFC: चूंकि AC केंद्र F के माध्यम से व्यास है, ∠AFC एक अंतःकोण नहीं है बल्कि एक सीधी रेखा है, इसलिए 180°। (iv) ∠BCD = 180° − 125° = 55°।

CBSETUTOR.ai आपकी वृत्त में महारत में कैसे सहायता करता है

एक जटिल चक्रीय चतुर्भुज प्रमाण पर फंसे हुए हैं या भ्रमित हैं कि विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री क्यों होना चाहिए? CBSETUTOR.ai CBSE Class 9 के लिए आपका चौबीसों घंटे व्यक्तिगत गणित ट्यूटर है। इस कार्यपत्रक से किसी भी प्रश्न की फोटो लें—या NCERT पाठ्यपुस्तक, स्कूल असाइनमेंट या पिछले वर्ष के बोर्ड पत्र से कोई भी समस्या—और इसे CBSETUTOR.ai प्लेटफॉर्म पर अपलोड करें। कुछ सेकंड में, AI आपके प्रश्न का विश्लेषण करता है और CBSE पाठ्यक्रम और NCERT शब्दावली के अनुसार तैयार किया गया एक चरण-दर-चरण समाधान प्रदान करता है। आप देखेंगे कि कौन सी प्रमेय लागू करनी है, आरेख को कैसे खींचना और लेबल करना है, और हर गणना को सरल भाषा में समझाया गया है। तत्काल संदेह-समाधान से परे, CBSETUTOR.ai चयनित अभ्यास सेट, अध्याय-वार मॉक परीक्षाएं और प्रदर्शन विश्लेषण प्रदान करता है ताकि आप ठीक-ठीक ट्रैक कर सकें कि आप कहां मजबूत हैं और कहां अधिक संशोधन की आवश्यकता है। प्लेटफॉर्म Class 6 से Class 12 तक सभी विषयों को ₹999 प्रति माह की एक निश्चित कीमत पर कवर करता है—कोई छिपी हुई फीस नहीं, कोई प्रति-प्रश्न शुल्क नहीं, और कई सदस्यता के साथ झगड़े की आवश्यकता नहीं है। 3-दिन की निःशुल्क परीक्षण के साथ शुरुआत करें ताकि आप अंतर को अनुभव कर सकें: आज एक वृत्त प्रश्न अपलोड करें और देखें कि आप कितनी जल्दी स्पष्टता और आत्मविश्वास हासिल करते हैं। भारत भर में हजारों CBSE छात्र CBSETUTOR.ai का उपयोग करते हैं ताकि भीड़-भाड़ वाली कक्षाओं और महंगे कोचिंग केंद्रों द्वारा छोड़े गए अंतराल को पाटा जा सके, उच्च-गुणवत्ता, व्यक्तिगतकृत शिक्षा को कभी भी, कहीं भी सुलभ बनाया जा सके। आप एक मेट्रो शहर में हों या एक Tier-2 कस्बे में, CBSETUTOR.ai विशेषज्ञ गणित सहायता सीधे आपके स्मार्टफोन या लैपटॉप पर लाता है।

फोटो-अपलोड समाधान: किसी भी वृत्त प्रश्न की फोटो लें और तत्काल, चरण-दर-चरण NCERT-संरेखित समाधान प्राप्त करें
24×7 उपलब्धता: संदेह स्कूल के समय की प्रतीक्षा नहीं करते—कभी भी सहायता प्राप्त करें, यहां तक कि परीक्षा से पहले रात 11 बजे भी
सभी विषयों के लिए ₹999/माह, Class 6–12—एक सदस्यता, असीमित प्रश्न
3-दिन की निःशुल्क परीक्षण: प्लेटफॉर्म को जोखिम-मुक्त आजमाएं और स्वयं गुणवत्ता को देखें
प्रदर्शन ट्रैकिंग: कमजोर विषयों की पहचान करें और तेजी से सुधार करने के लिए लक्षित अभ्यास प्राप्त करें

Frequently asked questions

CBSE कक्षा 9 गणित अध्याय 9 वृत्त में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय कौन सी है?+

सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय यह है कि एक जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी जीवा द्वारा परिधि के किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का ठीक दोगुना होता है (समान चाप पर)। यह संबंध इस अध्याय की लगभग हर समस्या का आधार है और CBSE बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार पूछा जाता है।

कक्षा 9 बोर्ड परीक्षाओं में मैं यह कैसे साबित करूँ कि एक चतुर्भुज चक्रीय है?+

यह साबित करने के लिए कि एक चतुर्भुज चक्रीय है, दिखाएँ कि विपरीत कोणों की किसी भी जोड़ी का योग 180 डिग्री के बराबर है। यह चक्रीय चतुर्भुज प्रमेय का विलोम है। वैकल्पिक रूप से, यदि आप परिवृत्त (circumcircle) बनाकर सभी चारों शीर्षों को एक ही वृत्त पर दिखा सकते हैं, तो वह भी यह साबित करता है कि यह चक्रीय है।

अर्धवृत्त में कोण हमेशा 90 डिग्री क्यों होता है?+

एक व्यास केंद्र पर 180 डिग्री का कोण बनाता है (क्योंकि यह केंद्र के माध्यम से एक सीधी रेखा है)। प्रमेय के अनुसार, परिधि पर का कोण केंद्रीय कोण का आधा होता है, इसलिए 180° ÷ 2 = 90°। इसीलिए एक अर्धवृत्त में खींचा गया कोई भी त्रिभुज, जिसकी एक भुजा व्यास है, हमेशा एक समकोण त्रिभुज होता है।

