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CBSE कक्षा 9 गणित अध्याय 2 बहुपद वर्कशीट उत्तर सहित

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बहुपद CBSE कक्षा 9 गणित में बीजगणित की नींव हैं। यह अध्याय आपको ऐसे व्यंजकों से परिचित कराता है जहाँ चर में गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातें होती हैं, और आपको शक्तिशाली प्रमेयों और सर्वसमिकाओं का उपयोग करके उन्हें वर्गीकृत, गुणनखंडित और हल करना सिखाता है। यह वर्कशीट CBSE परीक्षा पैटर्न को प्रतिबिंबित करने के लिए संरचित है जिसमें प्रश्नों के सभी प्रकारों में व्यापक अभ्यास के लिए क्रमिक कठिनाई स्तर हैं।

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Key takeaways

✓बहुपद में चर केवल गैर-नकारात्मक पूर्ण संख्या घातों के साथ होते हैं; x + 1/x जैसे व्यंजक बहुपद नहीं हैं।
✓बहुपद की घात चर की सर्वोच्च घात है जिसका गुणांक गैर-शून्य है; घात-n वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं।
✓गुणनखंड प्रमेय कहता है कि (x – a) बहुपद p(x) का गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a) = 0 है, जो गुणनखंडन के लिए आवश्यक है।
✓बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ जैसे (x + y)² = x² + 2xy + y² और x² – y² = (x + y)(x – y) प्रसार और गुणनखंडन में समय बचाती हैं।
✓शेषफल प्रमेय आपको p(x) ÷ (x – a) का शेषफल केवल p(a) का मान ज्ञात करके पाने देता है, लंबी विभाजन से बचाता है।
✓मध्य पद को विभाजित करना ax² + bx + c रूप के द्विघात बहुपदों को गुणनखंडित करने की मानक तकनीक है।
✓विविध प्रश्न प्रकारों—बहुविकल्पीय, रिक्त स्थान भरें, लघु और दीर्घ उत्तर—के साथ अभ्यास CBSE बोर्ड परीक्षाओं के लिए आत्मविश्वास बढ़ाता है।

त्वरित अध्याय पुनरावलोकन: बहुपद एक नजर में

एक चर में बहुपद p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ +... + a₁x + a₀ के रूप का एक बीजीय व्यंजक है, जहाँ सभी घातें गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ हैं और गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं। घात x की सर्वोच्च घात है जिसका गुणांक शून्य नहीं है। रैखिक बहुपदों की घात 1, द्विघात बहुपदों की घात 2 और त्रिघात बहुपदों की घात 3 होती है। p(x) का शून्य एक वास्तविक संख्या c है जिससे p(c) = 0। शेषफल प्रमेय कहता है कि p(x) को (x – a) से भाग देने पर शेषफल p(a) होता है। गुणनखंड प्रमेय कहता है कि (x – a) p(x) का गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a) = 0। बीजीय सर्वसमिकाएँ जैसे (x + y)² = x² + 2xy + y², x² – y² = (x + y)(x – y), और (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) द्रुत प्रसार और गुणनखंडन के लिए उपकरण हैं। ये अवधारणाएँ CBSE बोर्ड परीक्षाओं में संख्यात्मक समस्याओं, गुणनखंडन कार्यों और अनुप्रयोग-आधारित प्रश्नों के माध्यम से परीक्षित होती हैं।

बहुपद: केवल गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्या घातों वाला व्यंजक
घात: चर की सर्वोच्च घात जिसका गुणांक शून्य नहीं है
शून्य: वे मान जो बहुपद को शून्य के बराबर बनाते हैं
शेषफल प्रमेय: p(x) को (x – a) से भाग देने पर शेषफल p(a) है
गुणनखंड प्रमेय: (x – a) एक गुणनखंड है ⟺ p(a) = 0
सर्वसमिकाएँ: (x ± y)², x² – y², (x + y)³, x³ + y³ + z³ – 3xyz को याद रखें

