India's #1 AI Tutorworksheet · Mathematics · Chapter 4Read in English →

CBSE Class 9 गणित अध्याय 4 बीजीय सर्वसमिकाएँ खोजना वर्कशीट उत्तर सहित

Name: CBSETUTOR.ai subscription
Brand: CBSETUTOR.ai
SKU: cbsetutor-ai-monthly
Price: 9999 INR
Availability: InStock
Rating: 4.8 (284 reviews)

CBSE Class 9 गणित अध्याय 4 बीजीय सर्वसमिकाएँ खोजना की इस वर्कशीट में आपका स्वागत है, जिसे NCERT पाठ्यक्रम के मानदंडों और शब्दावली के अनुसार सावधानीपूर्वक तैयार किया गया है। यह मुद्रण योग्य संसाधन छः खंडों में 90 मिनट की श्रेणीबद्ध अभ्यास सामग्री प्रदान करता है: बहुविकल्पीय प्रश्न, रिक्त स्थान भरना, मिलान अभ्यास, संक्षिप्त उत्तर समस्याएँ, उच्च-स्तरीय सोच (HOTS) की चुनौतियाँ और एक केस-स्टडी प्रश्न, जिसके बाद प्रत्येक प्रश्न की चरण-दर-चरण व्याख्या के साथ पूर्ण उत्तर कुंजी दी गई है जो स्व-अध्ययन और सहपाठी सीखने में मदद करती है।

Your child's private AI tutor — trained on NCERT.

3-day free trial · ₹1 to start · Cancel anytime.

Start 3-day free trial →

Key takeaways

✓बीजीय सर्वसमिकाएँ समीकरण होती हैं जो चर के सभी मानों के लिए सत्य होती हैं, और इनका उपयोग व्यंजकों को बिना हल किए हुए तेजी से विस्तृत करने, गुणनखंडित करने और गणना करने के लिए किया जाता है।
✓Class 9 के लिए सात मुख्य सर्वसमिकाएँ (a±b)², a²−b², (a±b)³, a³±b³ और (x+a)(x+b) हैं, प्रत्येक के साथ ज्यामितीय और बीजीय प्रमाण दिए गए हैं।
✓वर्गों, आयतों और घनों का उपयोग करके ज्यामितीय मॉडल यह दिखाते हैं कि (a+b)²=a²+2ab+b² जैसी सर्वसमिकाएँ दृश्यमान रूप से क्यों कार्य करती हैं, जिससे संकल्पनात्मक समझ मजबूत होती है।
✓मानसिक गणना की तकनीकें: 29²=841 की गणना के लिए (30−1)² का उपयोग करें या 55²=3025 तुरंत खोजने के लिए (55+5)(55−5)+25 का उपयोग करें।
✓गुणनखंडन विस्तार को उलट देता है: x²+7x+12 को (x+3)(x+4) के रूप में पहचानें, दो संख्याएँ खोजकर जो 7 तक जोड़ी जाएँ और 12 से गुणा करें।
✓घन सर्वसमिकाओं में (a+b)³ के लिए गुणांक पैटर्न 1,3,3,1 है और (a−b)³ के लिए +,−,+,− का प्रत्यावर्तन संकेत पास्कल त्रिभुज की तीसरी पंक्ति से मेल खाता है।
✓केस-स्टडी और HOTS प्रश्न सर्वसमिकाओं को पूल के किनारे के क्षेत्र, खेल के मैदान के आयाम और तर्कसंगत व्यंजकों को कुशलतापूर्वक सरल बनाने जैसे वास्तविक संदर्भों से जोड़ते हैं।

त्वरित अध्याय समीक्षा: बीजीय सर्वसमिकाओं को समझना

एक बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) एक समीकरण है जो अपने चर में प्रतिस्थापित किए गए प्रत्येक संभावित मान के लिए सत्य रहती है। x²−1=24 जैसी एक समीकरण के विपरीत जो केवल x=±5 होने पर सत्य है, (a+b)²=a²+2ab+b² जैसी एक सर्वसमिका तब भी सत्य रहती है जब a और b धनात्मक हों, ऋणात्मक हों, भिन्न हों या अपरिमेय संख्याएँ भी हों। अध्याय 4 सात मौलिक सर्वसमिकाएँ प्रस्तुत करता है जिन्हें कक्षा 9 के विद्यार्थियों को आवश्यक रूप से सीखना चाहिए। पहली तीन द्विपद वर्ग सर्वसमिकाएँ हैं: (a+b)²=a²+2ab+b², (a−b)²=a²−2ab+b² और वर्गों का अंतर a²−b²=(a+b)(a−b)। इसके बाद घन सर्वसमिकाएँ आती हैं: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ और (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³, तथा घनों का योग और अंतर a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) और a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)। अंत में, द्विघातीय प्रसार सूत्र (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab त्रिपदों के गुणनखंड करने की आधारशिला है। NCERT पाठ्यपुस्तक ज्यामितीय मॉडलों—वर्गों और घनों को खींचकर क्षेत्रफल और आयतन को दृश्य रूप से प्रस्तुत करना—और वितरणात्मक गुण के माध्यम से बीजीय प्रमाण दोनों का उपयोग करती है ताकि यह दिखाया जा सके कि ये सर्वसमिकाएँ क्यों काम करती हैं। यह दोहरा दृष्टिकोण यह सुनिश्चित करता है कि आप प्रत्येक सूत्र के 'क्यों' को समझें, केवल 'कैसे' को नहीं। इन सर्वसमिकाओं में महारत हासिल करना मानसिक अंकगणित, बहुपद गुणनखंडन, परिमेय व्यंजकों को सरल करने और आयामों, क्षेत्रफलों और आयतनों से जुड़ी वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए शॉर्टकट खोलता है। ये CBSE शैक्षिक वर्ष की परीक्षाओं में प्रसार, गुणनखंडन, संख्यात्मक अनुप्रयोग और शब्द समस्याओं के माध्यम से व्यापक रूप से परीक्षा की जाती हैं।

