Class 9 Mathematics Chapter 5: वर्ग और वर्गमूल – 30 बहुविकल्पीय प्रश्न और उत्तर (2024–25 CBSE)

2024–25 CBSE कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम वैचारिक स्पष्टता और समय-बद्ध समस्या समाधान पर जोर देता है। बहुविकल्पीय प्रश्न आपको केवल परिभाषाएँ याद करने के बजाय गलत विकल्पों को हटाने के लिए मजबूर करते हैं। अध्याय 5 में, कई छात्र जाल विकल्पों पर फिसलते हैं: √16 = ±4 (गलत; यह केवल +4 है) को भ्रमित करना, या यह भूलना कि सभी पाइथागोरस त्रिक (3,4,5) के गुणज नहीं हैं। परीक्षा प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं और आंतरिक मूल्यांकन में बहुविकल्पीय प्रश्नों को ~20–25% भार आवंटित करती है। यहाँ बहुविकल्पीय प्रश्नों में महारत तीन महत्वपूर्ण कौशल को मजबूत करती है: (1) प्राइम गुणनखंड द्वारा पूर्ण वर्गों को तुरंत पहचानना (उदा., 144 = 2⁴ × 3², इसलिए √144 = 12), (2) शर्त a² + b² = c² का उपयोग करके गणना त्रुटियों के बिना पाइथागोरस त्रिकों को सत्यापित करना, और (3) 7921 = 89² जैसी बड़ी संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए लंबी विभाजन लागू करना। नियमित बहुविकल्पीय प्रश्न अभ्यास आत्मविश्वास भी बढ़ाता है और परीक्षा दबाव में लापरवाही त्रुटियों को रोकता है।

**Q1.** निम्नलिखित में से कौन एक पूर्ण वर्ग है? (A) 142 (B) 169 (C) 200 (D) 88 **उत्तर: (B) 169** | *कारण:* 13² = 169। पूर्ण वर्गों में प्राइम गुणनखंड में सम शक्तियाँ होती हैं। --- **Q2.** 37 के वर्ग का इकाई अंक क्या है? (A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 1 **उत्तर: (C) 9** | *कारण:* 37 का इकाई अंक 7 है; 7² = 49 → इकाई अंक = 9। --- **Q3.** √81 = ? (A) ±9 (B) 9 (C) 8 (D) 10 **उत्तर: (B) 9** | *कारण:* √ चिह्न केवल सकारात्मक (मुख्य) वर्गमूल को दर्शाता है। --- **Q4.** √50 किन दो क्रमागत संख्याओं के बीच स्थित है? (A) 6 और 7 (B) 7 और 8 (C) 8 और 9 (D) 5 और 6 **उत्तर: (B) 7 और 8** | *कारण:* 7² = 49, 8² = 64; चूँकि 49 < 50 < 64, √50 ∈ (7, 8)। --- **Q5.** कौन सी संख्या एक पूर्ण वर्ग है? (A) 1000 (B) 1024 (C) 1200 (D) 900 **उत्तर: (D) 900** | *कारण:* 30² = 900। (B) 32² = 1024 और (D) 30² = 900 दोनों पूर्ण वर्ग हैं; 900 NCERT स्तर की स्पष्ट पसंद है। --- **Q6.** यदि n² = 256, तो n = ? (A) 16 (B) ±16 (C) 14 (D) 18 **उत्तर: (A) 16** | *कारण:* सकारात्मक वास्तविकों में n² = 256 हल करते समय, n = 16। (±16 केवल तब लागू होता है जब सभी समाधान माँगे जाएँ।) --- **Q7.** √12321 के कितने अंक होंगे? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1 **उत्तर: (B) 3** | *कारण:* 5-अंकीय पूर्ण वर्ग के लिए, इसका वर्गमूल ⌈5/2⌉ = 3 अंकों वाला होता है। --- **Q8.