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कक्षा 9 गणित अध्याय 5 ऊपर-नीचे और घूम-घूमकर — सूत्र और मुख्य बिंदु

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NCERT कक्षा 9 गणित का अध्याय 5 वृत्त को उनके परिभाषित गुण के माध्यम से पेश करता है: वृत्त के सभी बिंदु एक निश्चित केंद्र से समान दूरी पर होते हैं। यह अध्याय जीवा, चापों द्वारा बनाए गए कोण, चक्रीय चतुर्भुज, और केंद्रीय तथा अंतर्निहित कोणों के बीच संबंध के बारे में प्रमेय बनाता है। यहाँ सूत्रों और गुणों में महारत हासिल करना बोर्ड परीक्षाओं और उच्च ज्यामिति दोनों के लिए महत्वपूर्ण है। नीचे सारणियों, हल किए गए उदाहरणों और तेजी से संशोधन के साधनों के साथ एक संरचित सूत्र पत्रक दिया गया है।

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Key takeaways

✓एक वृत्त सभी बिंदुओं का लोकस है जो एक निश्चित केंद्र से समान दूरी पर होते हैं; त्रिज्या इस दूरी को परिभाषित करती है।
✓केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है; समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
✓चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का ठीक दोगुना होता है।
✓चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
✓अर्धवृत्त में खुदा हुआ कोई भी कोण एक समकोण होता है (90 डिग्री)।
✓समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं; इसके विपरीत, समान केंद्रीय कोण का मतलब समान जीवाएँ होता है।
✓लंबी जीवाएँ केंद्र के करीब होती हैं; जीवा की लंबाई, त्रिज्या और दूरी से संबंध के लिए d = √(r² − l²/4) का उपयोग करें।

मूल परिभाषाएं और शब्दावली

सूत्रों में जाने से पहले, वृत्त की सटीक भाषा को समझ लीजिए। वृत्त सिर्फ एक गोल आकार नहीं है — यह एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर स्थित समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है। जीवा (Chord) वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली कोई भी रेखा खंड है। व्यास एक विशेष जीवा है जो केंद्र से गुजरती है, और यह हमेशा सबसे लंबी जीवा होती है। चाप (Arc) केंद्र से गुजरती है, और यह हमेशा सबसे लंबी जीवा होती है। चाप (Arc) वृत्त का एक सतत भाग है जो दो बिंदुओं के बीच होता है; हर जीवा वृत्त को लघु चाप (छोटा) और दीर्घ चाप (बड़ा) में विभाजित करती है। केंद्र से जीवा तक की लंब दूरी सबसे छोटी दूरी है, जिसे उस जीवा के लंबवत रेखा के साथ मापा जाता है। इन परिभाषाओं को समझने से आप सूत्रों को सही तरीके से लागू कर सकते हैं और ज्यामिति की समस्याओं की व्याख्या बिना भ्रम के कर सकते हैं।

वृत्त: केंद्र O से दूरी r पर बिंदुओं का बिंदुपथ
त्रिज्या: केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक रेखा खंड; सभी त्रिज्याएं बराबर
व्यास: केंद्र से गुजरने वाली जीवा; d = 2r; सबसे लंबी संभावित जीवा
जीवा: वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खंड
चाप: वृत्त का वक्र भाग दो बिंदुओं के बीच
लंब दूरी: केंद्र से जीवा तक सबसे छोटी दूरी, लंबवत रूप से मापी गई

आवश्यक सूत्र और गुणधर्म — मास्टर तालिका

इस अध्याय का हर प्रमेय एक परीक्षण योग्य सूत्र या गुणधर्म में रूपांतरित होता है। नीचे दी गई तालिका सभी मुख्य परिणामों को संकलित करती है। 'कब उपयोग करें' कॉलम को याद रखिए — यह बताता है कि जब आप बराबर जीवाएं, बराबर कोण, या लंब देखें तो कौन सा गुणधर्म लागू करें। उदाहरण के लिए, यदि कोई प्रश्न कहता है कि दो जीवाएं बराबर हैं, तो तुरंत याद रखिए कि वे केंद्र से समान दूरी पर हैं और केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं। यदि आप अर्धवृत्त देखें, तो याद रखिए कि अंतर्निहित कोण 90 डिग्री है। ये तार्किक संबंध परीक्षा के दबाव में समय बचाते हैं और त्रुटियों को रोकते हैं। अभ्यास के दौरान और परीक्षा से पहले इस तालिका का संदर्भ लें।

