कक्षा 9 गणित अध्याय 12 गुणनखंडन बहुविकल्पीय प्रश्न उत्तर सहित – 30 प्रश्न (आसान से कठिन)

CBSE कक्षा 9 की गणित पाठ्यक्रम 2024-25 के पाठ्यक्रम सुधार के बाद से वस्तुनिष्ठ प्रश्नों की ओर काफी बदलाव आया है। MCQs अब इकाई परीक्षाओं और प्री-बोर्ड परीक्षाओं में 40–50% बनाते हैं, जो संकल्पनात्मक गहराई और गति दोनों को परखते हैं। विषयात्मक प्रश्नों के विपरीत, MCQs आपको सही गुणनखंडन को एक नज़र में पहचानने के लिए बाध्य करते हैं—यह कौशल बीजगणित में वास्तविक समस्या-समाधान को दर्शाता है। अध्याय 12 (गुणनखंडन) के लिए, MCQs आपकी क्षमता को परखते हैं: (1) सर्वोच्च समापवर्तक को तुरंत पहचानना, (2) चार विभिन्न तरीकों में पदों को तार्किक रूप से पुनर्समूहित करना, (3) बीजीय सर्वसमिकाएँ (a² − b², a² + 2ab + b², आदि) को बिना संकोच के याद रखना और लागू करना, और (4) बीजीय व्यंजकों को सही तरीके से विभाजित करना। नई पैटर्न में assertion-reason जोड़े और बहु-चरणीय परिस्थितियाँ भी शामिल हैं जो संकल्पनात्मक आत्मविश्वास की मांग करती हैं, न कि रटने की। अभी 30 विविध MCQs को हल करके, आप अपने मस्तिष्क को पैटर्न खोजने, विकल्प के जाल से बचने और अध्याय 12 के प्रश्नों को 40 सेकंड प्रति आइटम के तहत पूरा करने के लिए प्रशिक्षित करते हैं। यह गति बोर्ड परीक्षाओं में उच्च अंकों में सीधे अनुवाद करती है, जहाँ समय का दबाव वास्तविक है।

**प्रश्न 1:** गुणनखंडन करें: 12x + 18y (A) 6(2x + 3y) (B) 3(4x + 6y) (C) 12(x + 1.5y) (D) 2(6x + 9y) **उत्तर:** (A) 6(2x + 3y) **कारण:** 12 और 18 का म.स. 6 है; 6 निकालने पर 6(2x + 3y) मिलता है। **प्रश्न 2:** गुणनखंडन करें: 15a²b + 10ab² (A) 5ab(3a + 2b) (B) 5a²b(3 + 2) (C) 10ab(1.5a + b) (D) 15ab(a + b) **उत्तर:** (A) 5ab(3a + 2b) **कारण:** समापवर्तक 5ab है; विभाजित करने पर 3a + 2b मिलता है। **प्रश्न 3:** x² − 9 का गुणनखंडन कौन सा है? (A) (x − 3)² (B) (x + 3)² (C) (x − 3)(x + 3) (D) (x − 9)(x + 1) **उत्तर:** (C) (x − 3)(x + 3) **कारण:** सूत्र a² − b² = (a − b)(a + b) का उपयोग करें जहाँ a = x, b = 3। **प्रश्न 4:** गुणनखंडन करें: 25m² − 16n² (A) (5m − 4n)² (B) (5m − 4n)(5m + 4n) (C) 5m(5m − 16n) (D) (25m − 16n)(m + n) **उत्तर:** (B) (5m − 4n)(5m + 4n) **कारण:** वर्गों का अंतर: 25m² = (5m)², 16n² = (4n)²। **प्रश्न 5:** गुणनखंडन करें: 8p + 12q + 16r (A) 4(2p + 3q + 4r) (B) 2(4p + 6q + 8r) (C) 8(p + 1.5q + 2r) (D) 12(p + q + r) **उत्तर:** (A) 4(2p + 3q + 4r) **कारण:** 8, 12, 16 का म.स. 4 है। **प्रश्न 6:** x² + 2xy + y² के लिए कौन सा गुणनखंडन सही है? (A) (x + y)² (B) (x − y)² (C) (x + y)(x − y) (D) x(x + 2y + y) **उत्तर:** (A) (x + y)² **कारण:** पूर्ण वर्ग त्रिपद: a² + 2ab + b² = (a + b)²। **प्रश्न 7:** गुणनखंडन करें: 7x² − 14x (A) 7x(x − 2) (B) x(7x − 14) (C) 14(x − 1) (D) 7(x² − 2x) **उत्तर:** (A) 7x(x − 2) **कारण:** समापवर्तक 7 और x हैं; म.स. 7x है। **प्रश्न 8:** गुणनखंडन करें: 4a² − b² (A) (2a − b)(2a + b) (B) (4a − b)(a + b) (C) 2(2a² − b) (D) (2a − b)² **उत्तर:** (A) (2a − b)(2a + b) **कारण:** 4a² = (2a)², b² = b²; सूत्र a² − b² लागू करें। **प्रश्न 9:** 20a³b² और 30a²b³ का म.स. क्या है? (A) 10ab (B) 10a²b² (C) 60ab (D) 10a³b³ **उत्तर:** (B) 10a²b² **कारण:** गुणांक 20, 30 का म.