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CBSE Class 9 Mathematics Chapter 2 रैखिक बहुपद परिचय वर्कशीट उत्तर सहित

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रैखिक बहुपद सबसे सरल बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जहाँ चर की घात 1 होती है। NCERT Class 9 Mathematics के Chapter 2 में छात्रों को चर, अचर, गुणांक और यह जानकारी दी जाती है कि ये कैसे मिलकर रैखिक बहुपद बनाते हैं। यह वर्कशीट शून्य ढूंढने, सरल रेखाएं खींचने, ढाल और y-अंतःखंड पहचानने, और वास्तविक दुनिया की परिस्थितियों जैसे लागत, ऊंचाई और वृद्धि के पैटर्न में रैखिक मॉडल लागू करने की आपकी समझ को परखती है। इस पत्र को प्रिंट करें, सभी भागों का प्रयास करें, और अंत में दी गई विस्तृत कुंजी से अपने उत्तर जाँचें।

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Key takeaways

✓रैखिक बहुपद की घात 1 होती है और सामान्य रूप ax + b होता है, जहाँ a ≠ 0; शून्य ax + b = 0 को हल करके ज्ञात किया जाता है, जिससे x = −b/a मिलता है।
✓रैखिक बहुपद में चर का गुणांक वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में ढाल या परिवर्तन की स्थिर दर को दर्शाता है।
✓रैखिक वृद्धि का अर्थ है नियमित अंतराल पर एक निश्चित राशि जोड़ना; रैखिक ह्रास का अर्थ है नियमित अंतराल पर एक निश्चित राशि घटाना।
✓रैखिक संबंध y = ax + b में, 'a' ढाल (परिवर्तन की दर) है और 'b' y-अंतःखंड है (जब x = 0 हो तो मान)।
✓एक ही ढाल वाले दो रैखिक ग्राफ समांतर होते हैं; अगर उनकी ढाल अलग हो, तो वे ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
✓वास्तविक दुनिया की समस्याएं—दूरसंचार बिल, पानी का निकालना, पौधों की वृद्धि—रैखिक बहुपद का उपयोग करके मॉडल बनाई जाती हैं और शून्य ढूंढकर या व्यंजकों का मूल्यांकन करके हल की जाती हैं।
✓रैखिक बहुपद को ग्राफ करने के लिए केवल दो बिंदु प्लॉट करने और उनके बीच एक सीधी रेखा खींचने की जरूरत होती है; धनात्मक ढाल ऊपर की ओर झुकी होती है, ऋणात्मक ढाल नीचे की ओर झुकी होती है।

त्वरित अध्याय पुनरावृत्ति: रैखिक बहुपद का परिचय

अध्याय 2 चर, अचर और गुणांक का परिचय देकर बीजगणितीय कौशल की नींव बनाता है। एक रैखिक बहुपद का रूप ax + b है जहाँ a शून्य नहीं है, जिससे चर की उच्चतम घात 1 के बराबर होती है। अध्याय बहुपद के शून्यक को समझने पर जोर देता है—चर का वह मान जो बहुपद को शून्य के बराबर करता है। रैखिक बहुपद ax + b के लिए, शून्यक x = −b/a है। विद्यार्थी बीजगणितीय व्यंजक और बहुपद के बीच अंतर करना, घात के आधार पर बहुपद को वर्गीकृत करना, और रैखिक, द्विघात और त्रिघात रूपों को पहचानना भी सीखते हैं। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में रैखिक वृद्धि (स्थिर जोड़) और रैखिक ह्रास (स्थिर घटाव) शामिल हैं, जैसे टैंक से पानी निकलना या फोन की कीमत हर साल घटना। अध्याय रैखिक संबंध y = ax + b को ग्राफ करने के साथ समाप्त होता है, जहाँ 'a' ढाल को और 'b' y-अंतःखंड को दर्शाता है। इन अवधारणाओं को समझने से विद्यार्थी बीजगणितीय सोच का उपयोग करके रोजमर्रा की समस्याओं को मॉडल और हल कर सकते हैं। प्रमुख NCERT उदाहरणों में राजू की कलमें और पेंसिलें की व्यंजना, बेला की जेब खर्च खत्म होना, और दूरसंचार बिलिंग संरचनाएँ शामिल हैं। रैखिक बहुपदों में महारत अगले अध्यायों में रैखिक समीकरणों और प्रणालियों को हल करने का मंच तैयार करती है।

रैखिक बहुपद का सामान्य रूप: ax + b, जहाँ a ≠ 0
रैखिक बहुपद की घात सदैव 1 होती है
ax + b का शून्यक ax + b = 0 को हल करके पाया जाता है, जिससे x = −b/a मिलता है
रैखिक वृद्धि: स्थिर धनात्मक परिवर्तन; रैखिक ह्रास: स्थिर ऋणात्मक परिवर्तन
y = ax + b में, 'a' ढाल है (परिवर्तन की दर), 'b' y-अंतःखंड है
रैखिक बहुपदों के ग्राफ सदैव सीधी रेखाएँ होती हैं