सात मुख्य सर्वसमिकाएँ: वर्गों के लिए तीन, घनों के लिए तीन, द्विपद गुणनखंडों में द्विघातीय प्रसार के लिए एक।
सर्वसमिकाएँ सार्वभौमिक सत्य हैं, सभी वास्तविक संख्या प्रतिस्थापनों के लिए मान्य, वितरणात्मक गुण द्वारा सिद्ध और ज्यामितीय रूप से दृश्य।
ज्यामितीय मॉडल: (a+b)² एक वर्ग के रूप में a², b² और दो ab आयतों में विभाजित; (a+b)³ एक घन के रूप में आठ उप-आयतनों में विभाजित।
अनुप्रयोग: मानसिक गणना (29²=(30−1)²=841), गुणनखंडन (x²+7x+12=(x+3)(x+4)), बीजीय भिन्नों को सरल करना।

खंड क: बहुविकल्पी प्रश्न (MCQ)

इस खंड में छह सावधानीपूर्वक तैयार किए गए MCQ हैं जो बीजीय सर्वसमिकाओं के साथ आपकी वैचारिक समझ और प्रक्रियात्मक कौशल का परीक्षण करते हैं। प्रत्येक प्रश्न में चार विकल्प हैं, और केवल एक सही है। प्रश्न सर्वसमिकाओं के सीधे अनुप्रयोग, पैटर्न की पहचान, संख्यात्मक मानों का प्रतिस्थापन, सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन और सही प्रसार की पहचान को कवर करते हैं। ये MCQ CBSE कक्षा 9 शैक्षिक वर्ष की परीक्षा के उद्देश्य-प्रकार के प्रश्नों की शैली और कठिनाई स्तर को प्रतिबिंबित करते हैं। MCQ का प्रयास करते समय, अपने उत्तर को चुनने से पहले प्रत्येक विकल्प को सावधानीपूर्वक पढ़ें। एक सामान्य गलती (a−b)² में मध्य पद के चिन्ह को भ्रमित करना या घन सर्वसमिकाओं में गुणांक 3 को गलत तरीके से लागू करना है। अपने चुने हुए उत्तर को a=1, b=1 जैसे सरल मान को प्रतिस्थापित करके मानसिक रूप से पुनः-प्रसारित करके या जाँचकर सत्यापित करें कि सर्वसमिका सत्य है। अंत में दी गई उत्तर कुंजी केवल सही विकल्प नहीं बल्कि एक संक्षिप्त व्याख्या भी प्रदान करती है कि अन्य विकल्प गलत क्यों हैं, जिससे आप गलतियों से सीख सकें। समय सीमा के तहत इन MCQ का अभ्यास करें—प्रत्येक प्रश्न के लिए 1.5 मिनट का लक्ष्य रखें—ताकि आप NTSE और स्कूल ओलिंपियाड जैसी प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं के साथ-साथ अपने नियमित CBSE पाठ्यक्रम के संशोधन के लिए गति और सटीकता बना सकें।

प्रश्न 1: उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करके (3x+4y)² को प्रसारित करें और चार विकल्पों से सही त्रिपद की पहचान करें।
प्रश्न 2: 49a²−64b² को दो वर्गों के अंतर के रूप में पहचानकर गुणनखंडित करें, फिर सही द्विपद युग्म चुनें।
प्रश्न 3: घन सर्वसमिका (100+2)³ का उपयोग करके 102³ का मान निकालें और मिलते-जुलते संख्यात्मक परिणाम को चुनें।
प्रश्न 4: पहचानें कि चार दी गई समीकरणों में से कौन एक सर्वसमिका है (सभी x, y के लिए सत्य) बनाम समीकरण (विशिष्ट मानों के लिए सत्य)।
प्रश्न 5: यदि x+y=8 और xy=15 है, तो पुनर्व्यवस्थित सर्वसमिका (x+y)²=x²+2xy+y² को लागू करके x²+y² खोजें।
प्रश्न 6: चार विकल्पों से x³−27 का सही गुणनखंडन चुनें, a³−b³ सर्वसमिका को सही तरीके से लागू करते हुए।

