India's #1 AI Tutorformula-sheet · Mathematics · Chapter 2Read in English →

कक्षा 9 गणित अध्याय 2 बहुपद — सूत्र और मुख्य बिंदु

Name: CBSETUTOR.ai subscription
Brand: CBSETUTOR.ai
SKU: cbsetutor-ai-monthly
Price: 9999 INR
Availability: InStock
Rating: 4.8 (284 reviews)

NCERT कक्षा 9 गणित का अध्याय 2 बहुपदों का परिचय देता है—ये ऐसे बीजगणितीय व्यंजक हैं जिनमें चर को गैर-नकारात्मक पूर्ण संख्या घातों तक बढ़ाया जाता है। यह सूत्र पत्रक हर परिभाषा, प्रमेय और बीजगणितीय सर्वसमिका को तेजी से संशोधन के लिए संकलित करता है। चाहे आप शून्यों के लिए हल कर रहे हों, व्यंजकों को गुणनखंडित कर रहे हों, या शेषफल और गुणनखंड प्रमेय को लागू कर रहे हों, सभी मुख्य सूत्र स्पष्ट उदाहरणों के साथ तालिकाओं में व्यवस्थित हैं। परीक्षा से पहली रात को या होमवर्क के दौरान इस पृष्ठ का उपयोग करें और अवधारणाओं को तुरंत याद करें।

Your child's private AI tutor — trained on NCERT.

3-day free trial · ₹1 to start · Cancel anytime.

Start 3-day free trial →

Key takeaways

✓एक चर में एक बहुपद में केवल गैर-नकारात्मक पूर्ण संख्या घातें होती हैं; x + 1/x या √x जैसे व्यंजक बहुपद नहीं हैं।
✓एक बहुपद की डिग्री चर की सबसे अधिक घात है जिसमें गैर-शून्य गुणांक हो; एक रैखिक बहुपद की डिग्री 1, द्विघात की डिग्री 2 और त्रिघात की डिग्री 3 होती है।
✓एक बहुपद p(x) का शून्य कोई भी मान c है जहां p(c) = 0; एक रैखिक बहुपद का केवल एक शून्य होता है, द्विघात का अधिकतम दो और त्रिघात का अधिकतम तीन होते हैं।
✓शेषफल प्रमेय: जब p(x) को (x – a) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल p(a) के बराबर होता है; गुणनखंड प्रमेय: (x – a) बहुपद p(x) का गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a) = 0।
✓सात मुख्य बीजगणितीय सर्वसमिकाओं में महारत हासिल करें—ये विस्तार, गुणनखंडन और परीक्षाओं में तेजी से मानसिक गणना में समय बचाते हैं।
✓द्विघात का गुणनखंडन मध्य पद को विभाजित करके या गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है; त्रिघात के लिए, पहले एक शून्य खोजें, फिर एक द्विघात प्राप्त करने के लिए विभाजित करें।
✓सामान्य गलतियों में (x + y)² में मध्य पद 2xy भूलना, (x – y)² को x² – y² से भ्रमित करना, और शून्य खोजते समय अचर पद को अनदेखा करना शामिल है।

मुख्य परिभाषाएँ और शब्दावली

बहुपद की भाषा को समझना इस अध्याय में महारत हासिल करने की नींव है। एक चर में बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जहाँ चर केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांकों के साथ दिखाई देता है, और सभी गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, 5x³ – 2x² + 3x – 7 एक बहुपद है, लेकिन x + 1/x नहीं है क्योंकि 1/x बराबर x⁻¹ है, जो एक ऋणात्मक घातांक है। घात (डिग्री) वह उच्चतम घातांक है जिसका गुणांक शून्य नहीं है। 7 जैसा अचर बहुपद की घात 0 है, और शून्य बहुपद की कोई परिभाषित घात नहीं है। पद 5x³ या –7 जैसे व्यक्तिगत घटक हैं, और गुणांक संख्यात्मक गुणक है। एकपदी का एक पद है, द्विपदी के दो हैं, और त्रिपदी के तीन हैं। रैखिक बहुपद की घात 1 है, द्विघातीय की घात 2 है, और त्रिघातीय की घात 3 है। p(x) का एक शून्य या मूल एक मान c है जहाँ p(c) = 0, और गुणनखंड वह बहुपद है जो दूसरे को समान रूप से विभाजित करता है। इन परिभाषाओं को याद रखने से आप परीक्षा में आत्मविश्वास से बहुपदों को वर्गीकृत और हेरफेर कर सकते हैं।