खंड A: बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

इस खंड में 6 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं जो रैखिक बहुपदों की परिभाषाओं, सूत्रों और गुणों की अवधारणात्मक स्पष्टता और तेज स्मरण को परखने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। प्रत्येक प्रश्न के चार विकल्प हैं; सही विकल्प चुनें। विषयों में रैखिक बहुपदों की पहचान, शून्यकों की गणना, ढाल और y-अंतःखंड को पहचानना, और रैखिक वृद्धि तथा ह्रास प्रतिरूपों को समझना शामिल है। ये MCQs CBSE बोर्ड के वस्तुनिष्ठ प्रश्नों की शैली को प्रतिबिंबित करते हैं और आंतरिक मूल्यांकन और प्रतिस्पर्धात्मक परीक्षाओं के लिए आत्मविश्वास बनाने में मदद करते हैं। सभी छह प्रश्नों का प्रयास करें, अपने उत्तरों को स्पष्टता से चिह्नित करें, और इस वर्कशीट के अंत में उत्तर कुंजी से सत्यापन करें। शब्दावली पर ध्यान दें—'गुणांक', 'अचर पद' और 'शून्यक' जैसे शब्दों का प्रयोग NCERT शब्दावली के अनुसार सटीक है। समय आवंटन: इस खंड के लिए लगभग 10 मिनट। याद रखें कि जब a शून्य नहीं है तो प्रत्येक रैखिक बहुपद ax + b का ठीक एक शून्यक होता है, और 5 या −7 जैसे अचर बहुपदों की घात 0 होती है और कोई शून्यक नहीं होता। इन सूक्ष्म अंतरों को समझने से आप बोर्ड परीक्षा और वर्ष भर की आंतरिक परीक्षाओं में सामान्य गलतियों से बचने में सक्षम होंगे।

Q1. निम्नलिखित में से कौन-सा एक रैखिक बहुपद है? (a) 5x² + 2, (b) 3x + 7, (c) 8, (d) x³ − 1
Q2. बहुपद 2x − 10 का शून्यक है: (a) 2, (b) 5, (c) −5, (d) 10
Q3. रैखिक संबंध y = 4x + 9 में, y-अंतःखंड है: (a) 4, (b) 9, (c) 0, (d) 13
Q4. यदि टैंक में पानी की ऊँचाई h(t) = 5 − 0.25t द्वारा दी गई है, तो कितने महीनों बाद टैंक खाली हो जाएगा? (a) 10, (b) 20, (c) 5, (d) 25
Q5. रेखा y = −3x + 2 द्वारा निरूपित की गई ढाल है: (a) 2, (b) −3, (c) 3, (d) −2
Q6. रैखिक बहुपदों के बारे में कौन-सा कथन सत्य है? (a) उनके सदैव दो शून्यक होते हैं, (b) उनके ग्राफ परवलय होते हैं, (c) उनकी घात 1 है, (d) उनके ऋणात्मक गुणांक नहीं हो सकते

खंड B: रिक्त स्थान भरें

रिक्त स्थानों को सही शब्द, संख्या या व्यंजना से भरें। यह खंड सीधे संदर्भों में मुख्य शब्दावली को याद करने और सूत्रों को लागू करने की आपकी क्षमता का मूल्यांकन करता है। प्रत्येक रिक्त स्थान एक सटीक अवधारणा का परीक्षण करता है: चर की परिभाषा, रैखिक बहुपद के शून्यक के लिए सूत्र, ढाल का अर्थ, घात के आधार पर बहुपद का वर्गीकरण, या एक वास्तविक दुनिया की स्थिति में y-अंतःखंड की व्याख्या। प्रत्येक वाक्य को सावधानीपूर्वक पढ़ें और सुनिश्चित करें कि आपका उत्तर व्याकरणीय और गणितीय रूप से उपयुक्त है। ये प्रश्न NCERT परिभाषाओं और पाठ्यपुस्तक में प्रयुक्त सटीक भाषा को सुदृढ़ करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद p(x) का शून्यक x का वह मान है जिसके लिए p(x) शून्य के बराबर होता है, केवल 'हल' नहीं। जहाँ आवश्यक हो वहाँ मानक गणितीय संकेतन का प्रयोग करें। समय आवंटन: इस खंड के लिए लगभग 8 मिनट। पूरा करने के बाद, अंत में दी गई उत्तर कुंजी से प्रत्येक उत्तर को सत्यापित करें। रिक्त स्थान भरने वाले प्रश्नों का लगातार अभ्यास परीक्षाओं में आपकी सटीकता को तेज करता है, जहाँ आंशिक अंक सटीक शब्दावली और कक्षा 9 गणित अध्याय 2 में सीखी गई अवधारणाओं के सही प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व पर निर्भर करते हैं।