कार्यपत्र निर्देश और मूल्यांकन योजना

यह कार्यपत्र 90-मिनट के समयबद्ध अभ्यास सत्र के लिए डिज़ाइन किया गया है और कुल 60 अंकों का है। खंड A (बहुविकल्पीय प्रश्न) में प्रत्येक 1 अंक, खंड B (रिक्त स्थान भरना) में 1 अंक प्रत्येक, खंड C (मेल/सत्य-असत्य) में प्रत्येक सही आइटम के लिए 1 अंक, खंड D (संक्षिप्त उत्तर) में 2 अंक प्रत्येक, खंड E (दीर्घ उत्तर और HOTS) में 3 अंक प्रत्येक, और केस स्टडी में 4 अंक हैं। सभी प्रश्नों का क्रम में प्रयास करें। आरेखों के लिए पेंसिल और लिखित उत्तरों के लिए कलम का उपयोग करें। खंडों D और E में आंशिक क्रेडिट के लिए सभी कार्य स्पष्ट रूप से दिखाएँ। कैलकुलेटर की अनुमति नहीं है। पूरा करने के बाद, अपने उत्तरों की जाँच अंत में दिई गई विस्तृत उत्तर कुंजी से करें। अपने आप को ईमानदारी से अंकित करें और उन विषयों को नोट करें जहाँ आप गहन संशोधन के लिए अंक खो गए। यह कार्यपत्र नवीनतम CBSE Class 9 गणित पाठ्यक्रम के अनुरूप है और पूरे समय NCERT शब्दावली का उपयोग करता है। जो छात्र मांग पर संदेह समाधान की तलाश में हैं, CBSETUTOR.ai 24×7 AI-संचालित ट्यूटरिंग प्रदान करता है जिसमें फ़ोटो-अपलोड समस्या समाधान ₹999/माह में सभी Class 6–12 के लिए उपलब्ध है, 3-दिनों की निःशुल्क परीक्षा के साथ।

सुझाया गया समय: 90 मिनट
कुल अंक: 60
कठिनाई स्तर: माध्यम (NCERT अध्याय पढ़ने के बाद उपयुक्त)
कैलकुलेटर नहीं; आंशिक अंकों के लिए सभी चरण दिखाएँ
उत्तर कुंजी का उपयोग करके स्व-मूल्यांकन करें और कमजोर क्षेत्रों की पहचान करें

खंड A: बहुविकल्पीय प्रश्न (प्रत्येक 1 अंक)

प्रत्येक प्रश्न के लिए सही विकल्प चुनें। प्रत्येक MCQ NCERT Class 9 गणित अध्याय 2 पाठ्यक्रम से एक विशिष्ट अवधारणा का परीक्षण करता है। ये प्रश्न परिभाषाओं और घात पहचान से लेकर शेषफल और गुणनखंड प्रमेय के अनुप्रयोग तक और बीजीय सर्वसमिकाओं की पहचान तक होते हैं। अपने उत्तर को स्पष्ट रूप से चिह्नित करें। कोई नकारात्मक अंकन नहीं है, इसलिए सभी प्रश्नों का प्रयास करें भले ही आप अनिश्चित हों। सही विकल्प की व्याख्याओं के लिए अंत में उत्तर कुंजी देखें और अन्य विकल्प गलत क्यों हैं। नीचे दिए गए प्रश्न CBSE बोर्ड परीक्षाओं और स्कूल मूल्यांकनों में पूछे जाने वाले प्रकारों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