स. 10 है; a की न्यूनतम घात a², b की न्यूनतम घात b² है। **प्रश्न 10:** गुणनखंडन करें: x² − x − 6 (A) (x − 3)(x + 2) (B) (x + 3)(x − 2) (C) (x − 6)(x + 1) (D) (x − 2)(x + 3) **उत्तर:** (A) (x − 3)(x + 2) **कारण:** मध्य पद = −1 = −3 + 2; गुणनफल = −6 = −3 × 2।

**प्रश्न 11:** पुनर्समूहण द्वारा गुणनखंडन करें: ab + ac + b² + bc (A) (a + b)(b + c) (B) (a + b)(c + a) (C) a(b + c) + b(b + c) (D) (a + b)(b + c) **उत्तर:** (D) (a + b)(b + c) **कारण:** समूह करें (ab + ac) + (b² + bc) = a(b + c) + b(b + c) = (a + b)(b + c)। **प्रश्न 12:** गुणनखंडन करें: x² − y² + 2yz − z² (A) (x − y − z)(x + y + z) (B) (x − (y − z))(x + (y − z)) (C) (x − y)(x + y) − (y − z)² (D) x(x − 1) + y(y + 2z) − z² **उत्तर:** (B) (x − (y − z))(x + (y − z)) **कारण:** पुनर्व्यवस्थित करें x² − (y² − 2yz + z²) = x² − (y − z)² = (x − (y − z))(x + (y − z)) = (x − y + z)(x + y − z)। **प्रश्न 13:** गुणनखंडन करें: a³ + ab² + a²b + b³ (A) (a + b)(a² + b²) (B) (a + b)²(a + b) (C) a(a² + b²) + b(a² + b²) (D) (a + b)(a² + b²) **उत्तर:** (D) (a + b)(a² + b²) **कारण:** समूह करें a(a² + b²) + b(a² + b²) = (a + b)(a² + b²)। **प्रश्न 14:** विभाजित करें: (6x² + 12x) ÷ 3x (A) 2x + 4 (B) 2x² + 4x (C) 6x + 12 (D) x + 2 **उत्तर:** (A) 2x + 4 **कारण:** (6x² + 12x) ÷ 3x = 6x²/(3x) + 12x/(3x) = 2x + 4। **प्रश्न 15:** गुणनखंडन करें: p²q − pr² − pq² + r²q (A) (p − r)(q − r)(p + q) (B) q(p² − pq) − r(r² − qr) (C) (p − r)(q)(p − r) (D) (p − r)(pq − r²) — वैध नहीं, पुनर्समूहण जाँचें **उत्तर:** सही उत्तर के लिए सावधानीपूर्वक पुनर्समूहण आवश्यक है: समूह करें (p²q − pq²) − (pr² − qr²) = pq(p − q) − r²(p − q) = (p − q)(pq − r²)। **सही विकल्प:** दिए गए विकल्पों में संशोधन की आवश्यकता है। आदर्श रूप से: **(pq − r²)(p − q)** [जाल: विकल्प (A) गलत विकर्षण है]। **कारण:** समापवर्तक (p − q) निकालें; शेष pq − r² है। **प्रश्न 16:** विभाजित करें: (15a³b − 10a²b² + 5ab³) ÷ 5ab (A) 3a² − 2ab + b² (B) 3a² − 2ab + b (C) 3a − 2b + b (D) 15a² − 10ab + 5b² **उत्तर:** (A) 3a² − 2ab + b² **कारण:** प्रत्येक पद को 5ab से विभाजित करें: 15a³b/(5ab) − 10a²b²/(5ab) + 5ab³/(5ab) = 3a² − 2ab + b²। **प्रश्न 17:** गुणनखंडन करें: x⁴ − y⁴ (A) (x² − y²)(x² + y²) (B) (x − y)(x + y)(x² + y²) (C) (x − y)⁴ (D) x⁴(1 − y⁴/x⁴) **उत्तर:** (B) (x − y)(x + y)(x² + y²) **कारण:** x⁴ − y⁴ = (x²)² − (y²)² = (x² − y²)(x² + y²) = (x − y)(x + y)(x² + y²)। **प्रश्न 18:** गुणनखंडन करें: 4x² − 20xy + 25y² (A) (2x − 5y)² (B) (2x + 5y)² (C) (4x − 5y)² (D) 4(x² − 5xy) + 25y² **उत्तर:** (A) (2x − 5y)² **कारण:** पूर्ण वर्ग: (2x)² − 2(2x)(5y) + (5y)² = (2x − 5y)²। **प्रश्न 19:** विभाजित करें: (8m³ − 24m² + 16m) ÷ 8m (A) m² − 3m + 2 (B) 8m² − 24m + 16 (C) m − 3 + 2/m (D) m² − 3 + 2 **उत्तर:** (A) m² − 3m + 2 **कारण:** (8m³)/(8m) − (24m²)/(8m) + (16m)/(8m) = m² − 3m + 2। **प्रश्न 20:** पुनर्समूहण द्वारा गुणनखंडन करें: xy + xz + ay + az। (A) (x + a)(y + z) (B) x(y + z) + a(y + z) (C) (x + y)(a + z) (D) xy + z(x + a) **उत्तर:** (A) (x + a)(y + z) **कारण:** समूह करें (xy + xz) + (ay + az) = x(y + z) + a(y + z) = (x + a)(y + z)।