Q7. घात 1 का बहुपद __________ बहुपद कहलाता है।
Q8. बहुपद ax + b का शून्यक सूत्र x = __________ द्वारा दिया जाता है।
Q9. व्यंजना 7y + 12 में, y का गुणांक __________ है और अचर पद __________ है।
Q10. यदि एक रैखिक संबंध का रूप y = mx + c है, तो m __________ को और c __________ को दर्शाता है।
Q11. प्रत्येक रैखिक बहुपद का ग्राफ एक __________ रेखा है।

खंड C: सत्य या असत्य

प्रत्येक कथन को सावधानीपूर्वक पढ़ें और सत्य या असत्य लिखें। ये पाँच कथन रैखिक बहुपदों, उनके गुणों, ग्राफिंग व्यवहार और वास्तविक दुनिया के मॉडलिंग से संबंधित सामान्य गलतफहमियों और गहरी समझ का परीक्षण करते हैं। कुछ कथन लापरवाही से पढ़ने वाले को फँसाने के लिए जानबूझकर शब्दांकित हैं, इसलिए उत्तर देने से पहले आलोचनात्मक रूप से सोचें। उदाहरण के लिए, 7 जैसे अचर बहुपद की घात 0 है, 1 नहीं, और इसका कोई शून्यक नहीं है—विद्यार्थी अक्सर इसे भ्रमित करते हैं। इसी तरह, समानांतर रेखाएँ एक ही ढाल साझा करती हैं लेकिन अलग-अलग y-अंतःखंड होते हैं; यदि ढाल और अंतःखंड दोनों समान हैं, तो रेखाएँ पूरी तरह से संपाती हैं। इन सूक्ष्मताओं को समझना CBSE बोर्ड परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है, जहाँ सत्य/असत्य या कथन-कारण प्रश्न अक्सर दिखाई देते हैं। समय आवंटन: इस खंड के लिए लगभग 7 मिनट। सत्य या असत्य चिह्नित करने के बाद, व्याख्या के लिए उत्तर कुंजी देखें। यदि आपने कोई उत्तर गलत चिह्नित किया है, तो अपनी NCERT पाठ्यपुस्तक या नोट्स के प्रासंगिक खंड को दोबारा देखें। ऐसे कथनों के साथ लगातार अभ्यास परीक्षा में आत्मविश्वास बनाता है और बेवकूफी भरी गलतियों को रोकता है। ये प्रश्न NCERT कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम के अनुरूप हैं और भारत के सभी CBSE स्कूलों में आंतरिक मूल्यांकन और बोर्ड पत्रों में अपेक्षित तर्क प्रणाली को प्रतिबिंबित करते हैं।

Q12. बहुपद 9 एक रैखिक बहुपद है।
Q13. प्रत्येक रैखिक बहुपद का ठीक एक शून्यक होता है।
Q14. यदि दो रैखिक ग्राफों की ढाल समान है लेकिन y-अंतःखंड अलग हैं, तो वे समानांतर हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।
Q15. बहुपद −4x + 20 का शून्यक x = −5 है।
Q16. एक रैखिक ह्रास मॉडल में, चर का गुणांक सदैव ऋणात्मक होता है।

खंड D: लघु उत्तरीय प्रश्न (प्रत्येक 2-3 अंक)

निम्नलिखित पाँच प्रश्नों का उत्तर 2-3 वाक्यों में दें या स्पष्ट कार्य दिखाएँ। प्रत्येक प्रश्न सूत्रों के अनुप्रयोग, शब्द समस्याओं की व्याख्या, और चरणबद्ध बीजगणितीय हेरफेर को परखने के लिए डिज़ाइन किया गया है। आप किसी दिए गए बहुपद का शून्यक खोजने के लिए, किसी विशेष बिंदु पर रैखिक व्यंजना का मान निर्धारित करने के लिए, किसी शब्द समस्या से एक रैखिक मॉडल स्थापित करने के लिए, या किसी समीकरण से ढाल और y-अंतःखंड की पहचान करने के लिए कहा जा सकता है। स्पष्टता से लिखें, सभी कार्य दिखाएँ, और अपने अंतिम उत्तर को बॉक्स करें या रेखांकित करें। अंक विधि के साथ-साथ सही उत्तर के लिए भी दिए जाते हैं, इसलिए यदि आप एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि करते हैं, तब भी स्पष्ट कार्य आपको आंशिक अंक अर्जित कर सकता है। समय आवंटन: इस खंड के लिए लगभग 25 मिनट। ये प्रश्न CBSE बोर्ड परीक्षा की लघु-उत्तर शैली को प्रतिबिंबित करते हैं और अध्याय 2 से NCERT उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं पर सीधे आधारित हैं। सांक्षिप्त, तार्किक कदम लिखने का अभ्यास करें: सूत्र बताएँ, मान प्रतिस्थापित करें, सरल करें, और निष्कर्ष निकालें। उदाहरण के लिए, यदि 6x − 18 का शून्यक खोजने के लिए कहा जाए, तो लिखें: '6x − 18 = 0 ⇒ 6x = 18 ⇒ x = 3'। वापस प्रतिस्थापित करके सत्यापन करें। यह आदत त्रुटियों को कम करता है और परीक्षा प्रदर्शन में सुधार करता है। किसी अवधारणा को संशोधित करने की आवश्यकता है तो इन प्रश्नों का प्रयास करने से पहले कक्षा 9 गणित समाधान और नोट्स का संदर्भ लें।