Q1. निम्नलिखित में से कौन एक बहुपद है? (a) x² + 3x + 2 (b) x + 1/x (c) √x + 5 (d) x⁻³ + 2
Q2. बहुपद 5x⁴ – 3x² + 7 की घात है: (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 7
Q3. बहुपद p(x) = 2x – 6 का शून्य है: (a) 2 (b) 3 (c) –3 (d) 6
Q4. यदि p(x) = x³ – 2x² + x – 1 को (x – 1) से भाग दिया जाए, तो शेषफल है: (a) 0 (b) –1 (c) 1 (d) –3
Q5. निम्नलिखित में से कौन x² – 5x + 6 का गुणनखंड है? (a) (x – 1) (b) (x – 2) (c) (x + 3) (d) (x + 2)
Q6. सर्वसमिका का उपयोग करके (103)² का मान है: (a) 10506 (b) 10609 (c) 10209 (d) 10309
Q7. x² – 49 का गुणनखंडित रूप है: (a) (x – 7)(x – 7) (b) (x + 7)(x + 7) (c) (x + 7)(x – 7) (d) गुणनखंडित नहीं हो सकता
Q8. यदि बहुपद p(x) के लिए p(2) = 0 है, तो p(x) का एक गुणनखंड है: (a) (x + 2) (b) (x – 2) (c) 2x (d) x²

खंड B: रिक्त स्थान भरना (प्रत्येक 1 अंक)

प्रत्येक कथन को सही गणितीय पद, व्यंजक या संख्या से पूरा करें। ये प्रश्न NCERT Class 9 गणित अध्याय 2 से परिभाषाओं, मानक रूपों और प्रमेय कथनों की आपकी याद शक्ति का परीक्षण करते हैं। प्रदान किए गए रिक्त स्थान में अपना उत्तर लिखें। सटीक रहें: बीजीय व्यंजकों के लिए सही संकेतन और चिह्न का उपयोग करें। 'बहुपद', 'गुणांक' और 'घात' जैसी तकनीकी शर्तों के लिए वर्तनी और संकेतन महत्वपूर्ण हैं। उत्तर कुंजी अपेक्षित सटीक पद या व्यंजक प्रदान करती है। यह खंड बोर्ड परीक्षा सिद्धांत प्रश्नों के लिए और दीर्घ-उत्तर समस्याओं में समाधानों को स्पष्ट रूप से संप्रेषित करने के लिए आवश्यक शब्दावली में आत्मविश्वास बनाता है।

Q9. घात 2 का बहुपद __________ बहुपद कहलाता है।
Q10. बहुपद 4x³ – 2x² + 5 में x का गुणांक __________ है।
Q11. k का मान जिसके लिए (x – 1) x² – 3x + k का गुणनखंड है __________।
Q12. सर्वसमिका (x + y)² बराबर है __________।
Q13. यदि p(x) को (x – a) से भाग दिया जाए, तो शेषफल है __________ (शेषफल प्रमेय द्वारा)।
Q14. एक त्रिघात बहुपद सर्वाधिक __________ शून्य हो सकते हैं।
Q15. x² + 6x + 9 का गुणनखंडित रूप है __________।

खंड C: निम्नलिखित को मेल करें / सत्य या असत्य (प्रत्येक 1 अंक)

इस खंड में दो भाग हैं। भाग I: स्तंभ A में प्रत्येक बहुपद व्यंजक को स्तंभ B में उसके सही गुण या गुणनखंडित रूप से मेल करें। उत्तर स्तंभ में सही पत्र लिखें। भाग II: बताएँ कि प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य। यदि असत्य है, तो आपको यहाँ इसे ठीक करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन संशोधन के लिए इसे नोट करें। ये प्रश्न बहुपद गुणों को तेजी से पहचानने, सर्वसमिकाओं को लागू करने और मानक गुणनखंडनों को पहचानने की आपकी क्षमता का आकलन करते हैं। सटीकता महत्वपूर्ण है: प्रत्येक कथन को सावधानीपूर्वक पढ़ें और सही तरीके से मेल करें। यह प्रारूप CBSE स्कूल परीक्षाओं और Olympiad-स्तरीय परीक्षणों में आम वस्तुनिष्ठ-प्रकार के प्रश्नों के लिए तैयारी करता है।