बहुपद: aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ +... + a₁x + a₀, जहाँ सभी घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और गुणांक वास्तविक हैं।
घात (डिग्री): चर की उच्चतम घात जिसका गुणांक शून्य नहीं है; बहुपद का प्रकार और अधिकतम शून्यों की संख्या निर्धारित करता है।
शून्य: एक मान c जहाँ p(c) = 0; समीकरण p(x) = 0 का मूल भी कहलाता है।
गुणनखंड: एक बहुपद जो दूसरे को शेषफल 0 के साथ विभाजित करता है; (x – a) एक गुणनखंड है यदि p(a) = 0।
एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी: क्रमशः 1, 2, या 3 पदों वाले बहुपद।

प्रमुख बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ — संपूर्ण संदर्भ तालिका

बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ समीकरण हैं जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य हैं। ये सात सर्वसमिकाएँ कक्षा 9 में बहुपद हेरफेर की रीढ़ हैं। सर्वसमिका I योग के वर्ग को विस्तृत करता है: (x + y)² = x² + 2xy + y²। सर्वसमिका II अंतर के वर्ग को कवर करता है: (x – y)² = x² – 2xy + y²। सर्वसमिका III, वर्गों का अंतर, तुरंत गुणनखंडित करता है: x² – y² = (x + y)(x – y)। सर्वसमिका IV त्रिपदी का वर्ग है: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx, जिसमें तीन वर्गीकृत पद और तीन गुणनफल पद हैं। सर्वसमिका V योग को घन करता है: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y), या समकक्ष x³ + 3x²y + 3xy² + y³। सर्वसमिका VI अंतर को घन करता है: (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y)। सर्वसमिका VII घनों के योग को 3xyz से कम गुणनखंडित करता है: x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)। प्रत्येक सर्वसमिका गणना का समय बचाता है और त्रुटियाँ कम करता है। उन्हें विपरीत क्रम में पहचानने का अभ्यास करें ताकि जल्दी से गुणनखंड निकल सकें। उदाहरण के लिए, x² + 6x + 9 को सर्वसमिका I के विपरीत रूप में (x + 3)² के रूप में पहचानना परीक्षण-और-त्रुटि से तेज़ है।

सभी सात सर्वसमिकाएँ एक तालिका में

नीचे सभी सात मुख्य सर्वसमिकाओं, उनके सूत्रों और विशिष्ट उपयोग के मामलों को सूचीबद्ध करने वाली एक त्वरित-संदर्भ तालिका है। इस तालिका को संशोधन के दौरान हाथ में रखें। सर्वसमिका I और II वर्गों के विस्तार के लिए उपयोग की जाती हैं, सर्वसमिका III वर्गों के अंतर को गुणनखंडित करने के लिए, सर्वसमिका IV त्रिपदी वर्गों को विस्तृत करने के लिए (अक्सर ज्यामिति समस्याओं में), सर्वसमिकाएँ V और VI द्विपद को घन करने के लिए, और सर्वसमिका VII सममित व्यंजकों को गुणनखंडित करने के लिए। जब आप कोई समस्या देखें, तो पैटर्न को इनमें से एक सर्वसमिका से मेल खाएँ। उदाहरण के लिए, यदि आपको (2a + 3b)² को विस्तृत करना है, तो x=2a और y=3b के साथ सर्वसमिका I का उपयोग करें। यदि आपको 49p² – 64q² को गुणनखंडित करना है, तो x=7p और y=8q के साथ सर्वसमिका III का उपयोग करें। इन सर्वसमिकाओं के साथ पैटर्न पहचान का अभ्यास करना कक्षा 9 गणित परीक्षाओं में गति और सटीकता में सुधार करने का सबसे तेज़ तरीका है।

सर्वसमिका I: (x + y)² = x² + 2xy + y² — योग के वर्ग को विस्तृत करता है; (3x + 4)² जैसे द्विपदों को वर्ग करते समय उपयोग करें।
सर्वसमिका II: (x – y)² = x² – 2xy + y² — अंतर के वर्ग को विस्तृत करता है; (5a – 2b)² के लिए उपयोग करें।
सर्वसमिका III: x² – y² = (x + y)(x – y) — वर्गों के अंतर को गुणनखंडित करता है; a² – b² के लिए तुरंत गुणनखंडन।
सर्वसमिका IV: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx — त्रिपदी वर्ग को विस्तृत करता है; ज्यामिति और तीन-चर समस्याएँ।
सर्वसमिका V: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ — योग को घन करता है; (a + b)³ को विस्तृत करने के लिए उपयोग करें।
सर्वसमिका VI: (x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y) = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ — अंतर को घन करता है; (a – b)³ के लिए उपयोग करें।
सर्वसमिका VII: x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) — घनों के योग को गुणनखंडित करता है; तीन-चर सममित व्यंजक।

शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय

शेषफल प्रमेय कहता है: जब बहुपद p(x) को (x – a) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल p(a) है। इसका मतलब है कि शेषफल खोजने के लिए आपको लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है—बस बहुपद में a को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, x³ + 2x² – 5x + 3 को (x – 2) से विभाजित करने से शेषफल p(2) = 8 + 8 – 10 + 3 = 9 मिलता है। गुणनखंड प्रमेय इसे विस्तृत करता है: (x – a) p(x) का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a) = 0। दूसरे शब्दों में, यदि a को प्रतिस्थापित करने से शून्य मिलता है, तो (x – a) p(x) को समान रूप से विभाजित करता है। यह प्रमेय उच्च-घात वाले बहुपदों को गुणनखंडित करने की कुंजी है: अचर पद के छोटे पूर्णांक गुणनखंडों का परीक्षण तब तक करें जब तक आपको शून्य न मिल जाए, उसका उपयोग करके एक रैखिक गुणनखंड लिखें, फिर बहुपद को विभाजित करके घात कम करें। त्रिघातीय बहुपदों के लिए, एक शून्य खोजना समस्या को द्विघातीय गुणनखंडित करने में परिवर्तित करता है, जो मध्य पद को विभाजित करके या द्विघात सूत्र का उपयोग करके सीधा है (बाद के अध्यायों में कवर किया गया)।

शेषफल प्रमेय: p(x) को (x – a) से विभाजित करें → शेषफल = p(a)। लंबे विभाजन के बिना त्वरित जांच।
गुणनखंड प्रमेय: (x – a) p(x) का एक गुणनखंड है ⟺ p(a) = 0। शून्यों का परीक्षण करके गुणनखंड खोजने के लिए उपयोग करें।
त्रिघातीय को गुणनखंडित करने के लिए: एक शून्य c खोजें, गुणनखंड (x – c) लिखें, p(x) को (x – c) से विभाजित करके एक द्विघातीय प्राप्त करें, फिर द्विघातीय को गुणनखंडित करें।
शून्यों के लिए उम्मीदवारों का परीक्षण करें: अचर पद के गुणनखंड। p(x) = x³ – 6x² + 11x – 6 के लिए, ±1, ±2, ±3, ±6 का परीक्षण करें।
एक बार जब आपके पास सभी गुणनखंड हों, p(x) को गुणनफल के रूप में लिखें: p(x) = a(x – r₁)(x – r₂)..., जहाँ r₁, r₂,... शून्य हैं।

द्विघातीय और त्रिघातीय बहुपदों के लिए गुणनखंडन तकनीकें

गुणनखंडन बहुपदों को सरल गुणनखंडों के गुणनफल में परिवर्तित करता है, जिससे समीकरणों को हल करना आसान हो जाता है। द्विघातीय बहुपदों ax² + bx + c के लिए, प्राथमिक विधि मध्य पद को विभाजित करना है: ऐसे दो संख्याएँ खोजें जो b तक जोड़ी हों और ac को गुणा करें, फिर bx को उनके योग के रूप में पुनः लिखें, और समूहन द्वारा गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, 6x² + 17x + 5 को गुणनखंडित करें। आपको ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जो 17 तक जोड़ी हों और 30 (6×5) को गुणा करें। ये 2 और 15 हैं। पुनः लिखें: 6x² + 2x + 15x + 5 = 2x(3x + 1) + 5(3x + 1) = (3x + 1)(2x + 5)। त्रिघातीय बहुपदों के लिए, गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करें: छोटे पूर्णांकों (अचर पद के गुणनखंडों) का परीक्षण तब तक करें जब तक आपको शून्य न मिल जाए। एक बार जब आपके पास एक गुणनखंड (x – c) हो, तो बहुपद विभाजन करके एक द्विघातीय प्राप्त करें, फिर द्विघातीय को गुणनखंडित करें। यह चरण-दर-चरण न्यूनीकरण त्रिघातीय समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है। यदि कोई परिमेय शून्य मौजूद नहीं है, तो बहुपद अभाज्य हो सकता है या कक्षा 9 से परे उन्नत तकनीकों की आवश्यकता हो सकती है। हमेशा अपने गुणनखंडन की जांच करें गुणनफल को विस्तृत करके यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह मूल बहुपद के बराबर है।