Q17. बहुपद 5x + 25 का शून्यक खोजें।
Q18. एक दूरसंचार योजना ₹150 का एक निश्चित शुल्क और प्रयुक्त डेटा के प्रति GB ₹8 चार्ज करती है। g GB डेटा प्रयोग करने के लिए कुल बिल को दर्शाने वाला रैखिक बहुपद लिखें।
Q19. यदि बहुपद p(x) = 3x − 12 है, तो p(5) खोजें।
Q20. मोमबत्ती की ऊँचाई h(t) = 20 − 2t cm द्वारा दी गई है, जहाँ t घंटों में समय है। कितने घंटों बाद मोमबत्ती पूरी तरह जल जाएगी?
Q21. रैखिक संबंध y = −7x + 14 की ढाल और y-अंतःखंड की पहचान करें।

खंड ई: लंबे उत्तर और उच्च-स्तरीय चिंतन प्रश्न (प्रत्येक 4-5 अंक)

इस खंड में तीन उच्च-स्तरीय चिंतन कौशल (HOTS) प्रश्न हैं जिनमें बहु-चरणीय तर्क, शब्द समस्याओं से समीकरण बनाना, ग्राफ बनाना, या रैखिक संबंधों की तुलना करना आवश्यक है। प्रत्येक प्रश्न 4-5 अंक का है और आपकी क्षमता का परीक्षण करता है कि आप अध्याय के विभिन्न भागों से अवधारणाओं को कैसे जोड़ते हैं। आपको दिए गए शर्तों से रैखिक बहुपद बनाना, अज्ञात के लिए हल करना, ग्राफ की व्याख्या करना, या ढलान-अवरोधन रूप y = ax + b को अपरिचित संदर्भों में लागू करना पड़ सकता है। सभी चरणों को स्पष्ट रूप से दिखाएं, जिसमें समीकरण बनाना, उन्हें हल करना और परिणाम की व्याख्या समस्या के संदर्भ में करना शामिल है। समय आवंटन: इस खंड के लिए लगभग 30 मिनट। ये प्रश्न CBSE बोर्ड परीक्षा की लंबे-उत्तर वाली समस्याओं जैसे हैं और सावधानीपूर्वक पढ़ने और आपके समाधान की तार्किक संरचना की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि दो डेटा बिंदुओं को देखते हुए दो राशियों के बीच संबंध खोजने के लिए कहा जाए, तो आप दो समकालीन समीकरण बनाएंगे और ढलान और अवरोधन के लिए हल करेंगे। हमेशा बताएं कि आपके चर क्या दर्शाते हैं, समीकरण स्पष्ट रूप से लिखें, और परिणाम की व्याख्या एक वाक्य में समाप्त करें। NCERT कक्षा 9 गणित ऐसे समस्या-समाधान कौशल पर जोर देता है, और CBSETUTOR.ai 24×7 AI-संचालित संदेह समाधान प्रदान करता है जहां छात्र ऐसे प्रश्नों की फ़ोटो अपलोड कर सकते हैं और कक्षा 6 से 12 के लिए सभी विषयों में तत्काल चरण-दर-चरण व्याख्याएं प्राप्त कर सकते हैं। केवल ₹999/माह में, 3-दिन का मुफ्त परीक्षण उपलब्ध है।