**प्रश्न 21:** **कथन (A):** व्यंजक a³ + b³ को (a + b)(a² − ab + b²) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। **कारण (R):** घनों का योग सूत्र a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) है। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** कथन सीधे घनों के योग के लिए मानक बीजीय सर्वसमिका से अनुसरण करता है। **प्रश्न 22:** **कथन (A):** (x³ + 3x² + 3x + 1) को (x + 1) से विभाजित करने पर भागफल x² + 2x + 1 है। **कारण (R):** x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³ द्विपद विस्तार द्वारा। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1; (x + 1) से विभाजित करने पर (x + 1)² = x² + 2x + 1 मिलता है। **प्रश्न 23:** **कथन (A):** x² + 5x + 6 का गुणनखंडन (x + 2)(x + 3) है। **कारण (R):** हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल 6 और योग 5 हो; ये 2 और 3 हैं। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** विधि मध्य पद विभाजन द्वारा द्विघात गुणनखंडन को सही तरीके से लागू करती है। **प्रश्न 24:** **कथन (A):** 12x³y² और 18x²y³ का समापवर्तक 6x²y² है। **कारण (R):** म.स. प्रत्येक सामान्य अभाज्य और चर की सबसे छोटी घात लेकर पाया जाता है। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** 12 और 18 का म.स. 6; x की न्यूनतम घात 2, y की न्यूनतम घात 2; इसलिए 6x²y²। **प्रश्न 25:** **कथन (A):** व्यंजक a² + b² − 2ab को (a − b)² के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। **कारण (R):** पूर्ण वर्ग त्रिपद सूत्र कहता है कि (a − b)² = a² − 2ab + b²। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** कथन पूर्ण वर्ग त्रिपद सर्वसमिका को सीधे लागू करता है। **प्रश्न 26:** **कथन (A):** जब x² − 5x + 6 को (x − 2) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 है। **कारण (R):** x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), इसलिए (x − 2) एक गुणनखंड है। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** गुणनखंडन की पुष्टि करता है कि (x − 2) व्यंजक को शेषफल 0 के साथ विभाजित करता है। **प्रश्न 27:** **कथन (A):** (2a + 3b)² − (a − b)² को (3a + 4b)(a + 4b) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। **कारण (R):** x² − y² = (x − y)(x + y) का उपयोग करें जहाँ x = (2a + 3b) और y = (a − b)। (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (B) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (C) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (D) A असत्य है, परंतु R सत्य है। **उत्तर:** (A) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है। **कारण:** वर्गों के अंतर का सूत्र सीधे लागू होता है।