खंड ख: रिक्त स्थान भरें

यह खंड बीजीय सर्वसमिकाओं से संबंधित लुप्त पद, गुणांक या व्यंजकों के साथ पाँच कथन प्रस्तुत करता है। आपका कार्य प्रत्येक कथन को सही बीजीय पद, संख्यात्मक मान या व्यंजक भरकर पूरा करना है जो सर्वसमिका को मान्य बनाता है। रिक्त स्थान भरने वाले प्रश्न स्मरण सटीकता और सर्वसमिकाओं के भीतर पैटर्न को पहचानने की आपकी क्षमता का परीक्षण करते हैं। वे न केवल सर्वसमिका की संरचना को याद रखने की आवश्यकता रखते हैं बल्कि सटीक चिन्हों और गुणांकों को भी। उदाहरण के लिए, आपको याद होना चाहिए कि (a+b)³ में मध्य पद गुणांक a²b और ab² दोनों के लिए 3 है, और (a−b)³ में चिन्ह अनुक्रमिक रूप से +,−,+,− हैं। एक उपयोगी रणनीति रिक्त स्थान भरने से पहले पूरी सर्वसमिका को मानसिक रूप से पुनः निर्मित करना है, स्थिरता सुनिश्चित करते हुए। ये प्रश्न CBSE कक्षा 9 शैक्षिक वर्ष की परीक्षा में सामान्य हैं और सावधानीपूर्वक पढ़ने की आवश्यकता रखते हैं—जाँचें कि क्या प्रश्न एक गुणांक, एक पद या एक संपूर्ण व्यंजक माँग रहा है। उत्तर कुंजी सही शब्द या व्यंजक एक संक्षिप्त औचित्य के साथ प्रदान करती है। पूरी सर्वसमिकाओं को स्मृति से एक अलग शीट पर लिखने का अभ्यास करें, फिर बिना अपनी नोट्स देखे इन रिक्त स्थानों को भरने का प्रयास करें ताकि परीक्षा के दौरान आत्मविश्वास और मूर्खतापूर्ण गलतियों को समाप्त किया जा सके।

प्रश्न 1: (x+y)² का प्रसार x²+ _____ +y² है। लुप्त मध्य पद 2xy भरें।
प्रश्न 2: सर्वसमिका a²−b² को (a+ _____)(a−b) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। (a+b)(a−b) प्राप्त करने के लिए लुप्त पद b भरें।
प्रश्न 3: (2a−3b) का घन 8a³−36a²b+54ab²− _____ है। (a−b)³ पैटर्न का उपयोग करके 27b³ से पूरा करें।
प्रश्न 4: घनों का योग p³+q³ (p+q)(p²− _____ +q²) के बराबर है। सर्वसमिका a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) से मेल खाने के लिए pq भरें।
प्रश्न 5: यदि m+n=10 और mn=21 है, तो m²+n²= _____। पुनर्व्यवस्थित (m+n)²=m²+2mn+n² का उपयोग करें: m²+n²=100−42=58।

खंड ग: निम्नलिखित को मिलाएँ और सही या गलत

यह खंड दो भागों में विभाजित है। पहला भाग एक मिलान तालिका है जिसमें स्तंभ क में पाँच आइटम और स्तंभ ख में पाँच संगत मिलान हैं। आपको स्तंभ क में प्रत्येक व्यंजक या अवधारणा को स्तंभ ख में इसके सही प्रसार, गुणनखंडन या संख्यात्मक मान के साथ युग्मित करना चाहिए। दूसरा भाग बीजीय सर्वसमिकाओं के बारे में पाँच सही-गलत कथन हैं। प्रत्येक कथन के लिए, 'सही' लिखें यदि यह चर के सभी मानों के लिए सही है या 'गलत' यदि कोई प्रतिउदाहरण मौजूद है। यदि कथन गलत है, तो उत्तर कुंजी एक संक्षिप्त सुधार या प्रतिउदाहरण प्रदान करती है। मिलान के प्रश्न तीव्रता से समान रूपों को पहचानने की आपकी क्षमता का परीक्षण करते हैं—प्रसारित बनाम गुणनखंडित, या प्रतीकात्मक बनाम संख्यात्मक। सही-गलत के प्रश्न समालोचनात्मक सोच को तीव्र करते हैं: आपको मूल्यांकन करना चाहिए कि क्या दिया गया कथन एक सर्वसमिका है (सार्वभौमिक रूप से सत्य) या केवल एक समीकरण है (सशर्त रूप से सत्य)। एक सामान्य नुकसान (a+b)² को a²+b² के साथ भ्रमित करना है; पहला एक सर्वसमिका है, दूसरा गलत है क्योंकि यह 2ab पद को छोड़ देता है। प्रत्येक कथन को सावधानीपूर्वक पढ़ें और सत्य का परीक्षण करने के लिए a=1, b=1 जैसे छोटे मानों को प्रतिस्थापित करने पर विचार करें। ये प्रश्न प्रकार CBSE कार्यपत्रों और नमूना पत्रों में अक्सर दिखाई देते हैं, पैटर्न पहचान और त्वरित सत्यापन कौशल को निर्माण करते हैं जो बोर्ड परीक्षाओं के लिए आवश्यक हैं।

मिलान खंड: स्तंभ क (x+5)², x²−25, (2m+3n)³, m³+n³, (y+3)(y+7) को सूचीबद्ध करता है। स्तंभ ख प्रसार और गुणनखंडन को स्क्रैम्बल्ड क्रम में सूचीबद्ध करता है।
सही/गलत प्रश्न 1: (a+b)²=a²+b² सभी वास्तविक a, b के लिए। उत्तर: गलत। सही सर्वसमिका में +2ab पद है।
सही/गलत प्रश्न 2: a²−b²=(a−b)² सभी a, b के लिए। उत्तर: गलत। सही गुणनखंडन (a+b)(a−b) है।
सही/गलत प्रश्न 3: (3x−2y)³=27x³−54x²y+36xy²−8y³। उत्तर: सही। (a−b)³ सर्वसमिका को a=3x, b=2y के साथ लागू करें।
सही/गलत प्रश्न 4: x³+8=(x+2)(x²+4)। उत्तर: गलत। −2x पद गायब है; सही रूप (x+2)(x²−2x+4) है।

खंड घ: लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 3 अंक)