Q22. एक पौधा आज 1.5 फीट लंबा है और हर महीने 0.4 फीट की दर से बढ़ता है। (i) t महीने के बाद इसकी ऊंचाई दर्शाने वाला रैखिक बहुपद h(t) लिखें। (ii) 6 महीने के बाद इसकी ऊंचाई ज्ञात करें। (iii) कितने महीने बाद यह 5.5 फीट तक पहुंचेगा?
Q23. एक मोबाइल फोन की कीमत ₹12,000 है और हर साल ₹1,000 से कम होती है। (i) t साल के बाद इसके मूल्य के लिए रैखिक बहुपद v(t) लिखें। (ii) 4 साल के बाद इसका मूल्य ज्ञात करें। (iii) इसका मूल्य कब ₹6,000 होगा?
Q24. दो मित्र एक ही बिंदु से चलना शुरू करते हैं। मित्र A की दूरी d₁ = 5t + 10 km द्वारा दी जाती है, और मित्र B की दूरी d₂ = 3t + 20 km है, जहां t घंटों में समय है। (i) ज्ञात करें कि वे शुरुआत से एक ही दूरी पर कब होंगे। (ii) वह दूरी क्या है?

खंड एफ: केस स्टडी प्रश्न (4 अंक)

निम्नलिखित वास्तविक दुनिया के परिदृश्य को ध्यान से पढ़ें और उसके बाद के उप-प्रश्नों के उत्तर दें। केस स्टडीज गणित को दैनिक संदर्भों के साथ जोड़ते हैं और आपकी क्षमता का परीक्षण करते हैं कि आप डेटा कैसे निकालते हैं, समीकरण कैसे बनाते हैं, और परिणामों की व्याख्या कैसे करते हैं। यह प्रारूप CBSE बोर्ड परीक्षाओं और आंतरिक मूल्यांकनों में तेजी से लोकप्रिय हो रहा है। नीचे दिया गया परिदृश्य एक जल टैंक, रैखिक क्षय, और शून्य गणना को शामिल करता है। आप रैखिक बहुपद, शून्य, और परिवर्तन की दर की अवधारणाओं को लागू करके चार उप-भागों के उत्तर देंगे, प्रत्येक 1 अंक का है। गणनात्मक प्रश्नों के लिए कार्य दिखाएं और जहां आवश्यक हो वहां छोटी व्याख्याएं लिखें। समय आवंटन: इस खंड के लिए लगभग 10 मिनट। केस स्टडीज आलोचनात्मक सोच विकसित करती हैं और दिखाती हैं कि कक्षा 9 गणित कक्षा के बाहर कैसे प्रासंगिक है। वे आपको गणितीय संदर्भ में पठन समझ का अभ्यास करने में भी मदद करते हैं—एक आवश्यक कौशल प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं और उच्च शिक्षा के लिए। प्रयास के बाद, इस वर्कशीट के अंत में दिए गए विस्तृत उत्तर कुंजी के साथ प्रत्येक उप-प्रश्न को क्रॉस-चेक करें ताकि सुनिश्चित हो सकें कि आपने डेटा की सही व्याख्या की है और सही सूत्र लागू किए हैं। CBSETUTOR.ai ऐसे एकीकृत प्रश्नों में छात्रों की मदद करता है व्यक्तिगत AI ट्यूटरिंग के माध्यम से ₹999/माह की निश्चित दर पर सभी कक्षाओं के लिए, जिससे प्रीमियम समर्थन प्रत्येक छात्र के लिए किफायती हो जाता है।

उत्तर कुंजी: खंड ए (बहु-विकल्पीय प्रश्न)

नीचे प्रत्येक बहु-विकल्पीय प्रश्न के लिए संक्षिप्त व्याख्या के साथ सही उत्तर दिए गए हैं। अपनी प्रतिक्रियाओं को क्रॉस-चेक करें और प्रत्येक सही विकल्प के पीछे के तर्क को समझें। यदि आपने गलत उत्तर चुना है, तो अपनी NCERT पाठ्यपुस्तक या कक्षा 9 गणित नोट्स में संबंधित अवधारणा को दोबारा देखें। यह समझना कि अन्य विकल्प गलत क्यों हैं, सही उत्तर जानना जितना ही महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह पैटर्न-आधारित अनुमान को रोकता है और सच्ची वैचारिक स्पष्टता बनाता है। उदाहरण के लिए, Q1 में, विकल्प (a) द्विघात है (घात 2), विकल्प (c) एक स्थिर बहुपद है (घात 0), और विकल्प (d) घन है (घात 3); केवल विकल्प (b) की घात 1 है, जो इसे रैखिक बनाता है। इसी तरह, Q4 में, h(t) = 0 सेट करना और t के लिए हल करना वास्तविक दुनिया के संदर्भ में एक रैखिक बहुपद का शून्य खोजने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है। प्रत्येक व्याख्या NCERT शब्दावली को संदर्भित करती है ताकि भारत के सभी CBSE स्कूलों में उपयोग किए जाने वाले कक्षा 9 गणित पाठ्यक्रम के साथ संरेखित हो सके। ये व्याख्याएं बोर्ड परीक्षाओं और प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में अभिकथन-कारण और उद्देश्य-प्रकार के प्रश्नों के लिए भी आपको तैयार करती हैं।