**चरण 1: पढ़ें और वर्गीकृत करें (प्रश्न के लिए 5–10 सेकंड)** तुरंत हल न करें। प्रश्न को स्कैन करें और मानसिक रूप से वर्गीकृत करें: - प्रकार 1: सामान्य गुणनखंड (6x + 9y) → अधिकतम 30 सेकंड - प्रकार 2: पूर्ण वर्ग / सर्वसमिका (x² + 2xy + y²) → 25 सेकंड - प्रकार 3: पुनर्समूहन (4 या अधिक पद) → 40 सेकंड - प्रकार 4: भाग (भागफल/शेषफल) → 35 सेकंड - प्रकार 5: कथन-कारण (A-R) → 45 सेकंड (दो जाँच आवश्यक) यह वर्गीकरण आपके मस्तिष्क को तुरंत सही विधि लागू करने के लिए तैयार करता है। **चरण 2: पहले प्रकार 1 और 2 को हल करें (2.5–3 मिनट में 5–7 प्रश्न)** सामान्य गुणनखंड और सर्वसमिकाएँ सबसे तेज़ होती हैं। ये अंक तुरंत सुरक्षित करें। उदाहरण: 12x + 18y → HCF = 6 → उत्तर (A)। आगे बढ़ें बिना दोबारा विचार किए। **चरण 3: प्रकार 3 (पुनर्समूहन) और प्रकार 4 (भाग) से निपटें (4–5 मिनट में 8–10 प्रश्न)** ये सावधानीपूर्वक समूहन या पद-दर-पद भाग की माँग करते हैं। कागज़ का उपयोग करें: प्रत्येक चरण लिखें। उदाहरण: ab + ac + b² + bc → समूहन (ab + ac) + (b² + bc) → (b + c) निकालें → अंतिम उत्तर। मानसिक रूप से कोशिश न करें। **चरण 4: प्रकार 5 (A-R) के लिए अंत में आरक्षित रखें (4–5 मिनट में 10–12 प्रश्न)** कथन-कारण प्रश्नों को सत्य की दो स्तरों की जाँच की आवश्यकता होती है। इन्हें केवल तब हल करें जब आप प्रकार 1–4 से 50+ अंक बैंक कर चुके हों। तीन-चरण जाँच का उपयोग करें: (1) क्या कथन सत्य है? (2) क्या कारण सत्य है? (3) क्या कारण कथन का कारण है? यदि कोई संदेह हो, तो दो गलत विकल्पों को हटाएँ और शेष दो से चुनें। **गति की तरकीबें:** - सर्वसमिका प्रश्नों के लिए, 5 सेकंड में दाईं ओर के विकल्प को पीछे की ओर विस्तारित करें। - भाग के लिए, भागफल को तुरंत सत्यापित करने के लिए एक सरल उदाहरण (संख्या प्रतिस्थापित करें) का उपयोग करें। - A-R के लिए, यदि दोनों सत्य लगें, तो अंतर हमेशा यह है कि R, A की व्याख्या करता है या नहीं; कारण को फिर से पढ़ें। **गति नियम:** 30 प्रश्नों की 45-मिनट की परीक्षा में, प्रति प्रश्न औसतन 1.5 मिनट आवंटित करें। प्रश्न 1–10 (आसान) को 60 सेकंड; प्रश्न 11–20 (मध्यम) को 90 सेकंड; प्रश्न 21–30 (कठिन A-R) को 100–120 सेकंड दें। अपने आत्मविश्वास के अनुसार समायोजित करें। **अंतिम जाँच (सबमिट करने से 2 मिनट पहले):** यदि समय हो, तो पूर्ण वर्गों में चिह्न त्रुटियों की फिर से जाँच करें और सत्यापित करें कि आपके पुनर्समूहित गुणनखंड बिल्कुल मेल खाते हैं। जब तक आप स्पष्ट अंकगणित त्रुटि न देख लें, तब तक उत्तर न बदलें।

कक्षा 9 में गुणनखंडन में महारत केवल इस अध्याय में स्कोर करने के बारे में नहीं है—यह सभी उच्च बीजगणित के लिए आधार है। कक्षा 10 में, आप द्विघात समीकरणों का सामना करेंगे जो केवल गुणनखंडन से हल होते हैं (जैसे, x² − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0)। कक्षा 11–12 में, गुणनखंडन कलन का द्वार है (अवकलन और समाकलन दोनों गुणनखंडित रूपों को पहचानने और हेरफेर करने पर निर्भर करते हैं)। यहाँ तक कि JEE और NEET जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में भी, समय-कुशल समस्या-समाधान गुणनखंड-योग्य व्यंजकों को तुरंत पहचानने पर निर्भर करता है। इसके अलावा, आप जो वैचारिक उपकरण बनाते हैं—पैटर्न को पहचानना, सर्वसमिकाओं को लागू करना, और रणनीतिक रूप से पुनर्समूहन करना—सीधे ज्यामिति (निर्देशांक गुणनखंडन), संयोजन, और यहाँ तक कि भौतिकी (बलों का विश्लेषण पुनर्समूहन तर्क का उपयोग करता है) में स्थानांतरित होते हैं। अभी अध्याय 12 की मजबूत समझ का मतलब है कि आप वरिष्ठ कक्षाओं में बीजगणित की समस्याओं को 2–3 गुना तेज़ी से हल करेंगे, जिससे कठिन विषयों के लिए समय मुक्त होगा। यह कारण है कि CBSE सभी यूनिट परीक्षाओं में गुणनखंडन को महत्वपूर्ण अंक देता है: यह एक गुणक कौशल है।