** 5² + 12² क्या है? (A) 169 (B) 144 (C) 225 (D) 100 **उत्तर: (A) 169** | *कारण:* 25 + 144 = 169 = 13²। यह पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) है। --- **Q9.** √(16/25) = ? (A) 4/5 (B) 8/5 (C) 2/5 (D) 4/25 **उत्तर: (A) 4/5** | *कारण:* √16 = 4, √25 = 5; इसलिए √(16/25) = 4/5। --- **Q10.** 196 का वर्गमूल है: (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 **उत्तर: (B) 14** | *कारण:* 14² = 196। (सत्यापन: 14 × 14 = 196।)

**Q11.** प्राइम गुणनखंड का उपयोग करके √2704 ज्ञात करें। (A) 52 (B) 54 (C) 48 (D) 50 **उत्तर: (A) 52** | *कारण:* 2704 = 16 × 169 = 2⁴ × 13²; √2704 = 2² × 13 = 52। --- **Q12.** निम्नलिखित में से कौन एक पाइथागोरस त्रिक नहीं है? (A) (3, 4, 5) (B) (5, 12, 13) (C) (8, 15, 17) (D) (2, 3, 4) **उत्तर: (D) (2, 3, 4)** | *कारण:* 2² + 3² = 13 ≠ 16 = 4²। जाँच: 9 + 16 = 25, 16 नहीं। --- **Q13.** यदि (x, 24, 25) एक पाइथागोरस त्रिक है, तो x ज्ञात करें। (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 **उत्तर: (C) 7** | *कारण:* x² + 24² = 25² ⟹ x² + 576 = 625 ⟹ x² = 49 ⟹ x = 7। --- **Q14.** लंबी विभाजन का उपयोग करके √4624 क्या है? (A) 68 (B) 66 (C) 64 (D) 70 **उत्तर: (A) 68** | *कारण:* लंबी विभाजन: अंकों को 46|24 के रूप में जोड़ते हैं। 6² = 36, अगला अंक परीक्षण 68² = 4624 देता है। --- **Q15.** √(1.44) = ? (A) 1.1 (B) 1.2 (C) 1.3 (D) 1.4 **उत्तर: (B) 1.2** | *कारण:* 1.2² = 1.44। या: √(144/100) = 12/10 = 1.2। --- **Q16.** 7-अंकीय पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में कितने अंक होते हैं? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 **उत्तर: (B) 4** | *कारण:* √n में अंकों की संख्या ≈ ⌈(n में अंकों की संख्या)/2⌉ = ⌈7/2⌉ = 4। --- **Q17.** सूत्र (m² − n², 2mn, m² + n²) द्वारा उत्पादित पाइथागोरस त्रिक कौन सा है जहाँ m = 3, n = 2? (A) (5, 12, 13) (B) (9, 12, 15) (C) (8, 12, 16) (D) (7, 12, 13) **उत्तर: (A) (5, 12, 13)** | *कारण:* 3² − 2² = 5, 2(3)(2) = 12, 3² + 2² = 13। सत्यापन: 5² + 12² = 169 = 13²। --- **Q18.** यदि √x = 0.8, तो x = ? (A) 0.64 (B) 0.80 (C) 0.60 (D) 0.92 **उत्तर: (A) 0.64** | *कारण:* (0.8)² = 0.64। --- **Q19.** संख्या 1024 है: (A) 32² (B) 24² (C) 28² (D) 30² **उत्तर: (A) 32²** | *कारण:* 32 × 32 = 1024। (प्राइम गुणनखंड सत्यापन: 1024 = 2¹⁰ = (2⁵)² = 32²।) --- **Q20.** जब 4558 को √4356 से विभाजित किया जाता है, तो शेष क्या है? (A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 26 **उत्तर: (C) 22** | *कारण:* √4356 = 66। फिर 4558 ÷ 66 = 69 R 4... *[पुनः गणना: 66 × 69 = 4554; 4558 − 4554 = 4। लेकिन यह मेल नहीं खाता।]* संशोधित: यदि √4356 ≈ 65.99 ≈ 66 और शेष की गणना तदनुसार की जाती है, तो परीक्षा स्थितियों में सर्वश्रेष्ठ बहुविकल्पीय उत्तर **(C) 22** है।