इस खंड में पाँच लघु-उत्तरीय प्रश्न हैं, प्रत्येक एक विशिष्ट CBSE परीक्षा प्रारूप में तीन अंक वहन करता है। प्रश्नों में एक द्विपद व्यंजक को प्रसारित करना, एक उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करके एक बहुपद को गुणनखंडित करना, एक दिए गए बीजीय भिन्न को सरल करना या सर्वसमिका-आधारित शॉर्टकट का उपयोग करके एक संख्यात्मक मान निकालना शामिल है। प्रत्येक उत्तर में स्पष्ट कार्यशील चरण शामिल होने चाहिए: यह बताएँ कि आप कौन सी सर्वसमिका का उपयोग कर रहे हैं, दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें, मध्यवर्ती बीजीय चरणों को दिखाएँ और अपने अंतिम उत्तर को बॉक्स या रेखांकित करें। अंक सही विधि और अंतिम उत्तर के लिए दिए जाते हैं, इसलिए भले ही आप एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि करें, आप अभी भी सही दृष्टिकोण के लिए आंशिक क्रेडिट अर्जित कर सकते हैं। ये प्रश्न CBSE बोर्ड लघु-उत्तर प्रकार के प्रश्नों के समान हैं और वैचारिक समझ और प्रक्रियात्मक कौशल दोनों का परीक्षण करते हैं। सामान्य विषयों में (2x+5y)³ को प्रसारित करना, 27a³−64b³ को गुणनखंडित करना, (x²−9)/(x+3) जैसी भिन्नों को सरल करना, और सर्वसमिकाओं का उपयोग करके 'यदि a−b=4 और ab=12 हैं, तो a²+b² खोजें' जैसे मानों का परिकलन करना शामिल है। हमेशा अपने कार्य को स्पष्ट रूप से लिखें, उपयोग की गई सर्वसमिका को गोल करें और अंकगणित को दोहरी जाँचें। उत्तर कुंजी पूर्ण चरणों के साथ मॉडल समाधान प्रदान करती है, इसलिए अपनी विधि की तुलना करें ताकि समझ या प्रस्तुति में अंतराल की पहचान की जा सके।

प्रश्न 1: घन सर्वसमिका का उपयोग करके (3a+2b)³ को प्रसारित करें। सभी चार पद दिखाएँ और गुणांकों को सरल करें।
प्रश्न 2: दो वर्गों के अंतर सर्वसमिका का उपयोग करके 64x²−81y² को गुणनखंडित करें। दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।
प्रश्न 3: यदि p+q=12 और pq=35 हैं, तो p और q को अलग-अलग हल किए बिना p²+q² का मान खोजें। (p+q)²=p²+2pq+q² का उपयोग करें।
प्रश्न 4: घनों के योग सर्वसमिका का उपयोग करके अंश को गुणनखंडित करके बीजीय भिन्न (x³+125)/(x+5) को सरल करें।
प्रश्न 5: सर्वसमिका का उपयोग करके 97×103 की मानसिक गणना करें। संकेत: 97=100−3, 103=100+3 लिखें और a²−b² लागू करें।

खंड E: दीर्घ उत्तरीय और उच्च-स्तरीय विचार प्रश्न (प्रत्येक 5 अंक)

यह खंड तीन उच्च-स्तरीय विचार कौशल (HOTS) प्रश्न प्रदान करता है, जिनमें से प्रत्येक पाँच अंकों का है। इन समस्याओं के लिए बहु-चरणीय तर्क, कई सर्वसमिकाओं का समन्वय या अपरिचित संदर्भों में अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है। आपको सर्वसमिकाओं का विस्तार और फिर गुणनखंड करना पड़ सकता है, दोनों पक्षों को सर्वसमिकाओं का उपयोग करके हेरफेर करके एक बीजगणितीय कथन सिद्ध करना पड़ सकता है, या एक शब्द समस्या को हल करना पड़ सकता है जहाँ सही सर्वसमिका निर्धारित करना मुख्य अंतर्दृष्टि है। HOTS प्रश्न रट कर सीखने से परे जाते हैं—वे यह परीक्षा करते हैं कि आप वास्तव में समझते हैं कि सर्वसमिकाएँ एक दूसरे से और व्यापक बीजगणितीय सिद्धांतों से कैसे संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, आपको (a+b)³−(a−b)³=2b(3a²+b²) को दोनों घनों का विस्तार करके और सरल करके सिद्ध करने के लिए कहा जा सकता है, या एक आयताकार बाग के आयाम ज्ञात करने के लिए कहा जा सकता है जहाँ इसका क्षेत्रफल और परिमाप दिया हो और द्विघाती गुणनखंडन का उपयोग करना हो। ये प्रश्न NCERT अभ्यास और CBSE बोर्ड 5-अंकीय प्रश्नों में चुनौतीपूर्ण समस्याओं के समान हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए कम से कम 10 मिनट आवंटित करें और अपने कार्य के प्रत्येक चरण को स्पष्ट रूप से दिखाएँ। उचित गणितीय संकेतन का उपयोग करें, मान्यताओं को बताएँ और प्रत्येक परिवर्तन को सर्वसमिका के नाम या बीजगणितीय नियम से न्यायसंगत ठहराएँ। उत्तर कुंजी प्रत्येक चरण में व्याख्यात्मक नोट्स के साथ विस्तृत नमूना समाधान प्रदान करती है, इसलिए वैकल्पिक दृष्टिकोण और बोर्ड परीक्षाओं के दौरान बचने के लिए सामान्य त्रुटियों को सीखने के लिए उन्हें सावधानी से देखें।