सूत्र तालिका: जीवाएं और केंद्र

जीवाओं और केंद्र के बीच का संबंध लंबवतता और दूरी द्वारा नियंत्रित होता है। जब केंद्र से जीवा पर लंब गिरता है, तो वह जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। इसके विपरीत, यदि केंद्र से एक रेखा जीवा को विभाजित करती है, तो वह उस जीवा के लंबवत होनी चाहिए। बराबर जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं, अर्थात् लंब दूरियां समान होती हैं। यदि आप त्रिज्या r, जीवा की लंबाई l, और लंब दूरी d जानते हैं, तो वे बौधायन–पाइथागोरस संबंध को संतुष्ट करते हैं: (l/2)² + d² = r²। पुनर्व्यवस्था से l = 2√(r² − d²) या d = √(r² − l²/4) प्राप्त होता है। लंबी जीवाएं छोटे d के अनुरूप होती हैं (केंद्र के करीब); छोटी जीवाएं बड़े d के अनुरूप होती हैं (केंद्र से दूर)। जब भी कोई समस्या आपको तीन में से दो मात्राएं देता है और तीसरे के लिए पूछता है, तो इन सूत्रों का उपयोग करें।

केंद्र से जीवा पर लंब उसे विभाजित करता है
बराबर जीवाएं ⇔ केंद्र से समान दूरी
जीवा की लंबाई: l = 2√(r² − d²)
केंद्र से दूरी: d = √(r² − (l/2)²)
लंबी जीवा ⇒ छोटा d; छोटी जीवा ⇒ बड़ा d

सूत्र तालिका: केंद्र पर और वृत्त पर कोण

एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का बिल्कुल दोगुना होता है। गणितीय रूप से, यदि चाप PQ केंद्र O पर कोण θ बनाता है और वृत्त पर बिंदु R पर कोण α बनाता है, तो θ = 2α। यह अंतर्निहित कोण प्रमेय (Inscribed Angle Theorem) है। एक महत्वपूर्ण उपफल: वृत्त पर विभिन्न बिंदुओं पर एक ही चाप द्वारा बनाए गए कोण सभी बराबर होते हैं (प्रत्येक केंद्रीय कोण का आधा है)। एक और विशेष स्थिति: अर्धवृत्त चाप (व्यास) केंद्र पर 180° बनाता है, इसलिए अंतर्निहित कोण 90° है। अत: अर्धवृत्त में कोई भी कोण एक समकोण है। जब भी आप व्यास देखें या वृत्त ज्यामिति में समकोण साबित करने की आवश्यकता हो तो इस गुणधर्म का उपयोग करें।

केंद्रीय कोण = 2 × अंतर्निहित कोण (एक ही चाप के लिए)
एक ही खंड में कोण (एक ही चाप, वृत्त पर विभिन्न बिंदु) बराबर होते हैं
अर्धवृत्त में कोण = 90° (व्यास केंद्र पर सरल कोण बनाता है)
यदि ∠AOB = θ, तो ∠APB = θ/2 (P दीर्घ चाप पर)

सूत्र तालिका: बराबर जीवाएं और बराबर कोण

एक ही वृत्त की दो जीवाएं लंबाई में बराबर होती हैं यदि और केवल यदि वे केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं। यह द्विशर्ती कथन शक्तिशाली है: जीवाओं को बराबर साबित करना उनके केंद्रीय कोणों को बराबर साबित करने के समतुल्य है। क्यों? क्योंकि केंद्र को जीवा के अंतबिंदुओं से जोड़कर बने त्रिभुज समद्विबाहु होते हैं (त्रिज्याएं बराबर होती हैं)। यदि ऐसे दो त्रिभुजों की तीनों भुजाएं बराबर हों (SSS सर्वांगसमता), तो उनके शीर्ष कोण (केंद्र पर) बराबर होते हैं। इसके विपरीत, यदि शीर्ष कोण बराबर हों और दो भुजाएं (त्रिज्याएं) बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (SAS), इसलिए तीसरी भुजाएं (जीवाएं) बराबर होती हैं। प्रमाणों में कोण की शर्तों को लंबाई की शर्तों में बदलने के लिए इस गुणधर्म का उपयोग करें।