द्विघातीय (ax² + bx + c): मध्य पद को दो भागों में विभाजित करें जो b तक जोड़ते हैं और ac को गुणा करते हैं, फिर समूहन और गुणनखंड करें।
त्रिघातीय: गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके एक शून्य खोजें, गुणनखंड (x – शून्य) लिखें, द्विघातीय प्राप्त करने के लिए विभाजित करें, द्विघातीय को गुणनखंडित करें।
उम्मीदवारों का परीक्षण करें: ±(अचर पद के गुणनखंड)/(प्रमुख गुणांक के गुणनखंड)। एकपदी त्रिघातीय (प्रमुख गुणांक 1) के लिए, अचर के गुणनखंडों का परीक्षण करें।
बहुपद विभाजन: c को शून्य की पुष्टि करने के बाद p(x) को (x – c) से विभाजित करने के लिए लंबे विभाजन या संश्लेषित विभाजन का उपयोग करें।
अपने काम की जांच करें: गुणनखंडों को विस्तृत करें यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपको मूल बहुपद मिल रहा है।

रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपदों के शून्य ढूँढना

एक बहुपद p(x) का शून्य समीकरण p(x) = 0 का समाधान है। एक रैखिक बहुपद ax + b (a ≠ 0) के लिए, बिल्कुल एक शून्य है: x = –b/a। x को अलग करके हल करें। द्विघात बहुपदों ax² + bx + c के लिए, बहुपद को शून्य के बराबर सेट करें और गुणनखंड करें (या बाद के अध्यायों में द्विघात सूत्र का उपयोग करें)। एक द्विघात में 0, 1, या 2 वास्तविक शून्य हो सकते हैं, यह विविक्तकर Δ = b² – 4ac पर निर्भर करता है (धनात्मक → 2 शून्य, शून्य → 1 शून्य, ऋणात्मक → 0 वास्तविक शून्य)। त्रिघात बहुपदों के लिए, 1, 2, या 3 वास्तविक शून्य हो सकते हैं। पहला शून्य ढूँढने के लिए गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करें, (x – शून्य) को बाहर निकालें, फिर परिणामी द्विघात को हल करें। बीजगणित का मौलिक प्रमेय गारंटी देता है कि एक डिग्री-n बहुपद के बिल्कुल n मूल हैं (बहुलता और जटिल मूल गिनते हुए), लेकिन कक्षा 9 में हम वास्तविक शून्य पर ध्यान केंद्रित करते हैं। याद रखें: शून्यों की संख्या अधिकतम डिग्री के बराबर है। ज्यामितीय रूप से, शून्य x-अक्ष अंतःखंड हैं जहाँ बहुपद वक्र x-अक्ष को पार करता है या स्पर्श करता है।

रैखिक p(x)=ax+b: शून्य x = –b/a है। एक शून्य हमेशा मौजूद है।
द्विघात p(x)=ax²+bx+c: शून्य के बराबर सेट करें, गुणनखंड करें, हल करें। अधिकतम 2 वास्तविक शून्य।
त्रिघात p(x)=ax³+bx²+cx+d: परीक्षण करके एक शून्य ढूँढें, गुणनखंड करें, द्विघात हल करें। अधिकतम 3 वास्तविक शून्य।
ज्यामितीय अर्थ: शून्य x-निर्देशांक हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
बहुलता: अगर (x–c)² एक गुणनखंड है, तो c एक दोहराया गया शून्य है; ग्राफ c पर x-अक्ष को स्पर्श करता है लेकिन पार नहीं करता।

सर्वसमिकाओं के लिए स्मृति तरकीबें और स्मरण विधियाँ

सात बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को याद रखना स्मरण विधियों और पैटर्न के साथ आसान है। सर्वसमिका I के लिए, (x+y)², याद रखें 'वर्ग-क्रॉस-वर्ग': पहले पद को वर्ग करें x², क्रॉस-पद 2xy, दूसरे को वर्ग करें y²। सर्वसमिका II के लिए, (x–y)², मध्य पद ऋणात्मक है: x² – 2xy + y²। सर्वसमिका III, x²–y², जप करें 'वर्गों का अंतर योग गुना अंतर के बराबर है'। सर्वसमिका IV के लिए, (x+y+z)², तीन वर्गों (x², y², z²) जमा तीन क्रॉस-पदों (2xy, 2yz, 2zx) को देखें। सर्वसमिका V के लिए, (x+y)³, x³ + y³ + 3xy(x+y) के रूप में विस्तारित करें, या याद रखें 'घन-घन-3-क्रॉस-योग'। सर्वसमिका VI घटाव के साथ समान है। सर्वसमिका VII सममित है: x³+y³+z³–3xyz नीरंतर गुणनखंडित होता है जब चरों का योग एक गुणनखंड होता है। प्रत्येक सर्वसमिका को पाँच बार लिखने का अभ्यास करें, फिर दाईं ओर को ढँककर विस्तार लिखकर अपने आप को परीक्षण करें। फ्लैशकार्ड या Leitner सिस्टम का उपयोग करें। परीक्षा के दिन, सबसे पहले अपनी उत्तर पत्रक के किनारे सभी सात सर्वसमिकाएँ लिखें—यह मानसिक संकेत परीक्षा के बीच रिक्तता को रोकता है।