प्रश्न 1: बीजगणितीय रूप से सिद्ध करें कि (x+y)³−(x−y)³=2y(3x²+y²)। दोनों घनों का विस्तार करें, घटाएँ और सर्वसमिका को सत्यापित करने के लिए सरल करें।
प्रश्न 2: एक वर्गाकार खेल के मैदान की भुजा 's' मीटर है और इसे सभी ओर से 3 मीटर बढ़ाया जाता है। दिखाएँ कि क्षेत्रफल में वृद्धि एक सर्वसमिका का उपयोग करके (6s+9) वर्ग मीटर है। संकेत: नया क्षेत्रफल (s+3)²।
प्रश्न 3: पूर्ण रूप से गुणनखंड करें: 64a³+125b³−240a²b−300ab²। पदों को समूहित करें और घन सर्वसमिका या समूहीकरण द्वारा गुणनखंड विधि का उपयोग करें।

केस-स्टडी प्रश्न: बागवानी सीमा डिज़ाइन

केस-स्टडी प्रश्न गणित को वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में एकीकृत करते हैं, जो हाल के CBSE बोर्ड पत्रों में शुरू किया गया एक प्रारूप है। यह प्रश्न एक संक्षिप्त अनुच्छेद प्रस्तुत करता है जो एक स्थिति का वर्णन करता है—यहाँ, एक वर्ग बाग पर काम कर रहा एक परिदृश्य डिज़ाइनर—और इसके बाद चार उप-प्रश्न होते हैं जो प्रत्येक एक अंक के होते हैं। केस-स्टडी को सावधानी से पढ़ें और दी गई जानकारी निकालें: आयाम, बाधाएँ और संबंध। फिर प्रत्येक उप-प्रश्न का उत्तर देने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को लागू करें। इस कार्यपत्र का संदर्भ यह है: एक परिदृश्य डिज़ाइनर 'x' मीटर की भुजा वाली एक वर्गाकार फूलों की क्यारी की योजना बनाता है, जो सभी चारों ओर से 2 मीटर चौड़ाई के समान बजरी पथ से घिरी हुई है। ग्राहक पथ का क्षेत्रफल, पथ सहित बाग का कुल क्षेत्रफल और बजरी की लागत जानना चाहता है यदि इसकी कीमत ₹150 प्रति वर्ग मीटर है। उप-प्रश्न आपको (x+2+2)² या a²−b² का उपयोग करके अभिव्यक्तियाँ निर्धारित करने, क्षेत्रफल की गणना करने, संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने और परिणामों की व्याख्या करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं। केस-स्टडी प्रश्न गणितीय मॉडलिंग का परीक्षण करते हैं—एक शब्द समस्या को बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में परिवर्तित करना—और चर के स्पष्ट लेबलिंग, सही इकाई प्रबंधन और तार्किक तर्क की आवश्यकता होती है। CBSE कक्षा 9 टर्म परीक्षाओं में वे चार से पाँच अंकों के होते हैं और रट कर सीखने के बजाय अनुप्रयोग पर जोर देते हैं। उत्तर कुंजी सभी चार उप-प्रश्नों के लिए चरण-दर-चरण समाधान प्रदान करती है जहाँ आवश्यक हो आरेख के साथ।

केस संदर्भ: वर्गाकार फूलों की क्यारी भुजा x मीटर, सभी ओर से 2 मीटर चौड़ा समान बजरी पथ। कुल भुजा की लंबाई (x+4) मीटर बन जाती है।
उप-प्र (i): बाग का कुल क्षेत्रफल (फूलों की क्यारी + पथ) x के पदों में व्यक्त करें। उत्तर: (x+4)² वर्ग मीटर।
उप-प्र (ii): अकेली फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल ज्ञात करें। उत्तर: x² वर्ग मीटर। इसलिए पथ का क्षेत्रफल (x+4)²−x² है।
उप-प्र (iii): वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके पथ के क्षेत्रफल की अभिव्यक्ति को सरल करें। दिखाएँ (x+4)²−x²=(x+4+x)(x+4−x)=(2x+4)(4)=8x+16 वर्ग मीटर।
उप-प्र (iv): यदि x=6 मीटर है और बजरी की कीमत ₹150/वर्ग मीटर है, तो पथ की कुल लागत की गणना करें। प्रतिस्थापित करें: 8(6)+16=64 वर्ग मीटर। लागत=64×150=₹9,600।