भाग I – निम्नलिखित को मेल करें:
स्तंभ A: (i) x² – 16 (ii) x² + 2x + 1 (iii) 2x + 8 (iv) x³ – 1
स्तंभ B: (a) (x + 1)² (b) (x – 1)(x² + x + 1) (c) (x – 4)(x + 4) (d) रैखिक बहुपद
भाग II – सत्य या असत्य:
Q16. बहुपद x² + 1/x एक द्विघात बहुपद है। (सत्य / असत्य)
Q17. प्रत्येक रैखिक बहुपद का बिल्कुल एक शून्य होता है। (सत्य / असत्य)
Q18. शून्य बहुपद की घात 0 है। (सत्य / असत्य)

खंड D: लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 2 अंक)

प्रत्येक प्रश्न का उत्तर 2–3 वाक्यों में दें या सभी आवश्यक कार्य दिखाएँ। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है: आमतौर पर 1 अंक विधि के लिए और 1 अंक सही अंतिम उत्तर के लिए। आप जो प्रमेय या सर्वसमिका उपयोग कर रहे हैं उसे स्पष्ट रूप से बताएँ। गुणनखंड समस्याओं के लिए, मध्य पद का विभाजन या शून्य का परीक्षण दिखाएँ। मूल्यांकन समस्याओं के लिए, ध्यान से प्रतिस्थापन करें और चरण-दर-चरण सरल बनाएँ। आंशिक अंक सही दृष्टिकोण के लिए दिए जाते हैं भले ही अंतिम उत्तर में मामूली अंकगणितीय त्रुटि हो, इसलिए कभी भी कोई प्रश्न खाली न छोड़ें। ये प्रश्न CBSE बोर्ड परीक्षाओं के लघु-उत्तर खंड को प्रतिबिंबित करते हैं और अक्सर NCERT अभ्यास समस्याओं और उदाहरणों से लिए जाते हैं। इस खंड का उपयोग परीक्षा परिस्थितियों में संक्षिप्त, पूर्ण समाधान लिखने का अभ्यास करने के लिए करें। समय प्रबंधन सुझाव: वर्तमान कार्यपत्रक प्रयास के दौरान इस खंड में प्रत्येक प्रश्न को लगभग 3–4 मिनट आवंटित करें।

Q19. बहुपद p(x) = 5x – 20 का शून्य ज्ञात कीजिए।
Q20. शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए, शेषफल ज्ञात कीजिए जब p(x) = x³ + 3x² – 5x + 4 को (x – 2) से विभाजित किया जाता है।
Q21. गुणनखंड कीजिए: x² – 7x + 12।
Q22. उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करके प्रसारित कीजिए: (2a – 3b)²।
Q23. गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके सत्यापित कीजिए कि क्या (x + 1), x³ + x² – x – 1 का एक गुणनखंड है।

खंड E: दीर्घ उत्तरीय और उच्च क्रम चिंतन प्रश्न (प्रत्येक 3 अंक)

इन प्रश्नों को बहु-चरणीय समाधान, कई प्रमेयों के अनुप्रयोग, या उच्च-क्रम चिंतन कौशल की आवश्यकता है। प्रत्येक 3 अंकों का है: आमतौर पर 1 अंक सही विधि के लिए, 1 अंक मध्यवर्ती चरणों के लिए, और 1 अंक अंतिम उत्तर के लिए। सभी बीजगणितीय हेरफेर को स्पष्ट रूप से दिखाएँ। घन के गुणनखंडन के लिए, पहले स्थिरांक पद के कारकों का परीक्षण करके एक शून्य ज्ञात करें, फिर बहुपद विभाजन करें द्विघात तक कम करने के लिए, और अंत में द्विघात का गुणनखंड करें। सर्वसमिका-आधारित समस्याओं के लिए, उपयुक्त सर्वसमिका चुनें और ध्यान से प्रतिस्थापन करें। प्रमाण या सत्यापन प्रश्नों के लिए, बताएँ कि आप क्या सिद्ध कर रहे हैं और स्पष्ट रूप से निष्कर्ष निकालें। ये प्रश्न गहन समझ और समस्या-समाधान क्षमता का परीक्षण करते हैं, जो आपको बोर्ड परीक्षा के सबसे कठिन प्रश्नों के लिए तैयार करते हैं। CBSETUTOR.ai छात्रों को चरण-दर-चरण AI व्याख्याओं और फ़ोटो अपलोड के माध्यम से तत्काल संदेह समाधान के साथ ऐसे HOTS प्रश्नों में महारत हासिल करने में मदद करता है, कक्षा 6–12 के लिए 3-दिन की निःशुल्क परीक्षण के साथ 24×7 ₹999/माह पर उपलब्ध है। पूरे कार्यपत्रक को 90 मिनट के भीतर पूरा करना सुनिश्चित करने के लिए समयबद्ध अभ्यास के दौरान यहाँ प्रत्येक प्रश्न को 6–7 मिनट आवंटित करें।