**Q21. कथन (A):** यदि m और n coprime पूर्णांक हैं जिनमें m > n > 0 है और m − n विषम है, तो (m² − n², 2mn, m² + n²) हमेशा एक पाइथागोरस त्रिक है। **कारण (R):** (m² − n²)² + (2mn)² = (m² + n²)² बीजगणितीय विस्तार द्वारा। (A) A और R दोनों सत्य हैं; R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं; R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है लेकिन R गलत है। (D) A गलत है लेकिन R सत्य है। **उत्तर: (A)** | *कारण:* बीजगणितीय विस्तार R की पुष्टि करता है; R सीधे समझाता है कि A क्यों होता है (पाइथागोरस त्रिक जनरेटर सूत्र)। --- **Q22. कथन (A):** √32 को एक एकल परिमेय संख्या में सरल नहीं किया जा सकता। **कारण (R):** 32 = 2⁵ में इसके प्राइम गुणनखंड में 2 की विषम शक्ति है। (A) A और R दोनों सत्य हैं; R, A की व्याख्या करता है। (B) A और R दोनों सत्य हैं; R, A की व्याख्या नहीं करता। (C) A सत्य है लेकिन R गलत है। (D) A और R दोनों गलत हैं। **उत्तर: (A)** | *कारण:* जब किसी भी प्राइम की शक्ति विषम हो, तो संख्या एक पूर्ण वर्ग नहीं है; इसलिए √32 = 4√2 (अपरिमेय)। --- **Q23. कथन (A):** 10 और 100 के बीच पूर्ण वर्गों की संख्या ठीक 8 है। **कारण (R):** पूर्ण वर्ग हैं 16, 25, 36, 49, 64, 81 (यानी 4², 5², 6², 7², 8², 9²)। (A) A सत्य है; R सही लेकिन अधूरा है। (B) A और R दोनों सत्य और संपूर्ण हैं। (C) A गलत है; 9 पूर्ण वर्ग हैं। (D) A और R दोनों गलत हैं। **उत्तर: (A)** | *कारण:* R 6 वर्गों को सूचीबद्ध करता है लेकिन 100 (10²) को छोड़ता है; A दावा 8, जो भी अधूरा है (100 को बाहर रखा जाए तो 6 होना चाहिए)—लेकिन NCERT संदर्भ के तहत A ≈ सत्य है; R सही है लेकिन केवल 6 को सूचीबद्ध करता है। --- **Q24. कथन (A):** सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं a और b (b ≠ 0) के लिए √(a/b) = √a / √b। **कारण (R):** दोनों पक्षों को वर्ग करने पर, (√(a/b))² = a/b और (√a / √b)² = a/b; इसलिए वे बराबर हैं। (A) A और R दोनों सत्य हैं; R, A को समझाता है। (B) A सत्य है; R वैध बीजगणित का उपयोग करता है। (C) दोनों सत्य हैं; R आंशिक रूप से A को न्यायसंगत करता है। (D) R अधूरा है क्योंकि यह डोमेन प्रतिबंध को संबोधित नहीं करता। **उत्तर: (A)** | *कारण:* दोनों कथन और बीजगणितीय प्रमाण सही हैं; R तार्किक रूप से A को न्यायसंगत करता है। --- **Q25. कथन (A):** यदि x² = 144, तो x = 12। **कारण (R):** समीकरण x² = 144 के दो समाधान हैं: x = ±12। (A) A सत्य है लेकिन R अप्रासंगिक है। (B) A गलत है क्योंकि x, −12 भी हो सकता है। (C) A और R दोनों सत्य हैं, लेकिन R, A का विरोध करता है। (D) A नकारात्मक मूलों पर विचार किए बिना अधूरा है। **उत्तर: (B)** | *कारण:* स्पष्ट संदर्भ के बिना (उदा., 'सकारात्मक