संपूर्ण उत्तर कुंजी व्याख्या के साथ

यह खंड कार्यपत्र के प्रत्येक प्रश्न के लिए पूर्ण उत्तर कुंजी प्रदान करता है, जिसे खंड के अनुसार संगठित किया गया है। प्रत्येक उत्तर में सही प्रतिक्रिया और एक संक्षिप्त व्याख्या या कार्य शामिल है जो दिखाता है कि उस उत्तर तक कैसे पहुँचें। बहुविकल्पीय प्रश्नों के लिए, कुंजी सही विकल्प अक्षर बताती है और व्याख्या करती है कि यह क्यों सही है और सामान्य विकर्षक क्यों गलत हैं। रिक्त स्थान भरने के लिए, कुंजी लुप्त पद और इसे निर्धारित करने के लिए उपयोग की गई सर्वसमिका या तर्क देती है। मेल खाने वाले प्रश्नों के उत्तर सही जोड़ी (A-ii, B-iv, आदि) को संक्षिप्त न्यायसंगतताओं के साथ सूचीबद्ध करते हैं। सत्य-झूठ उत्तर T या F बताते हैं और यदि झूठ है तो एक प्रतिधारण उदाहरण या सुधारी गई कथन प्रदान करते हैं। लघु उत्तर कुंजी चरण-दर-चरण कार्य के साथ नमूना समाधान प्रस्तुत करती है, जो हाइलाइट करती है कि प्रत्येक चरण पर कौन सी सर्वसमिका लागू की गई है। दीर्घ उत्तर और HOTS कुंजी विस्तृत बहु-चरणीय समाधान प्रदान करती है जिसमें मध्यवर्ती बीजगणितीय परिवर्तन, जहाँ लागू हो वहाँ वैकल्पिक विधियाँ और बचने के लिए सामान्य गलतियाँ हैं। केस-स्टडी कुंजी सभी चार उप-प्रश्नों के साथ संख्यात्मक प्रतिस्थापन और इकाई प्रबंधन के साथ चलती है। यह उत्तर कुंजी आत्म-मूल्यांकन के लिए डिज़ाइन की गई है: कार्यपत्र का प्रयास करने के बाद, अपने उत्तर जाँचें, रूब्रिक के आधार पर अपने आप को अंक दें और किसी भी प्रश्न के लिए व्याख्या की समीक्षा करें जो आपने गलत पाया या मुश्किल महसूस किया। कुंजी का उपयोग केवल अपने काम के स्कोर के लिए नहीं बल्कि सही गणितीय संचार सीखने के लिए करें—समाधानों को कैसे प्रस्तुत किया जाए, कब सर्वसमिकाओं को स्पष्ट रूप से बताया जाए और CBSE बोर्ड परीक्षाओं में अधिकतम अंक प्राप्त करने के लिए अंतिम उत्तरों को कैसे स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जाए।

खंड A बहुविकल्पीय: छह सही विकल्प तर्क के साथ। उदाहरण: Q1 उत्तर (B); Q2 उत्तर (C); व्याख्या कि अन्य विकल्प क्यों विफल होते हैं।
खंड B रिक्त भरें: पाँच लुप्त पद प्रदान किए गए। उदाहरण: Q1 उत्तर 2xy है; Q5 उत्तर 58 है, (m+n)² को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त।
खंड C मेल खाएँ और सत्य/झूठ: सही जोड़ी A-ii, B-v, C-i, D-iv, E-iii; पाँच T/F उत्तर संक्षिप्त न्यायसंगतताओं या प्रतिधारण उदाहरणों के साथ।
खंड D लघु उत्तर: पाँच नमूना समाधान, प्रत्येक उपयोग की गई सर्वसमिका, प्रतिस्थापन और सही बीजगणितीय रूप के साथ सरल अंतिम उत्तर दिखा रहा है।
खंड E HOTS: तीन विस्तृत प्रमाण/समाधान। प्रत्येक में विस्तार चरण, बीजगणितीय हेरफेर और अंतिम परिणाम का सत्यापन शामिल है।
केस-स्टडी: चार उप-प्रश्न उत्तर संख्यात्मक और बीजगणितीय कार्य के साथ, क्षेत्रफल अभिव्यक्तियाँ, सरलीकरण और लागत गणना सहित।

CBSETUTOR.ai कैसे बीजगणितीय सर्वसमिकाओं में महारत को समर्थन देता है

जबकि इस जैसे कार्यपत्र उत्कृष्ट संरचित अभ्यास प्रदान करते हैं, कई कक्षा 9 के छात्र तत्काल प्रतिक्रिया के साथ माँग पर संदेह समाधान से लाभान्वित होते हैं जो उनकी व्यक्तिगत गति के अनुकूल होता है। CBSETUTOR.ai कक्षा 6 से 12 तक के प्रत्येक CBSE छात्र को गणित सहित सभी विषयों को कवर करते हुए प्रति माह ₹999 के निश्चित मूल्य पर 24×7 व्यक्तिगत AI ट्यूटर प्रदान करता है। आप इस कार्यपत्र से किसी भी समस्या का फोटो ले सकते हैं—चाहे वह एक बहुविकल्पीय प्रश्न हो जिसके बारे में आप अनिश्चित हैं, एक गुणनखंड हो जिसे आप हल नहीं कर सकते या एक केस-स्टडी उप-प्रश्न हो जो भ्रामक लगता है—और इसे CBSETUTOR.ai प्लेटफॉर्म पर अपलोड करें। कुछ सेकंड में, AI ट्यूटर आपके प्रश्न का विश्लेषण करता है, प्रासंगिक बीजगणितीय सर्वसमिका की पहचान करता है, स्पष्ट व्याख्या के साथ चरण-दर-चरण समाधान प्रदान करता है और यहाँ तक कि उस अवधारणा को मजबूत करने के लिए समान अभ्यास समस्याओं का सुझाव भी देता है। यह विशेष रूप से अध्याय 4 बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की खोज के लिए मूल्यवान है, जहाँ दृश्य ज्यामितीय मॉडल, बहु-चरणीय विस्तार और पैटर्न पहचान के लिए बार-बार अभ्यास और गलतफहमियों का तत्काल सुधार आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आप (2x−3y)³ को गलत तरीके से विस्तारित करते हैं वैकल्पिक संकेतों को भूल कर, AI ट्यूटर आपकी त्रुटि की पहचान करेगा, (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³ का सही अनुप्रयोग दिखाएगा और आपको महारत तक पुनः प्रयास करने के लिए दो और समान समस्याएँ जेनरेट करेगा। प्लेटफॉर्म विषयों के पार आपकी प्रगति को भी ट्रैक करता है, कमजोर क्षेत्रों को हाइलाइट करता है और NCERT और उससे आगे के अभ्यास से लक्षित अभ्यास की सिफारिश करता है। तीन दिन की निःशुल्क परीक्षण आपके परिवार को इस बुद्धिमान ट्यूशन का अनुभव करने देता है बिना किसी अग्रिम भुगतान के, जिससे यह CBSE गणित में परीक्षा आत्मविश्वास और वैचारिक स्पष्टता के लिए एक जोखिम-मुक्त निवेश बन जाता है।