Q24. पूर्ण गुणनखंड कीजिए: x³ – 6x² + 11x – 6।
Q25. वास्तविक गुणन के बिना, उपयुक्त बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके 98³ का मूल्यांकन कीजिए।
Q26. यदि x + 1/x = 5 है, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।

केस-स्टडी आधारित प्रश्न (4 अंक)

केस-स्टडी को ध्यान से पढ़ें और उसके बाद आने वाले उप-प्रश्नों का उत्तर दें। केस-स्टडीज़ बहुपद अवधारणाओं के साथ वास्तविक-जीवन संदर्भों को एकीकृत करते हैं और अब CBSE बोर्ड परीक्षाओं की एक नियमित विशेषता हैं। अंक आमतौर पर उप-भागों में वितरित किए जाते हैं, आमतौर पर 1+1+2 या 1+1+1+1। सभी संख्यात्मक उप-भागों के लिए कार्य दिखाएँ। यह प्रारूप बोध, अनुप्रयोग, और विश्लेषणात्मक सोच का परीक्षण करता है। केस-स्टडीज़ का अभ्यास करना परीक्षा आत्मविश्वास बनाता है और समय-दबाव में पढ़ने-समझने के कौशल को बेहतर बनाता है। नीचे दिया गया परिदृश्य व्यावहारिक स्थिति को मॉडल करने के लिए बहुपद का उपयोग करता है, जिसके लिए आपको जानकारी निकालनी है, व्यंजक बनाने हैं, और समीकरण हल करने हैं। दिए गए डेटा को ध्यान से नोट करें और समाधान लिखना शुरू करने से पहले प्रत्येक उप-प्रश्न क्या पूछ रहा है। इकाइयों की जाँच करें और सुनिश्चित करें कि आपका अंतिम उत्तर वर्णित वास्तविक-जीवन संदर्भ में समझ में आता है।

केस-स्टडी: एक माली एक आयताकार फूलों की क्यारी डिज़ाइन करता है। क्यारी की लंबाई (x + 5) मीटर है और चौड़ाई (x + 3) मीटर है। क्यारी का क्षेत्रफल बहुपद A(x) = x² + 8x + 15 द्वारा दिया गया है।
Q27(i). बहुपद A(x) का गुणनखंड कीजिए। (1 अंक)
Q27(ii). यदि फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल 35 वर्ग मीटर है, तो एक समीकरण बनाएँ और x का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)
Q27(iii). जब क्षेत्रफल 35 m² है तो फूलों की क्यारी की वास्तविक लंबाई और चौड़ाई क्या हैं? (1 अंक)