A1. (b) 3x + 7. व्याख्या: एक रैखिक बहुपद की घात 1 है। यहां x की सर्वोच्च घात 1 है। विकल्प (a) द्विघात है, (c) स्थिर है, (d) घन है।
A2. (b) 5. व्याख्या: 2x − 10 = 0 सेट करें ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5। सत्यापन: 2(5) − 10 = 0।
A3. (b) 9. व्याख्या: y = 4x + 9 में, y-अवरोधन स्थिर पद है, जो 9 है। यह y का मान है जब x = 0 हो।
A4. (b) 20. व्याख्या: h(t) = 0 सेट करें ⇒ 5 − 0.25t = 0 ⇒ 0.25t = 5 ⇒ t = 5 ÷ 0.25 = 20 महीने।
A5. (b) −3. व्याख्या: y = −3x + 2 में, x का गुणांक −3 है, जो ढलान है।
A6. (c) उनकी घात 1 है। व्याख्या: परिभाषा के अनुसार, एक रैखिक बहुपद की घात 1 है। विकल्प (a) गलत है (केवल एक शून्य), (b) गलत है (ग्राफ सीधी रेखाएं हैं), (d) गलत है (गुणांक ऋणात्मक हो सकते हैं)।

उत्तर कुंजी: खंड बी, सी, डी, ई, और एफ विस्तृत समाधानों के साथ

यह खंड रिक्त स्थान भरने, सत्य/असत्य, लघु-उत्तर, लंबे-उत्तर HOTS, और केस-स्टडी प्रश्न के लिए पूर्ण उत्तर और चरण-दर-चरण समाधान प्रदान करता है। प्रत्येक उत्तर में सही प्रतिक्रिया, जहां लागू हो कार्य, और एक संक्षिप्त व्याख्या शामिल है जो NCERT अवधारणाओं से जुड़ी होती है। रिक्त स्थान भरने के लिए, सटीक शब्द या व्यंजक दिया जाता है। सत्य/असत्य के लिए, सही पसंद तर्क के साथ बताई जाती है। लघु-उत्तर प्रश्नों के लिए, पूर्ण कार्य दिखाया जाता है जहां संभव हो सत्यापन के साथ। लंबे-उत्तर प्रश्नों के लिए, बहु-चरणीय समाधान स्पष्ट रूप से दिए जाते हैं, यह दर्शाते हुए कि समीकरण कैसे सेट करें, उन्हें कैसे हल करें, और परिणामों की संदर्भ में व्याख्या कैसे करें। केस-स्टडी उत्तर दिखाते हैं कि परिदृश्य से डेटा कैसे निकालें और रैखिक बहुपद अवधारणाओं को व्यवस्थित रूप से लागू करें। इस कुंजी का उपयोग केवल अपने काम को चिन्हित करने के लिए नहीं, बल्कि गलतियों से सीखने और प्रत्येक समाधान के पीछे के तर्क को समझने के लिए करें। यदि आप कोई अवधारणा कठिन पाते हैं, तो संबंधित NCERT उदाहरण या अभ्यास समस्या को दोबारा देखें, और CBSETUTOR.ai का उपयोग करें व्यक्तिगत संदेह-समाधान और अभ्यास के लिए ₹999/माह में सभी कक्षाओं के लिए 3-दिन का मुफ्त परीक्षण के साथ। उत्तर कुंजियों की सुसंगत समीक्षा प्रतिधारण में सुधार करती है और CBSE बोर्ड परीक्षाओं और आंतरिक मूल्यांकनों के लिए आवश्यक समस्या-समाधान सहनशीलता बनाती है। पूरे शैक्षणिक वर्ष में।

A7. रैखिक
A8. −b/a
A9. 7; 12
A10. ढलान; y-अवरोधन
A11. सीधी
A12. असत्य। व्याख्या: बहुपद 9 एक स्थिर बहुपद है जिसकी घात 0 है, 1 नहीं।
A13. सत्य। व्याख्या: एक गैर-शून्य रैखिक बहुपद ax + b का ठीक एक शून्य है, x = −b/a।
A14. सत्य। व्याख्या: समान ढलान का अर्थ समांतर है; विभिन्न y-अवरोधन का अर्थ वे कभी नहीं मिलते।