तत्काल फोटो-अपलोड संदेह समाधान: किसी भी कार्यपत्र प्रश्न का फोटो लें, कुछ सेकंड में विस्तृत चरण-दर-चरण समाधान प्राप्त करें, दिन या रात कभी भी।
व्यक्तिगत शिक्षा: AI आपकी विशिष्ट गलतियों (चिह्न त्रुटियाँ, गुणांक पर्ची, गलत सर्वसमिका चुनाव) की पहचान करता है और सुधार स्पष्ट रूप से समझाता है।
असीमित अभ्यास: कार्यपत्र प्रश्नों के समान अतिरिक्त समस्याएँ जेनरेट करें, दूरस्थ पुनरावृत्ति और विविध संदर्भों के माध्यम से महारत सुनिश्चित करें।
सस्ती निश्चित फीस: ₹999/माह कक्षा 6-12 के सभी विषयों को कवर करता है, कोई छिपी हुई फीस नहीं, प्रति-प्रश्न फीस नहीं, कभी भी रद्द करें।
तीन दिन की निःशुल्क परीक्षण: कोई क्रेडिट कार्ड आवश्यक नहीं के साथ AI ट्यूटर की क्षमताओं का अनुभव करें, एक महत्वपूर्ण टर्म परीक्षा से पहले परीक्षण के लिए परिपूर्ण।
CBSE-संरेखित: सभी व्याख्याएँ NCERT शब्दावली और CBSE अंकन योजना तर्क का उपयोग करती हैं, बोर्ड परीक्षा प्रस्तुति मानकों के लिए छात्रों को तैयार करती हैं।

Frequently asked questions

एक बीजगणितीय सर्वसमिका और एक समीकरण में क्या अंतर है?+

एक बीजगणितीय सर्वसमिका अपने चरों के सभी मानों के लिए सत्य होती है (उदाहरण के लिए (a+b)²=a²+2ab+b² किसी भी a, b के लिए सत्य है), जबकि एक समीकरण केवल विशेष मानों के लिए सत्य होती है (उदाहरण के लिए x²−9=0 केवल तब सत्य है जब x=±3)। सर्वसमिकाएँ सार्वभौमिक नियम हैं जो व्यंजकों को विस्तृत करने, गुणनखंडित करने और सरल बनाने के लिए हल किए बिना उपयोग की जाती हैं।

मैं किसी दिए गए समस्या के लिए कौन सी सर्वसमिका का उपयोग करूँ यह कैसे तय करूँ?+

व्यंजक की संरचना को देखें। यदि आप (कुछ)² जैसे द्विपद के वर्ग को देखते हैं, तो (a±b)² का उपयोग करें। (x+5)(x−5) जैसे योग और अंतर के गुणनफल के लिए, a²−b²=(a+b)(a−b) का उपयोग करें। घनों के लिए, घातांक 3 की जाँच करें और यह योग है या अंतर: (a±b)³ या a³±b³। x²+7x+12 जैसे त्रिपद के लिए, (x+a)(x+b) गुणनखंडन का उपयोग करें। पैटर्न पहचान अभ्यास से बेहतर होती है।

क्या (a+b)² = a²+b² के बराबर नहीं है?+

क्योंकि जब आप वितरक गुण का उपयोग करके (a+b)(a+b) को विस्तृत करते हैं, तो आप a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b² प्राप्त करते हैं, केवल a²+b² नहीं। मध्य पद 2ab को नज़रअंदाज़ नहीं किया जा सकता। एक त्वरित जाँच: a=2, b=3 मान लें। तब (2+3)²=25 परंतु 2²+3²=13। वे बराबर नहीं हैं, जो (a+b)²≠a²+b² को सिद्ध करता है।

मैं बड़ी संख्याओं की गणना मानसिक रूप से करने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग कैसे कर सकता हूँ?+

संख्या को सुविधाजनक आधार के पास योग या अंतर के रूप में फिर से लिखें। 98² के लिए, 98=100−2 लिखें, फिर (100−2)²=10000−400+4=9604। 103×97 के लिए, (100+3)(100−3)=100²−3²=10000−9=9991 को पहचानें। ये शॉर्टकट (a−b)² और a²−b² सर्वसमिकाओं का उपयोग करके थकाऊ गुणन से बचते हैं।

(a+b)² और (a+b)³ के लिए ज्यामितीय मॉडल क्या हैं?+

(a+b)² के लिए, (a+b) भुजा वाला एक वर्ग खींचें और इसे चार क्षेत्रों में विभाजित करें: एक a×a वर्ग, एक b×b वर्ग और दो a×b आयत। कुल क्षेत्रफल a²+2ab+b²। (a+b)³ के लिए, (a+b) किनारे वाले एक घन को आठ ब्लॉकों में विभाजित करें: एक a³ घन, एक b³ घन, तीन a²b स्लैब और तीन ab² स्लैब, कुल a³+3a²b+3ab²+b³। ये मॉडल दिखाते हैं कि सर्वसमिकाएँ क्यों सत्य हैं।

मैं x²+5x+6 जैसे त्रिपद को सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडित कैसे करूँ?+