सभी प्रश्नों की सांपूर्ण उत्तर कुंजी व्याख्याओं के साथ

यह उत्तर कुंजी प्रत्येक प्रश्न के लिए सही उत्तर के साथ-साथ संक्षिप्त व्याख्या, मुख्य चरण, या तर्क प्रदान करती है। कार्यपत्रक पूरा करने के बाद आत्म-मूल्यांकन के लिए इसका उपयोग करें। स्वयं को ईमानदारी से अंक दें: पूरा श्रेय केवल तभी दें जब आपकी विधि और उत्तर दोनों मेल खाएँ, और आंशिक श्रेय दें जब आपका दृष्टिकोण सही हो लेकिन आपने अंकगणितीय गलती की हो। उन प्रश्न संख्याओं को नोट करें जहाँ आपने अंक खोए और उन NCERT खंडों पर फिर से जाएँ। MCQs के लिए, समझें कि सही विकल्प क्यों सही है और विकल्पकर्ता क्यों गलत हैं। सिद्धांत प्रश्नों के लिए, परीक्षा लेखन में सुधार करने के लिए अपनी शब्दावली की तुलना मॉडल उत्तर से करें। कार्यपत्रकों के नियमित अभ्यास और उत्तर कुंजी का उपयोग करके ईमानदार आत्म-मूल्यांकन उस अनुशासन और सटीकता को बनाता है जो CBSE बोर्ड परीक्षाओं में उच्च अंक प्राप्त करने के लिए आवश्यक है। यदि आप किसी विशेष विषय में—जैसे गुणनखंड या सर्वसमिका—में बार-बार गलतियाँ पाते हैं, तो दूसरे कार्यपत्रक का प्रयास करने से पहले उस विषय पर NCERT उदाहरणों और अभ्यासों को समर्पित अतिरिक्त समय दें। CBSETUTOR.ai जैसे डिजिटल प्लेटफ़ॉर्म आपको फ़ोटो के माध्यम से अपने कार्यपत्रक उत्तरों को अपलोड करने और तत्काल AI प्रतिक्रिया प्राप्त करने की अनुमति देते हैं, जिससे आप तुरंत त्रुटियों से सीखते हैं और कक्षा 6–12 के लिए एक फ्लैट फीस ₹999/माह पर 24×7 संदेह स्पष्ट करते हैं, 3-दिन की निःशुल्क परीक्षण के साथ शुरुआत करने के लिए।

Frequently asked questions

बहुपद और बीजीय व्यंजक में क्या अंतर है?+

बहुपद एक विशेष बीजीय व्यंजक है जिसमें चर केवल अऋणात्मक पूर्ण संख्या घातों (0, 1, 2, 3,...) के साथ आता है और सभी गुणांक वास्तविक संख्याएँ होती हैं। x + 1/x या √x + 2 जैसे व्यंजक बीजीय तो हैं लेकिन बहुपद नहीं हैं क्योंकि इनमें ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातें होती हैं।

मैं बहुपद की घात को तेजी से कैसे पहचान सकता हूँ?+

उस पद को देखो जिसमें चर की सबसे बड़ी घात हो और उसका गुणांक शून्य न हो। वह घातांक ही घात है। उदाहरण के लिए, 3x⁵ – 2x³ + 7 में घात 5 है। याद रखो: शून्य बहुपद की कोई परिभाषित घात नहीं होती, और 5 जैसी अशून्य स्थिरांक की घात 0 होती है।

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) गुणनखंडन के लिए इतना महत्वपूर्ण क्यों है?+

गुणनखंड प्रमेय कहता है कि यदि p(a) = 0 है, तो (x – a), p(x) का एक गुणनखंड है। इसका मतलब है कि तुम छोटी पूर्ण संख्याओं (स्थिरांक पद के गुणनखंडों) को परीक्षण करके एक शून्य खोज सकते हो, जिससे तुरंत एक रैखिक गुणनखंड मिल जाता है। फिर बहुपद को उस गुणनखंड से विभाजित करके घात कम करो और गुणनखंडन जारी रखो।

कक्षा 9 की बोर्ड परीक्षा के लिए मुझे कौन-कौन सी बीजीय सर्वसमिकाएँ याद करनी चाहिए?+