(x+y)²: पहले को वर्ग करें, क्रॉस को दोगुना करें, दूसरे को वर्ग करें → x² + 2xy + y²।
(x–y)²: ऊपर जैसे ही पर मध्य पद ऋणात्मक → x² – 2xy + y²।
x²–y²: वर्गों का अंतर → (x+y)(x–y)। तात्क्षणिक गुणनखंड।
(x+y+z)²: तीन वर्ग जमा तीन दोहरे क्रॉस-पद → x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx।
(x+y)³: x³ + y³ + 3xy(x+y) या x³+3x²y+3xy²+y³ तक विस्तारित करें।
(x–y)³: x³ – y³ – 3xy(x–y) या x³–3x²y+3xy²–y³।
x³+y³+z³–3xyz: (x+y+z)(x²+y²+z²–xy–yz–zx) के रूप में गुणनखंड करें।

सामान्य गलतियाँ, चिन्ह की त्रुटियाँ, और संकेतन की समस्याएँ

छात्र अक्सर बहुपद समस्याओं में बचने योग्य त्रुटियाँ करते हैं। एक उत्कृष्ट गलती (x+y)² में मध्य पद भूलना है: x²+y² लिखना x²+2xy+y² के बजाय। एक अन्य (x–y)² को x²–y² से भ्रमित करना है; पहला x²–2xy+y² तक विस्तारित होता है, दूसरा (x+y)(x–y) में गुणनखंडित होता है। चिन्ह की त्रुटियाँ प्रचुर हैं: जब p(x) में ऋणात्मक मान प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमेशा कोष्ठक का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, अगर x=–2, तो x³=(–2)³=–8, 8 नहीं। गुणनखंडन में, छात्र कभी-कभी मध्य पद को गलत तरीके से विभाजित करते हैं या मूल बहुपद को गुणनफल सत्यापित करना भूल जाते हैं। गुणनखंड प्रमेय लागू करते समय, p(a) को सावधानीपूर्वक परीक्षण करें—यहाँ अंकगणितीय स्लिप पूरे समाधान को अमान्य कर देता है। संकेतन त्रुटियों में x^2 को x² के बजाय हाथ से लिखित कार्य में लिखना शामिल है, या 2x(3x+1) में गुणन चिन्ह को हटाना, जिससे अस्पष्टता होती है। प्रतिस्थापन द्वारा अपने अंतिम उत्तर को हमेशा दोहरी जाँच करें: अगर आप दावा करते हैं कि (x–1) एक गुणनखंड है, तो सत्यापित करें p(1)=0। साफ़-सुथरा लिखें, उदारतापूर्वक कोष्ठक का उपयोग करें, और सभी चरण दिखाएँ—आंशिक अंक स्पष्ट कार्य पर निर्भर करते हैं।

(x+y)² में 2xy पद न भूलें; x²+y² गलत है, x²+2xy+y² सही है।
(x–y)² ≠ x²–y²। पहला x²–2xy+y² है, दूसरा (x+y)(x–y) है।
ऋणात्मक प्रतिस्थापनों के लिए कोष्ठक का उपयोग करें: p(–2) का अर्थ है x को (–2) से बदलें, –2 नहीं।
अपने गुणनखंड को विस्तारित करके जाँचें: (x+3)(x–2) को x²+x–6 के बराबर होना चाहिए, कुछ और नहीं।
शून्य परीक्षण करते समय, p(a) को सटीकता से गणना करें; यहाँ अंकगणितीय त्रुटियाँ गुणनखंड प्रमेय तर्क को तोड़ती हैं।
घातांक स्पष्ट रूप से लिखें: परीक्षाओं में x² x^2 नहीं; अस्पष्ट संकेतन अंक खोता है।