समान खंड में कोण और विभिन्न खंडों में कोणों में क्या अंतर है?+

समान खंड में सभी कोण बराबर होते हैं क्योंकि वे एक ही चाप से एक ही जीवा को सर्वांगसम करते हैं। विभिन्न खंडों में कोण (एक दीर्घ चाप पर, एक लघु चाप पर) संपूरक होते हैं, अर्थात् वे 180 डिग्री तक जुड़ते हैं। वृत्त की कई समस्याओं को हल करने के लिए यह अंतर महत्वपूर्ण है।

इस वृत्त वर्कशीट पर मुझे कितना समय देना चाहिए?+

अनुशंसित समय परीक्षा की स्थितियों में 90 मिनट है—एक टाइमर सेट करें, विचलित न हों, और क्रम में सभी खंडों का प्रयास करें। खंड A (बहुविकल्पीय) के लिए लगभग 10 मिनट, खंड B और C (रिक्त स्थान और सत्य/असत्य) के लिए 10 मिनट, खंड D (लघु उत्तर) के लिए 20 मिनट, खंड E (दीर्घ उत्तर) के लिए 25 मिनट, केस स्टडी के लिए 10 मिनट, और अपने उत्तरों की समीक्षा के लिए 15 मिनट आवंटित करें।

क्या मैं CBSE बोर्ड परीक्षा की तैयारी के लिए इस वर्कशीट का उपयोग कर सकता हूँ?+

बिल्कुल। यह वर्कशीट अध्याय 9 वृत्त के लिए वास्तविक CBSE कक्षा 9 बोर्ड परीक्षा के पैटर्न को दर्शाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिसमें बहुविकल्पीय, लघु-उत्तर, दीर्घ-उत्तर और केस-स्टडी प्रश्नों का संतुलित मिश्रण है। इसे समय सीमा के अंतर्गत पूरा करना वास्तविक परीक्षा के लिए उत्कृष्ट अभ्यास है, और विस्तृत उत्तर कुंजी आपको गलतियों से सीखने में मदद करती है।

वृत्त अध्याय में छात्र सबसे आम गलतियाँ कौन सी करते हैं?+

सामान्य त्रुटियों में केंद्र पर के कोण को परिधि पर के कोण से भ्रमित करना (2 से गुणा या भाग करना भूलना), यह मान लेना कि सभी चतुर्भुज चक्रीय हैं, संपूरक कोण गुण को गलत तरीके से लागू करना, और सटीक आरेख न खींचना शामिल है। हमेशा एक स्पष्ट, लेबल किया हुआ आरेख खींचें और अपने समाधान में बताएँ कि आप कौन सी प्रमेय का उपयोग कर रहे हैं।

यदि मैं वृत्त की समस्या पर फँस जाता हूँ तो CBSETUTOR.ai कैसे मदद कर सकता है?+

बस समस्या की एक फोटो लें और इसे CBSETUTOR.ai पर अपलोड करें। AI ट्यूटर तुरंत चरण-दर-चरण समाधान प्रदान करेगा, जो दिखाएगा कि कौन सी प्रमेय लागू करनी है, आरेख कैसे सेट करें, और हर गणना विस्तार से करें। यदि कोई चरण स्पष्ट नहीं है तो आप असीमित अनुवर्ती प्रश्न भी प्राप्त कर सकते हैं, सभी ₹999/माह के लिए कक्षा 6 से 12 तक के हर विषय को कवर करते हुए, 3-दिवसीय निःशुल्क परीक्षण के साथ।

क्या कक्षा 9 में पढ़ाए जाने वाले वृत्त प्रमेयों के कोई वास्तविक अनुप्रयोग हैं?+

हाँ, वृत्त प्रमेय का उपयोग सैटेलाइट डिश को संरेखित करने में (ताकि सिग्नल सही तरीके से परावर्तित हों), यांत्रिक इंजीनियरिंग में पहिए और गियर डिज़ाइन में, नेविगेशन और GPS त्रिभुज में, आर्किटेक्चर में (गुंबद और मेहराब निर्माण में), और यहाँ तक कि खगोल विज्ञान में ग्रहों की कक्षाओं और ग्रहण कोणों की गणना के लिए किया जाता है। ये प्रमेय समझने से STEM करियर के लिए स्थानिक तर्क क्षमता विकसित होती है।

चक्रीय चतुर्भुज क्या है और यह क्यों महत्वपूर्ण है?+

चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) एक चार-भुजा वाली आकृति है जिसके सभी चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि इसके अनूठे गुण हैं: सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। इस गुण का उपयोग प्रमाणों में, निर्माण समस्याओं में किया जाता है और यह CBSE बोर्ड परीक्षाओं में बार-बार आता है। चक्रीय चतुर्भुजों को जल्दी पहचानना ज्यामिति की समस्याओं में समय बचा सकता है।

Related resources

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 9 Circles Worksheet with Answers Important Questions: CBSE Class 9 Mathematics Chapter 9 Circles Class 9 Mathematics Chapter 9 Circles — Formulas & Key Points NCERT Solutions for CBSE Class 9 Mathematics Chapter 9: Circles CBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 Number Systems — Notes CBSE Class 9 Mathematics — Number Systems: complete chapter guide NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 1: Number Systems – Complete Guide CBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 Number Systems Worksheet with Answers

Keep learning — related guides

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8 Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions: mind map & revision

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics — Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions: complete chapter guide

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8 Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions — Notes

Class 9Mathematics

NCERT Solutions for CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8: Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics — The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability: complete chapter guide

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 7 The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability — Notes

Ready to give your Class 9 child the tutor that never sleeps?

CBSETUTOR.ai covers every chapter in the Class 9 NCERT syllabus — Maths, Science, Social Science, English, Hindi and more. 24×7. Patient. Unlimited. 3-day free trial.

Start your child's 3-day free trial →