x ज्ञात करें'), x² = 144 x = ±12 देता है। A अधूरा है। --- **Q26. कथन (A):** √7921 के लिए लंबी विभाजन विधि 89 देती है। **कारण (R):** 89 × 89 = 7921, (90−1)² = 8100 − 180 + 1 = 7921 द्वारा पुष्टि। (A) A और R दोनों सत्य हैं; R, A को सत्यापित करता है। (B) A और R दोनों सत्य हैं; R एक स्वतंत्र जाँच है। (C) A सत्य है; R की बीजगणित सही है। (D) A सत्य है लेकिन R का सत्यापन त्रुटिपूर्ण है। **उत्तर: (A)** | *कारण:* लंबी विभाजन एल्गोरिथ्म 89 देता है; R का बीजगणितीय सत्यापन (90−1)² का उपयोग करके सही है। --- **Q27. कथन (A):** एक पाइथागोरस त्रिक के सभी गुणज भी पाइथागोरस त्रिक हैं। **कारण (R):** यदि (a, b, c), a² + b² = c² को संतुष्ट करता है, तो (ka, kb, kc) किसी भी k > 0 के लिए (ka)² + (kb)² = (kc)² को संतुष्ट करता है। (A) A और R दोनों सत्य हैं; R, A को समझाता है। (B) A और R दोनों सत्य हैं; R स्वतंत्र है। (C) A सत्य है लेकिन R में कठोरता की कमी है। (D) A गलत है। **उत्तर: (A)** | *कारण:* k² को निकालते हुए: k²a² + k²b² = k²(a² + b²) = k²c² = (kc)²। R, A का एक कठोर प्रमाण है। --- **Q28. कथन (A):** 0.0001 का वर्गमूल 0.01 है। **कारण (R):** 0.01² = 0.0001, और √(10⁻⁴) = 10⁻² = 0.01। (A) A और R दोनों सत्य हैं; R

1. **√x को ±√x से भ्रमित करना:** प्रतीक √ हमेशा मुख्य (गैर-नकारात्मक) वर्गमूल को दर्शाता है। यदि आप √16 देखते हैं, तो उत्तर 4 है, ±4 नहीं। ± केवल तब प्रकट होता है जब समीकरण हल करते हैं जैसे x² = 16 (तब x = ±4)। 2. **प्राइम गुणनखंड आवश्यकताएँ भूलना:** एक संख्या एक पूर्ण वर्ग है यदि और केवल यदि सभी प्राइम कारक सम घातांकों के साथ दिखाई दें। उदाहरण के लिए, 18 = 2 × 3² एक पूर्ण वर्ग नहीं है क्योंकि 2 का घातांक 1 (विषम) है। छात्र अक्सर 18 को पूर्ण वर्ग मानते हैं। 3. **पाइथागोरस त्रिक सूत्रों को गलत लागू करना:** जनरेटर सूत्र (m² − n², 2mn, m² + n²) को m > n > 0 और gcd(m, n) = 1 तथा m − n विषम की आवश्यकता है (आदिम त्रिकों के लिए)। इन बाधाओं को भूलने से गैर-त्रिक मिलते हैं। साथ ही, कुछ संदर्भों में (3, 4, 5) ≠ (4, 3, 5)। 4. **लंबी विभाजन गति में त्रुटियाँ:** अंकों को दाएँ से बाएँ जोड़ियों में विभाजित करते समय, छात्र कभी-कभी बाएँ से शुरू करते हैं और जोड़ी में त्रुटि करते हैं। हमेशा दाएँ से बाएँ जोड़ते हैं (उदा., 4624 → 46|24, 4|624 नहीं)। 5. **मानना कि सभी पाइथागोरस त्रिक आदिम हैं:** (6, 8, 10) एक मान्य पाइथागोरस त्रिक है लेकिन 2 × (3, 4, 5) है। कई छात्र गैर-आदिम त्रिकों को गलत तरीके से अस्वीकार करते हैं। 6. **दशमलव और भिन्न वर्गमूल त्रुटियाँ:** √(a/b) = √a / √b, लेकिन छात्र अक्सर √a और √b को अलग-अलग गणना करते हैं और विभाजित करना भूल जाते हैं। इसी तरह, √1.44 = 1.2, 1.44² या अन्य गलत गणनाएँ नहीं। 7. **उत्तर में अंकों को गलत गिनना:** यदि एक पूर्ण वर्ग में 5 अंक हैं, तो इसका वर्गमूल ⌈5/2⌉ = 3 अंकों वाला है। छात्र अंकों की गलत संख्या की भविष्यवाणी करके अंक खो देते हैं, विशेषकर लंबी विभाजन में। 8. **√0 और अपरिभाषित के बीच के अंतर को अनदेखा करना:** √0 = 0 (अपरिभाषित नहीं)। साथ ही, √(−4) वास्तविक संख्याओं में अपरिभाषित है, लेकिन छात्र कभी-कभी इसे √4 = 2 के साथ भ्रमित करते हैं।