बराबर जीवाएं ⇔ केंद्र पर बराबर कोण
यदि AB = CD (जीवाएं), तो ∠AOB = ∠COD
यदि ∠AOB = ∠COD, तो जीवा AB = जीवा CD
समद्विबाहु त्रिभुजों की सर्वांगसमता पर आधारित (त्रिज्याएं बराबर)

चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोण 180° तक जोड़ते हैं

एक चतुर्भुज चक्रीय होता है यदि इसके सभी चार शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों। परिभाषित गुण: प्रत्येक सम्मुख कोण की जोड़ी का योग 180 डिग्री होता है। औपचारिक रूप से, चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°। क्यों? प्रत्येक कोण एक अंतर्लिखित कोण है जो इसके सम्मुख चाप को अंतरित करता है। दोनों सम्मुख चाप मिलकर एक पूर्ण वृत्त (360°) बनाते हैं, इसलिए केंद्रीय कोण 360° तक जोड़ते हैं, और अंतर्लिखित कोण 180° तक जोड़ते हैं। यह गुण चक्रीयता के लिए एक परीक्षण है और अज्ञात कोण खोजने का एक साधन है। यदि सम्मुख कोण 180° तक नहीं जोड़ते, तो चतुर्भुज को वृत्त में अंतर्लिखित नहीं किया जा सकता। इसके विपरीत, यदि आप तीन कोण जानते हैं, तो चौथा कोण निर्धारित है।

चक्रीय चतुर्भुज: सभी शीर्ष एक वृत्त पर
सम्मुख कोण 180° तक जोड़ते हैं: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
चक्रीयता की परीक्षा: जाँचें कि सम्मुख कोण की जोड़ियाँ 180° तक जोड़ती हैं
तीन कोण दिए गए हैं, चौथा कोण = 180° − सम्मुख कोण

स्मृति युक्तियाँ और स्मरणीय सूत्र

सूत्र मानसिक हुक के साथ बेहतर याद रहते हैं। लंबवत-समद्विभाजक गुण के लिए, एक कागज़ के वृत्त को जीवा के साथ मोड़ने की कल्पना करें — सिलवट (केंद्र से लंबवत) जीवा को ठीक आधे में विभाजित करती है। अंतर्लिखित-कोण प्रमेय के लिए, 'केंद्र दोगुना देखता है' याद रखें: केंद्र पर कोण हमेशा वृत्त-बिंदु जो देखता है उसका दोगुना होता है। चक्रीय चतुर्भुज के लिए, 'सम्मुख कोण पूरक हैं' (180° तक जोड़ते हैं) सोचें — यदि आप एक कोण को ऊपर धकेलते हैं, तो सम्मुख को योग को स्थिर रखने के लिए गिरना चाहिए। अर्धवृत्त समकोण के लिए, थेल्स का प्रमेय याद करें: किसी भी त्रिभुज को अर्धवृत्त में अंतर्लिखित किया जाता है जिसका आधार व्यास है, तीसरे शीर्ष पर समकोण होता है। समस्या-समाधान के दौरान सही गुण को तुरंत ट्रिगर करने के लिए इन चित्रों का उपयोग करें।

'केंद्र से लंबवत जीवा को समद्विभाजित करता है' — मोड़ो-और-विभाजित स्मृति
'केंद्र दोगुना देखता है' — केंद्रीय कोण = 2 × अंतर्लिखित कोण
'सम्मुख कोण 180° तक जोड़ते हैं' — चक्रीय चतुर्भुज स्मरणीय
'अर्धवृत्त = समकोण' — थेल्स प्रमेय दृश्य
'समान जीवाएँ, केंद्र पर समान कोण' — सममिति सिद्धांत

सामान्य त्रुटियाँ और उन्हें कैसे टालें

छात्र अक्सर केंद्रीय कोण को अंतर्लिखित कोण से भ्रमित करते हैं — हमेशा जाँचें कि कोण किस शीर्ष से मापा जाता है। एक अन्य बार-बार होने वाली त्रुटि: यह मान लेना कि वृत्त में कोई भी चतुर्भुज चक्रीय है; सभी चार शीर्ष वृत्त पर हैं, केवल तीन नहीं, इसे सत्यापित करें। जीवा-दूरी सूत्र l = 2√(r² − d²) का उपयोग करते समय, याद रखें कि d लंबवत दूरी है, कोई भी दूरी नहीं। पुनर्व्यवस्था करते समय चिन्ह त्रुटियाँ आती हैं; हमेशा दोनों पक्षों को सावधानी से वर्ग करें। साथ ही, सिर्फ इसलिए मत मानें कि दो जीवाएँ समान हैं क्योंकि वे आरेख में समान दिखती हैं — कोण या दूरी गुण का उपयोग करके इसे साबित करें। अंत में, चक्रीय चतुर्भुज में, छात्र कभी-कभी आसन्न कोण जोड़ते हैं सम्मुख की जगह; शीर्षों को स्पष्ट रूप से लेबल करें और 180 डिग्री तक जोड़ने से पहले दोबारा जाँचें कि कौन से कोण सम्मुख हैं।