कठिनाई स्तर, समय आवंटन, और तैयारी युक्तियां

यह वर्कशीट मध्यम से चुनौतीपूर्ण कठिनाई स्तर पर डिज़ाइन की गई है, उन छात्रों के लिए उपयुक्त जिन्होंने NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 2 की पाठ्यपुस्तक और अभ्यास समस्याओं को पूरा कर लिया है। यह सीधी याद (बहु-विकल्पीय प्रश्न, रिक्त स्थान भरना) को अनुप्रयोग-आधारित लघु उत्तर और उच्च-स्तरीय चिंतन प्रश्नों (HOTS) के साथ जोड़ता है जिनमें बहु-चरणीय तर्क और वास्तविक दुनिया की व्याख्या की आवश्यकता है। परीक्षा परिस्थितियों में समापन के लिए सुझाया गया कुल समय 90 मिनट है, हालांकि आप प्रारंभिक अभ्यास के दौरान अधिक समय ले सकते हैं। बहु-विकल्पीय प्रश्नों के लिए लगभग 10 मिनट, रिक्त स्थान भरने के लिए 8 मिनट, सत्य/असत्य के लिए 7 मिनट, लघु उत्तरों के लिए 25 मिनट, लंबे HOTS प्रश्नों के लिए 30 मिनट, और केस स्टडी के लिए 10 मिनट आवंटित करें। प्रभावी तरीके से तैयारी के लिए, पहले अध्याय 2 से सभी NCERT उदाहरण, समाधान की गई समस्याएं, और अभ्यास प्रश्नों को दोबारा देखें। उदाहरण 6, 7, 9, 10, और 11 पर विशेष ध्यान दें पाठ्यपुस्तक में, जो शून्य खोजने, रैखिक वृद्धि और क्षय, और डेटा से रैखिक संबंध बनाने को दर्शाते हैं। उत्तर कुंजी में दिखाए गए अनुसार स्पष्ट, चरण-दर-चरण समाधान लिखने का अभ्यास करें। यदि आप शब्द समस्याओं के साथ संघर्ष करते हैं, तो उन्हें भागों में तोड़ें: पहचानें कि क्या दिया गया है, क्या पूछा जाता है, बहुपद या समीकरण बनाएं, हल करें, और सत्यापित करें। समस्याओं की फ़ोटो अपलोड करके तत्काल संदेह-समाधान, व्यक्तिगत अभ्यास, और चरण-दर-चरण व्याख्या के लिए CBSETUTOR.ai का उपयोग करें—सब कुछ कक्षा 6-12 के लिए ₹999/माह में 3-दिन का मुफ्त परीक्षण के साथ। इस जैसी वर्कशीटों के साथ सुसंगत अभ्यास परीक्षा आत्मविश्वास बनाता है, गति में सुधार करता है, और सुनिश्चित करता है कि आप CBSE बोर्ड परीक्षाओं और आंतरिक मूल्यांकनों में किसी भी प्रश्न प्रारूप का सामना कर सकते हैं।

कठिनाई स्तर: मध्यम से चुनौतीपूर्ण
सुझाया गया समय: 90 मिनट (परीक्षा परिस्थितियों में)
खंड-वार समय: बहु-विकल्पीय प्रश्न—10 मिनट, रिक्त स्थान—8 मिनट, सत्य/असत्य—7 मिनट, लघु उत्तर—25 मिनट, लंबे HOTS—30 मिनट, केस स्टडी—10 मिनट
इस वर्कशीट का प्रयास करने से पहले NCERT उदाहरण 6, 7, 9, 10, 11 को दोबारा देखें
शब्द समस्याओं से रैखिक बहुपद बनाने और व्यंजन को शून्य के बराबर सेट करके शून्य खोजने का अभ्यास करें
हमेशा मूल व्यंजन या समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करके अपने अंतिम उत्तर को सत्यापित करें
ढलान और अवरोधन की दृश्य समझ के लिए ग्राफ पेपर का उपयोग करके रैखिक ग्राफ को स्केच करें

Frequently asked questions

एक रैखिक बहुपद क्या है और यह अन्य बहुपदों से कैसे अलग है?+

एक रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जिसका मतलब है कि चर की सर्वोच्च घात 1 है। इसका सामान्य रूप ax + b है जहाँ a ≠ 0। द्विघात बहुपदों की घात 2 होती है (जैसे x² + 5x + 6) और त्रिघात बहुपदों की घात 3 होती है (जैसे 2y³ + y − 1)। रैखिक बहुपद सरल रेखाएँ बनाते हैं; द्विघात बहुपद परवलय बनाते हैं।

मैं एक रैखिक बहुपद का शून्य कैसे ज्ञात करूँ?+

बहुपद को शून्य के बराबर रखें और चर को हल करें। ax + b के लिए, ax + b = 0 को हल करके x = −b/a प्राप्त करें। उदाहरण: 3x − 9 के लिए, 3x − 9 = 0 रखें, तो 3x = 9, x = 3। मूल्य रखकर जाँचें: 3(3) − 9 = 0। शून्य x = 3 है।