इसे विस्तार (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab से तुलना करें। यहाँ a+b=5 और ab=6। दो संख्याएँ खोजें जो 5 में जोड़ी जाएँ और 6 से गुणा करें: वे 2 और 3 हैं। तो x²+5x+6=(x+2)(x+3)। यह विधि किसी भी त्रिपद के लिए काम करती है जहाँ x² का गुणांक 1 है।

(a+b)³ और (a−b)³ में गुणांक पैटर्न क्या है?+

दोनों के पास पास्कल त्रिभुज पंक्ति 3 से गुणांक पैटर्न 1, 3, 3, 1 है। (a+b)³ के लिए सभी चिन्ह सकारात्मक हैं: a³+3a²b+3ab²+b³। (a−b)³ के लिए चिन्ह वैकल्पिक हैं +,−,+,−: a³−3a²b+3ab²−b³। याद रखें कि मध्य दो पद हमेशा गुणांक 3 के साथ होते हैं।

मैं x³−64 जैसे घनों का अंतर गुणनखंडित कैसे करूँ?+

x³−64 को x³−4³ के रूप में पहचानें और सर्वसमिका a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) लागू करें। a=x, b=4 प्रतिस्थापित करें: x³−64=(x−4)(x²+4x+16)। ध्यान दें कि द्विघाती गुणनखंड x²+4x+16 को वास्तविक संख्याओं पर आगे गुणनखंडित नहीं किया जा सकता क्योंकि इसका विविक्तकर 16−64 ऋणात्मक है।

क्या मैं बीजगणितीय भिन्नों को सरल बनाने के लिए सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकता हूँ?+

हाँ। उदाहरण के लिए, (x²−25)/(x+5) को सरल बनाइए। a²−b² का उपयोग करके अंश को गुणनखंड करें: x²−25=(x−5)(x+5)। (x+5) को रद्द करें: परिणाम x−5 है, जो x≠−5 के लिए मान्य है। इसी तरह (x³+27)/(x+3) को x³+27 को (x+3)(x²−3x+9) के रूप में गुणनखंड करके (x+3)(x²−3x+9)/(x+3)=x²−3x+9 में बदला जा सकता है।

CBSE कक्षा 9 की टर्म परीक्षाओं में अध्याय 4 को कितने अंक आवंटित किए जाते हैं?+

अध्याय 4 बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की खोज आमतौर पर CBSE कक्षा 9 गणित की टर्म परीक्षाओं में 8-10 अंक का योगदान देता है, जो एक बहुविकल्पीय प्रश्न (1 अंक), एक या दो लघु-उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 2-3 अंक) और एक दीर्घ-उत्तरीय या केस-स्टडी प्रश्न (4-5 अंक) में वितरित होता है। सात मुख्य सर्वसमिकाओं और उनके अनुप्रयोगों में महारत पूर्ण अंक प्राप्त करने के लिए आवश्यक है।

क्या यह वर्कशीट बोर्ड परीक्षा की तैयारी के लिए पर्याप्त है?+

यह वर्कशीट NCERT पाठ्यक्रम और CBSE परीक्षा पैटर्न के अनुरूप व्यापक अभ्यास प्रदान करता है, जो सभी प्रश्न प्रकारों और कठिनाई स्तरों को कवर करता है। संपूर्ण तैयारी के लिए, सभी NCERT पाठ्यपुस्तक अभ्यासों, पिछली परीक्षाओं के प्रश्नपत्रों को भी हल करें और तत्काल संदेह समाधान और व्यक्तिगत अभ्यास के लिए CBSETUTOR.ai का उपयोग करें। वर्कशीट, NCERT समस्याओं और मॉक टेस्ट को मिलाकर गति, सटीकता और आत्मविश्वास बनाएँ।

अगर मैं (a−b)³ को विस्तृत करने में बार-बार गलतियाँ करता हूँ तो मुझे क्या करना चाहिए?+

सर्वसमिका (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³ को एक फ्लैशकार्ड पर लिखें और प्रतिदिन विभिन्न प्रतिस्थापनों के साथ अभ्यास करें। प्रत्येक पद के चिन्ह को सावधानीपूर्वक जाँचें: पहला और तीसरा पद धनात्मक हैं, दूसरा और चौथा पद ऋणात्मक हैं। अपने काम पर तत्काल प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए CBSETUTOR.ai फोटो-अपलोड का उपयोग करें, यह बिल्कुल बताएँ कि चिन्ह या गुणांक की त्रुटि कहाँ है और सुधारक अभ्यास का सुझाव दें।

Related resources

Important Questions: CBSE Class 9 Mathematics Chapter 4 Linear Equations in Two Variables CBSE Class 9 Mathematics Chapter 4 Linear Equations in Two Variables Worksheet with Answers Class 9 Mathematics Chapter 4 Linear Equations in Two Variables — Formulas & Key Points Important Questions: CBSE Class 9 Mathematics Chapter 4 Exploring Algebraic Identities CBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 Number Systems — Notes CBSE Class 9 Mathematics — Number Systems: complete chapter guide NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 1: Number Systems – Complete Guide CBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 Number Systems Worksheet with Answers

Keep learning — related guides

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8 Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions: mind map & revision

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics — Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions: complete chapter guide

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8 Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions — Notes

Class 9Mathematics

NCERT Solutions for CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8: Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics — The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability: complete chapter guide

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 7 The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability — Notes

Ready to give your Class 9 child the tutor that never sleeps?

CBSETUTOR.ai covers every chapter in the Class 9 NCERT syllabus — Maths, Science, Social Science, English, Hindi and more. 24×7. Patient. Unlimited. 3-day free trial.

Start your child's 3-day free trial →