तुम्हें (x + y)² = x² + 2xy + y², (x – y)² = x² – 2xy + y², x² – y² = (x + y)(x – y), (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y), (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y), और x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²–xy–yz–zx) ये सब याद करने चाहिए। ये विस्तार और गुणनखंडन दोनों में समय बचाती हैं।

मैं मध्य पद को विभाजित करके द्विघाती बहुपद का गुणनखंडन कैसे करूँ?+

ax² + bx + c के लिए, दो संख्याएँ खोजो जो a·c से गुणा हों और b में जुड़ जाएँ। इन दोनों संख्याओं का उपयोग करके मध्य पद bx को फिर से लिखो, फिर समूहीकृत करो और गुणनखंड निकालो। उदाहरण के लिए, 2x² + 7x + 3 में, ऐसी संख्याएँ खोजो जो 6 से गुणा हों और 7 में जुड़ जाएँ: ये 6 और 1 हैं। 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (x+3)(2x+1) लिखो।

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) क्या है और मैं इसे कब उपयोग करूँ?+

शेषफल प्रमेय कहता है कि जब बहुपद p(x) को (x – a) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल केवल p(a) है। लंबी विभाजन किए बिना शेषफल चाहिए तो इसका उपयोग करो: बस a को बहुपद में रखकर मान ज्ञात करो। यह गुणनखंड प्रमेय का भी आधार है।

क्या किसी बहुपद के शून्य उसकी घात से अधिक हो सकते हैं?+

नहीं। घात n वाले बहुपद के अधिकतम n वास्तविक शून्य हो सकते हैं। यह एक मौलिक परिणाम है। उदाहरण के लिए, द्विघाती (घात 2) के 0, 1, या 2 शून्य हो सकते हैं, लेकिन कभी 3 नहीं। त्रिघाती बहुपद के अधिकतम 3 शून्य हो सकते हैं।

मैं सर्वसमिकाओं का उपयोग करके वर्ग और घन मानसिक रूप से कैसे गणना कर सकता हूँ?+

संख्या को किसी सर्वसमिका के लिए सुविधाजनक योग या अंतर में तोड़ो। 103² के लिए इसे (100 + 3)² = 100² + 2·100·3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609 लिखो। 97² के लिए (100 – 3)² = 10000 – 600 + 9 = 9409 उपयोग करो। यह तकनीक मैनुअल गुणन से तेज है और परीक्षकों को प्रभावित करती है।

बहुपद गुणनखंडन में छात्र कौन-कौन सी आम गलतियाँ करते हैं?+

आम त्रुटियों में शामिल हैं: मध्य पद को विभाजित करते समय चिह्न की गलतियाँ, यह जाँचना भूल जाना कि बहुपद पूरी तरह गुणनखंडित है या नहीं, और गुणनखंडन को विस्तृत करके सत्यापित न करना। हमेशा अपने गुणनखंडों को गुणा करके देखें कि आपको मूल बहुपद मिलता है या नहीं, और जमा/घटा के चिह्नों का सावधानी से ध्यान रखें।

CBSETUTOR.ai बहुपद और कक्षा 9 गणित के अन्य अध्यायों में कैसे मदद करता है?+

CBSETUTOR.ai 24×7 AI ट्यूटरिंग प्रदान करता है जहाँ आप वर्कशीट प्रश्नों या संदेहों की फोटो अपलोड कर सकते हैं और तुरंत चरण-दर-चरण समाधान और व्याख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। यह कक्षा 6–12 के सभी NCERT अध्यायों को ₹999/माह पर कवर करता है, 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण के साथ। यह माँग पर सहायता गुणनखंड प्रमेय, गुणनखंडन तकनीकों और सर्वसमिका अनुप्रयोग जैसी अवधारणाओं को स्पष्ट करने में मदद करती है, जब भी आप फँसे हों, निरंतर सीखना सुनिश्चित करते हुए अगली ट्यूशन क्लास का इंतज़ार किए बिना।

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