मुख्य सूत्रों को लागू करने वाले हल किए गए लघु-उदाहरण

ठोस उदाहरणों के माध्यम से काम करना समझ को दृढ़ करता है। उदाहरण 1: सर्वसमिका I का उपयोग करके (3a+4b)² विस्तारित करें। x=3a, y=4b मान लें। फिर (3a+4b)²=(3a)²+2(3a)(4b)+(4b)²=9a²+24ab+16b²। उदाहरण 2: सर्वसमिका III का उपयोग करके 25p²–49q² को गुणनखंडित करें। इसे (5p)²–(7q)² के रूप में पहचानें, इसलिए x²–y²=(x+y)(x–y) लागू करें: (5p+7q)(5p–7q)। उदाहरण 3: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके x⁴–3x²+2x–5 को (x–1) से विभाजित करने पर शेषफल ढूँढें। p(1)=1–3+2–5=–5 की गणना करें। शेषफल –5 है। उदाहरण 4: जाँचें कि क्या (x+2) p(x)=x³+3x²–4 का गुणनखंड है। p(–2)=(–2)³+3(–2)²–4=–8+12–4=0 की गणना करें। हाँ, (x+2) एक गुणनखंड है। उदाहरण 5: x³–6x²+11x–6 को गुणनखंडित करें। x=1 परीक्षण करें: p(1)=1–6+11–6=0, इसलिए (x–1) एक गुणनखंड है। विभाजित करें: (x³–6x²+11x–6)÷(x–1)=x²–5x+6=(x–2)(x–3)। पूर्ण गुणनखंड: (x–1)(x–2)(x–3)। ये उदाहरण कार्यप्रवाह को दर्शाते हैं: पैटर्न को पहचानें, सही सर्वसमिका या प्रमेय लागू करें, परिणाम को सत्यापित करें।

एक नज़र में अंतिम-मिनट पुनरावृत्ति बॉक्स

अपनी परीक्षा से पहले, इस सारांश बॉक्स को स्कैन करें। बहुपद: aₙxⁿ+...+a₀, घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक। डिग्री: गैर-शून्य गुणांक वाली सर्वोच्च घात। शून्य: p(c)=0। रैखिक: ax+b, एक शून्य –b/a। द्विघात: ax²+bx+c, अधिकतम 2 शून्य। त्रिघात: ax³+bx²+cx+d, अधिकतम 3 शून्य। सर्वसमिका I: (x+y)²=x²+2xy+y²। सर्वसमिका II: (x–y)²=x²–2xy+y²। सर्वसमिका III: x²–y²=(x+y)(x–y)। सर्वसमिका IV: (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx। सर्वसमिका V: (x+y)³=x³+y³+3xy(x+y)। सर्वसमिका VI: (x–y)³=x³–y³–3xy(x–y)। सर्वसमिका VII: x³+y³+z³–3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²–xy–yz–zx)। शेषफल प्रमेय: p(x) को (x–a) से विभाजित करें, शेषफल=p(a)। गुणनखंड प्रमेय: (x–a) गुणनखंड ⟺ p(a)=0। द्विघात को मध्य पद विभाजित करके गुणनखंडित करें। त्रिघात को एक शून्य ढूँढकर, विभाजित करके, फिर द्विघात को गुणनखंडित करके गुणनखंडित करें। हमेशा प्रतिस्थापन या विस्तार द्वारा सत्यापित करें। ऋणात्मक संख्याओं के लिए कोष्ठक का उपयोग करें। परीक्षा में पहले चीज़ के रूप में सर्वसमिकाएँ मार्जिन में लिखें। पैटर्न पहचान का अभ्यास करें। शांत रहें, सभी चरण दिखाएँ, और अंकगणित को दोहरी जाँच करें। शुभकामनाएँ!

बहुपद: aₙxⁿ+...+a₀, n≥0, घातांक पूर्ण संख्याएँ।
डिग्री: गैर-शून्य गुणांक वाली सर्वोच्च घात।
शून्य: c जहाँ p(c)=0। रैखिक→1 शून्य, द्विघात→≤2, त्रिघात→≤3।
सर्वसमिका I: (x+y)²=x²+2xy+y²। सर्वसमिका II: (x–y)²=x²–2xy+y²।
सर्वसमिका III: x²–y²=(x+y)(x–y)। सर्वसमिका IV: (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx।
सर्वसमिका V: (x+y)³=x³+y³+3xy(x+y)। सर्वसमिका VI: (x–y)³=x³–y³–3xy(x–y)।
सर्वसमिका VII: x³+y³+z³–3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²–xy–yz–zx)।
शेषफल प्रमेय: p(x)÷(x–a) शेषफल=p(a)। गुणनखंड प्रमेय: (x–a) गुणनखंड ⟺ p(a)=0।