केंद्रीय बनाम अंतर्लिखित कोण: शीर्ष जाँचें (केंद्र या वृत्त बिंदु)
चक्रीय चतुर्भुज: सभी चार बिंदु वृत्त पर हैं, केवल तीन नहीं, इसे सत्यापित करें
लंबवत दूरी d सबसे छोटी दूरी है, जीवा के लिए समकोण पर मापी गई
जीवा सूत्र में सावधानी से वर्ग करें चिन्ह और अंकगणित त्रुटियों से बचने के लिए
चक्रीय चतुर्भुज में 180° तक सम्मुख कोण, आसन्न नहीं

सूत्रों को लागू करते हुए समाधान किए गए लघु-उदाहरण

ठोस उदाहरण अमूर्त सूत्रों को आपके दिमाग में एंकर करते हैं और परीक्षा-शैली के प्रश्नों के लिए चरण-दर-चरण विधि दिखाते हैं। इन तीन समस्याओं को सावधानी से पढ़ें, ध्यान दें कि प्रत्येक चरण में कौन सी संपत्ति या सूत्र का आह्वान किया जाता है। उदाहरण 1 जीवा-दूरी सूत्र का उपयोग करता है। उदाहरण 2 अंतर्लिखित-कोण प्रमेय लागू करता है। उदाहरण 3 चक्रीय-चतुर्भुज सम्मुख-कोण गुण का परीक्षण करता है। इन का अध्ययन करने के बाद, NCERT अभ्यास 5.1 से 5.3 से समान समस्याएँ आजमाएँ धारा-प्रवाह और गति बनाने के लिए। ये कार्य-समाधान बोर्ड परीक्षाओं में पूर्ण अंकों के लिए आपको प्रस्तुत करने वाले लेआउट और तर्क को भी मॉडल करते हैं — स्पष्ट रूप से दिया गया, उपयोग किया गया सूत्र, प्रतिस्थापन, और अंतिम उत्तर इकाइयों के साथ जहाँ लागू हो। इस तरह समाधान लिखने का अभ्यास करें अपने स्कोर को अधिकतम करने के लिए यहाँ तक कि यदि आप एक छोटी अंकगणित गलती करें।

एक नज़र में अंतिम-मिनट संशोधन बॉक्स

परीक्षा से अंतिम मिनटों में, सभी महत्वपूर्ण सूत्रों और प्रमेयों को ताज़ा करने के लिए इस बॉक्स को स्कैन करें। वृत्त की परिभाषा: केंद्र से दूरी r पर सभी बिंदु। केंद्र से लंबवत जीवा को समद्विभाजित करता है। समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं और समान केंद्रीय कोण अंतरित करती हैं। केंद्रीय कोण एक ही चाप के लिए अंतर्लिखित कोण का दोगुना है। अर्धवृत्त में कोण हमेशा 90 डिग्री होता है। चक्रीय चतुर्भुज: सम्मुख कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं। जीवा लंबाई सूत्र: l r के वर्ग घटा d के वर्ग का वर्गमूल के दोगुने के बराबर है। त्रिज्या, अर्ध-जीवा, और लंबवत दूरी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। परीक्षा से पहले, अध्ययन विराम के दौरान, परीक्षा केंद्र की ओर, या हॉल में प्रवेश करने से पहले तेज़ संशोधन के लिए इस बॉक्स को अपने फ़ोन पर बुकमार्क करें या अपनी नोटबुक में प्रिंट करें। तत्काल संदेह-समाशोधन के लिए CBSETUTOR.ai के 24×7 AI ट्यूटर के साथ इसे ₹999/माह पर (सभी कक्षाएँ 6-12, 3-दिन निःशुल्क परीक्षण) जोड़ें — किसी भी समस्या की फ़ोटो अपलोड करें और कभी भी, कहीं भी अपने फ़ोन पर चरण-दर-चरण समाधान प्राप्त करें।