एक रैखिक बहुपद और एक रैखिक समीकरण में क्या अंतर है?+

एक रैखिक बहुपद एक व्यंजक है जैसे 2x + 10। एक रैखिक समीकरण तब बनता है जब आप उस व्यंजक को किसी संख्या के बराबर करते हैं, जैसे 2x + 10 = 64। समीकरण को हल करने से x का मान मिलता है जो कथन को सत्य बनाता है। बहुपद आधार खंड है; समीकरण हल करने के लिए कथन है।

एक रैखिक संबंध में ढलान और y-अंतःखंड का क्या अर्थ है?+

रैखिक संबंध y = ax + b में, 'a' ढलान है—x में प्रत्येक इकाई वृद्धि के लिए y के परिवर्तन की स्थिर दर। 'b' y-अंतःखंड है—y का मान जब x = 0, जहाँ ग्राफ y-अक्ष को काटता है। उदाहरण के लिए, y = 5x + 20 में, ढलान 5 है (y हर x इकाई में 5 बढ़ता है) और y-अंतःखंड 20 है।

मैं कैसे जान सकता हूँ कि कोई वास्तविक समस्या रैखिक वृद्धि है या रैखिक ह्रास?+

जाँचें कि क्या मात्रा नियमित अंतराल पर स्थिर राशि से बढ़ती या घटती है। यदि यह बढ़ता है, तो यह रैखिक वृद्धि है (धनात्मक ढलान)। यदि यह घटता है, तो यह रैखिक ह्रास है (ऋणात्मक ढलान)। उदाहरण: एक पौधा जो महीने में 0.5 फीट बढ़ता है, रैखिक वृद्धि है; पानी जो घंटे में 15 लीटर निकालता है, रैखिक ह्रास है।

क्या एक अचर बहुपद जैसे 7 का शून्य हो सकता है?+

नहीं। एक अचर बहुपद की घात 0 होती है और यह हमेशा समान मान रहता है, कभी शून्य नहीं (जब तक कि अचर स्वयं 0 न हो)। उदाहरण के लिए, p(x) = 7 का मतलब है p(x) हमेशा 7 है, चाहे x कुछ भी हो, इसलिए कोई x का मान नहीं है जो p(x) = 0 बनाए।

जब दो रैखिक ग्राफ समानांतर हों तो इसका क्या अर्थ है?+

दो रैखिक ग्राफ समानांतर होते हैं यदि उनके पास समान ढलान है लेकिन अलग-अलग y-अंतःखंड हैं। इसका मतलब है कि वे कभी नहीं मिलते। उदाहरण के लिए, y = 3x + 5 और y = 3x + 1 समानांतर हैं क्योंकि दोनों की ढलान 3 है। वे एक-दूसरे के बगल में बिना मिले चलते हैं।

एक रैखिक बहुपद को ग्राफ करने के लिए मुझे कितने बिंदुओं की आवश्यकता है?+

एक सीधी रेखा खींचने के लिए आपको कम से कम दो बिंदुओं की आवश्यकता है। एक सामान्य तरीका y-अंतःखंड (जब x = 0) और एक अन्य बिंदु (जैसे जब x = 1 या x = 2) खोजना है। इन दोनों बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर रखें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। यह रेखा दोनों दिशाओं में अनंत तक विस्तारित होती है।

NCERT कक्षा 9 गणित अध्याय 2 बोर्ड परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण क्यों है?+

अध्याय 2 रैखिक समीकरणों, निर्देशांक ज्यामिति और आगे के अध्यायों में ग्राफ़िंग की नींव तैयार करता है। CBSE बोर्ड परीक्षाओं में नियमित रूप से शून्य ज्ञात करने, शब्द समस्याओं से रैखिक मॉडल बनाने और ग्राफ़ बनाने पर प्रश्न आते हैं। रैखिक बहुपदों में महारत बीजगणित खंडों में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और कक्षा 10, 11 और 12 में उच्च गणित के लिए आवश्यक है।

CBSETUTOR.ai रैखिक बहुपदों का अभ्यास करने में कैसे मदद कर सकता है?+

CBSETUTOR.ai 24×7 AI-संचालित ट्यूटरिंग प्रदान करता है जहाँ आप वर्कशीट समस्याओं, NCERT अभ्यास या शब्द समस्याओं की तस्वीरें अपलोड कर सकते हैं और तत्काल चरण-दर-चरण समाधान प्राप्त कर सकते हैं। सभी कक्षाओं (6-12) और सभी विषयों के लिए मात्र ₹999/माह की दर से, 3-दिन की निःशुल्क परीक्षण के साथ, यह अध्याय 2 और उससे आगे के लिए व्यक्तिगत संदेह समाधान और असीमित अभ्यास प्राप्त करने का एक सस्ता तरीका है।

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