CBSETUTOR.ai आपको बहुपद में महारत हासिल करने में कैसे मदद करता है

बहुपद (Polynomials) बीजगणित, निर्देशांक ज्यामिति और उच्च कक्षाओं में कलन का आधार बनाते हैं। बहुत सारे छात्र गुणनखंडन, परीक्षा के समय सर्वसमिकाएं याद रखने, या यह समझने में संघर्ष करते हैं कि कौन सी प्रमेय लागू करनी है। CBSETUTOR.ai एक 24×7 AI शिक्षक प्रदान करता है जो आपको किसी भी बहुपद समस्या की फोटो अपलोड करने देता है—चाहे वह एक घन को गुणनखंडित करना हो, (a+b+c)² को विस्तारित करना हो, या किसी गुणनखंड को सत्यापित करना हो—और कुछ ही सेकंड में व्याख्या के साथ चरण-दर-चरण समाधान प्राप्त करें। यह मंच कक्षा 9 गणित के लिए प्रत्येक NCERT अभ्यास, अतिरिक्त अभ्यास समस्याएं और पिछले वर्षों के बोर्ड प्रश्नों को कवर करता है। आप परीक्षा से पहले सुबह 2 बजे संदेह स्पष्ट कर सकते हैं, जितनी आवश्यकता हो उतनी समस्याओं का अभ्यास कर सकते हैं, और अध्याय-दर-अध्याय अपनी प्रगति ट्रैक कर सकते हैं। ₹999 प्रति माह की एक सपाट फीस सभी विषयों और कक्षाओं (6-12) को अनलॉक करती है, साथ ही एक 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण ताकि आप बिना जोखिम के अंतर का अनुभव कर सकें। एक ट्यूटर का इंतजार करने या समाधान पुस्तकों में से शिकार करने के बजाय, आपको कभी भी तुरंत और सटीक मदद मिलती है। CBSE के हजारों छात्र पूरे भारत में CBSETUTOR.ai का उपयोग आत्मविश्वास बढ़ाने और समय बचाने के लिए करते हैं—आज ही कोशिश करें और अपने बहुपद कौशल को आसमान छूते हुए देखें।

किसी भी बहुपद प्रश्न को फोटो के माध्यम से अपलोड करें और तुरंत चरण-दर-चरण समाधान प्राप्त करें।
अध्याय 2 बहुपद के लिए सभी NCERT अभ्यास, उदाहरण और अतिरिक्त अभ्यास को कवर करता है।
24×7 उपलब्धता—स्कूल परीक्षाओं से पहले रात को देर से या सुबह जल्दी संदेह स्पष्ट करें।
सभी विषयों, सभी कक्षाओं (6-12) के लिए एक कीमत ₹999/माह। कोई छिपी हुई फीस नहीं।
3-दिन का निःशुल्क परीक्षण—शून्य जोखिम के साथ AI-संचालित ट्यूटोरिंग का अनुभव करें।
अध्याय-वार प्रगति ट्रैक करें और किसी भी समय हल की गई समस्याओं को फिर से देखें।
मेट्रो और टियर-2 शहरों में CBSE छात्रों द्वारा तेजी से, विश्वसनीय होमवर्क और परीक्षा की तैयारी के लिए विश्वसनीय है।

Frequently asked questions

बहुपद और बीजीय व्यंजक में क्या अंतर है?+

बहुपद एक विशेष बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक केवल अऋणात्मक पूर्ण संख्याएं होती हैं और सभी गुणांक वास्तविक होते हैं। उदाहरण के लिए, 3x²+2x–1 एक बहुपद है, लेकिन x+1/x या √x नहीं हैं क्योंकि इनमें ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांक हैं।

परीक्षा के लिए सभी सात बीजीय सर्वसमिकाएं कैसे याद रखूं?+

प्रतिदिन प्रत्येक सर्वसमिका को पांच बार लिखें और स्मरणीय शब्द का प्रयोग करें: (x+y)² को 'वर्ग-गुणनफल-वर्ग' कहें, (x²–y²) को 'योग गुणा अंतर' कहें। परीक्षा के दिन सबसे पहले सभी सात को मार्जिन में लिख दें—इसमें 30 सेकंड लगते हैं और परीक्षा के बीच में रिक्त स्थान छोड़ने से बचाता है।

गुणनखंड प्रमेय क्या है और मुझे इसका प्रयोग कब करना चाहिए?+

गुणनखंड प्रमेय कहता है कि (x–a), p(x) का गुणनखंड है यदि और केवल यदि p(a)=0 है। इसका प्रयोग यह जांचने के लिए करें कि कोई मान शून्य है या नहीं, या घन बहुपद के गुणनखंड छोटे पूर्णांकों का परीक्षण करके खोजें। यह अनुमान को व्यवस्थित खोज में बदल देता है।