वृत्त: r = त्रिज्या, O से सभी बिंदु समान दूरी
लंबवत जीवा को समद्विभाजित करता है; समान जीवाएँ ⇔ केंद्र से समान दूरी
केंद्रीय ∠ = 2 × अंतर्लिखित ∠; अर्धवृत्त में कोण = 90°
चक्रीय चतुर्भुज: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
जीवा सूत्र: l = 2√(r² − d²), d = √(r² − l²/4)
समान जीवाएँ ⇔ समान केंद्रीय कोण; सर्वांगसम समद्विबाहु त्रिभुज

Frequently asked questions

CBSE कक्षा 9 गणित अध्याय 5 में वृत्त की परिभाषा क्या है?+

वृत्त एक समतल में सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर हैं। यह समदूरस्थ गुण वृत्त का गणितीय सार है।

मैं कैसे सिद्ध करूँ कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है?+

जीवा के दोनों सिरों तक त्रिज्याएँ खींचें, जिससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है (दोनों त्रिज्याएँ बराबर हैं)। शीर्ष (केंद्र) से आधार (जीवा) पर डाला गया लंब सदा समद्विबाहु त्रिभुज में आधार को समद्विभाजित करता है।

जीवा की लंबाई, त्रिज्या और केंद्र से लंबवत दूरी को जोड़ने वाला सूत्र क्या है?+

सूत्र l = 2√(r² − d²) का उपयोग करें, जहाँ l जीवा की लंबाई है, r त्रिज्या है, और d केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी है। यह समकोण त्रिभुज में Baudhāyana–Pythagoras प्रमेय से आता है।

अर्धवृत्त में कोण सदा 90 डिग्री क्यों होता है?+

अर्धवृत्त एक व्यास से संगत है, जो केंद्र पर 180° का कोण बनाता है। अंतर्निहित कोण प्रमेय के अनुसार, वृत्त पर कोई भी बिंदु व्यास को आधी दूरी पर देखता है: 180°/2 = 90°।

मैं कैसे परीक्षण करूँ कि एक चतुर्भुज चक्रीय है?+

जाँचें कि क्या विपरीत कोणों के प्रत्येक जोड़े का योग 180° के बराबर है। यदि ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°, तो चतुर्भुज चक्रीय है; अन्यथा यह वृत्त में अंतर्निहित नहीं हो सकता।

सरल शब्दों में अंतर्निहित कोण प्रमेय क्या है?+

एक चाप केंद्र पर ऐसा कोण बनाता है जो वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का ठीक दुगुना है। केंद्रीय कोण = 2 × अंतर्निहित कोण (एक ही चाप के लिए)।

क्या समान जीवाएँ हमेशा केंद्र पर समान कोण बनाती हैं?+

हाँ। समान जीवाएँ अनुरूप समद्विबाहु त्रिभुजों से संगत हैं (त्रिज्याएँ बराबर हैं), इसलिए उनके शीर्ष कोण केंद्र पर बराबर हैं। इसके विपरीत, समान केंद्रीय कोण समान जीवाएँ देते हैं।

क्या लंबी जीवाएँ केंद्र के करीब या दूर होती हैं?+

लंबी जीवाएँ केंद्र के करीब होती हैं। सूत्र d = √(r² − l²/4) दर्शाता है कि जैसे-जैसे जीवा की लंबाई l बढ़ती है, लंबवत दूरी d घटती है, जिससे जीवा केंद्र के करीब आती है।

क्या CBSETUTOR.ai मुझे वृत्त की ज्यामिति की समस्याओं को तुरंत हल करने में मदद कर सकता है?+

हाँ। CBSETUTOR.ai ₹999/महीने पर 24×7 AI ट्यूटर प्रदान करता है (कक्षा 6-12 के लिए एक ही कीमत)। किसी भी वृत्त की समस्या की फोटो अपलोड करें और अपने फोन पर चरण-दर-चरण समाधान प्राप्त करें। 3 दिन की निःशुल्क ट्रायल उपलब्ध है।

यदि चक्रीय चतुर्भुज के तीन कोण दिए हों तो चौथा कोण कैसे ज्ञात करें?+

इस गुण का उपयोग करें कि सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। यदि आप ∠A, ∠B, ∠C जानते हैं, तो ∠D = 180° − ∠B (या समतुल्य रूप से, जाँचें कि ∠A + ∠C बराबर 180° होना चाहिए, फिर ∠D निकलता है)।

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