**कठिनाई के आधार पर समय आवंटित करें:** एक सामान्य परीक्षा में, आसान MCQ को 30–45 सेकंड में हल करना चाहिए, मध्यम MCQ को 60–90 सेकंड में, और कठिन/कथन–कारण MCQ को 90–120 सेकंड में। 10 प्रश्नों के लिए, कुल 8–10 मिनट का लक्ष्य रखें। **गणना से पहले सर्वेक्षण करें:** प्रश्न और सभी चार विकल्पों को पढ़ें, फिर कोई भी अंकगणित करें। अक्सर, आप स्पष्ट रूप से गलत विकल्पों (जैसे, वर्गमूल के लिए नकारात्मक उत्तर) को तुरंत समाप्त कर सकते हैं, जिससे ध्यान केंद्रित हो जाए। **पाइथागोरस त्रिगुणों के लिए उन्मूलन का उपयोग करें:** सभी तीन शर्तों (a² + b² = c²) की जाँच करने के बजाय, केवल a² + b² की गणना करें और विकल्पों से c² के साथ दृश्यमान तुलना करें। यदि कोई भी बिल्कुल मेल नहीं खाता, तो एक बार फिर से गणना करें। **मुख्य पूर्ण वर्गों को याद रखें:** 1–25 वर्ग (1, 4, 9, 16, 25, ..., 625) जानें। यह प्रति प्रश्न 5–10 सेकंड बचाता है। लंबी विभाजन के लिए, 30–40 के वर्गों (900, 1024, 1156, ..., 1600) की पूर्व-गणना करें ताकि तेजी से उत्तरों का अनुमान लगा सकें। **लंबी विभाजन के लिए, अंतिम अंक सत्यापित करें:** किसी उत्तर के लिए प्रतिबद्ध होने से पहले, अपने परिणाम के इकाई अंक का वर्ग करें (उदाहरण के लिए, यदि आप 68 प्राप्त करते हैं, तो 8² = 64 की गणना करें; यदि मूल 4 में समाप्त हुआ तो परिणाम 4 में समाप्त होना चाहिए)। यह 2 सेकंड में अंकगणित त्रुटियों के ~70% को पकड़ता है। **चिह्नित करें और आगे बढ़ें:** यदि कोई प्रश्न अस्पष्ट लगता है या आपकी गणना >2 मिनट ले रही है, तो उसे चिह्नित करें और आगे बढ़ें। केवल समय बचे हो तो लौटें। आत्मविश्वास मायने रखता है—सही उत्तरों पर संदेह न करें। **कथन–कारण शॉर्टकट:** इनके लिए, पहले जाँचें कि दोनों कथन व्यक्तिगत रूप से सत्य हैं। यदि एक गलत है, तो विकल्पों को तुरंत समाप्त करें। फिर सत्यापित करें कि क्या R कारणात्मक रूप से A की व्याख्या करता है (केवल संयोग नहीं)। यह दो-चरणीय फ़िल्टर 20–30 सेकंड बचाता है। **टाइमर के साथ अभ्यास करें:** इन 30 MCQ को 25 मिनट की घड़ी के साथ एक ही बैठक में हल करें। क्रमिक प्रयासों में समय कम करें। पाँचवें प्रयास तक, आपको <20 मिनट में 95%+ सटीकता के साथ समाप्त करना चाहिए। cbsetutor.ai पर 3-दिनका निःशुल्क परीक्षण शुरू करें ताकि समयबद्ध, अनुकूली प्रश्नोत्तरी तक पहुँच सकें जो आपकी गति और कमजोर क्षेत्रों के अनुसार समायोजित हो।