मैं एक घन बहुपद को चरणबद्ध तरीके से कैसे गुणनखंडित करूं?+

पहले, अचर पद के गुणनखंड का परीक्षण करके एक शून्य खोजें। एक बार जब आपके पास शून्य c है, तो (x–c) को एक गुणनखंड के रूप में लिखें। लंबी भाग या संश्लेषण विभाजन का उपयोग करके घन को (x–c) से विभाजित करें ताकि द्विघात मिले। मध्य पद को विभाजित करके द्विघात को गुणनखंडित करें। सभी गुणनखंडों को जोड़ें।

(x+y)² बराबर x²+y² क्यों नहीं है?+

क्योंकि द्विपद का वर्ग करने का मतलब (x+y)(x+y) को गुणा करना है, जो x²+xy+yx+y²=x²+2xy+y² देता है। पदों का गुणनफल 2xy आवश्यक है। इसे भूलना कक्षा 9 की बहुपद समस्याओं में सबसे आम गलती है।

क्या एक द्विघात बहुपद के दो से अधिक शून्य हो सकते हैं?+

नहीं। डिग्री n के बहुपद के अधिकतम n शून्य होते हैं। एक द्विघात (डिग्री 2) के पास 0, 1, या 2 वास्तविक शून्य हो सकते हैं, लेकिन कभी 3 या उससे अधिक नहीं। यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा गारंटीकृत है।

यदि मैं अचर पद के सभी गुणनखंडों का परीक्षण करूं और कोई भी p(a)=0 नहीं देता है?+

तब बहुपद के कोई परिमेय शून्य नहीं हैं। यह अभाज्य हो सकता है (पूर्णांकों पर गुणनखंडित नहीं हो सकता) या इसके शून्य अपरिमेय या सम्मिश्र हो सकते हैं। CBSE कक्षा 9 के लिए, परीक्षा प्रश्न इस तरह से डिज़ाइन किए गए हैं कि कम से कम एक परिमेय शून्य मौजूद है।

परीक्षा में समय बचाने के लिए मैं शेषफल प्रमेय का प्रयोग कैसे करूं?+

लंबे विभाजन के बजाय, बस बहुपद में मान को प्रतिस्थापित करें। यदि p(x) को (x–3) से विभाजित कर रहे हैं, तो बस p(3) की गणना करें। उत्तर शेषफल है। यह 10 सेकंड में होता है बनाम 2 मिनट की भाग—परीक्षा में बहुत समय बचता है।

शून्य बहुपद की घात क्या होती है?+

शून्य बहुपद (0 स्वयं) की कोई परिभाषित घात नहीं होती। हर दूसरा अचर बहुपद जैसे 5 की घात 0 होती है, लेकिन शून्य बहुपद एक विशेष मामला है क्योंकि यह सभी घातों के लिए 0x⁰=0x¹=0x²=... के बराबर होता है।

CBSETUTOR.ai बहुपद की समस्याओं में कैसे मदद करता है?+

किसी भी बहुपद प्रश्न की फ़ोटो अपलोड करें और तुरंत चरण-दर-चरण समाधान 24×7 पाएँ। यह सभी NCERT अभ्यास, प्रैक्टिस समस्याएँ और बोर्ड प्रश्नों को कवर करता है - ₹999/माह में (सभी विषय, कक्षा 6-12)। 3-दिन की मुफ्त ट्रायल शुरू करें और तुरंत परिणाम देखें।

Related resources

Important Questions: CBSE Class 9 Mathematics Chapter 2 Polynomials Class 9 Mathematics Chapter 2 Polynomials — Formulas & Key Points CBSE Class 9 Mathematics Chapter 2 Polynomials Worksheet with Answers NCERT Solutions for CBSE Class 9 Mathematics Chapter 2: Polynomials CBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 Number Systems — Notes CBSE Class 9 Mathematics — Number Systems: complete chapter guide NCERT Solutions for Class 9 Mathematics Chapter 1: Number Systems – Complete Guide Class 9 Mathematics Chapter 3 Coordinate Geometry — Formulas & Key Points

Keep learning — related guides

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8 Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions: mind map & revision

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics — Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions: complete chapter guide

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8 Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions — Notes

Class 9Mathematics

NCERT Solutions for CBSE Class 9 Mathematics Chapter 8: Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics — The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability: complete chapter guide

Class 9Mathematics

CBSE Class 9 Mathematics Chapter 7 The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability — Notes

Ready to give your Class 9 child the tutor that never sleeps?

CBSETUTOR.ai covers every chapter in the Class 9 NCERT syllabus — Maths, Science, Social Science, English, Hindi and more. 24×7. Patient. Unlimited. 3-day free trial.

Start your child's 3-day free trial →