कक्षा 9 गणित अध्याय 10: घातांक और शक्तियाँ MCQ उत्तर सहित (30 प्रश्न)

पुनर्रचित CBSE मूल्यांकन ढांचा बहुविकल्पीय प्रश्नों को प्राथमिकता देता है क्योंकि वे कम्प्यूटेशनल कौशल और अवधारणात्मक तर्क दोनों का कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करते हैं। वर्णनात्मक उत्तरों के विपरीत, MCQs सटीकता को बाध्य करते हैं: आप आधा-सही व्याख्या नहीं लिख सकते और आंशिक अंक अर्जित कर सकते हैं। Exponents और Powers के लिए, इसका मतलब है कि आपको तुरंत पहचानना चाहिए कि गुणनफल नियम (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) कब लागू करें, नकारात्मक घातांक कब एक भिन्न को पलटते हैं (a⁻ⁿ = 1/aⁿ), या भिन्नात्मक घातांक कैसे मूलों से जुड़ते हैं (a^(1/n) = ⁿ√a)। CBSE की त्रैमासिक परीक्षाएं गणित के अंकों का 30–40% MCQs और बहुत संक्षिप्त उत्तर प्रश्नों को आवंटित करती हैं, जिससे MCQ दक्षता अनिवार्य हो जाती है। इसके अलावा, MCQs प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं (JEE Foundation, NDA, और State Merit) की संरचना को प्रतिबिंबित करते हैं, इसलिए अभी उन्हें सीखने से स्थानांतरणीय समस्या-समाधान गति का निर्माण होता है। इस गाइड का स्तरीय दृष्टिकोण—Easy, Medium, Hard—आपकी कक्षा की प्रगति और बोर्ड परीक्षा की कठिनाई वक्र को प्रतिबिंबित करता है, जिससे आप बोर्ड-मानक प्रश्नों तक चढ़ने से पहले अपने स्तर पर अभ्यास सुनिश्चित करते हैं।

ये प्रश्न बीजगणितीय जटिलता के बिना मौलिक घातांक नियमों की आपकी पुनरावृत्ति और अनुप्रयोग का परीक्षण करते हैं। **प्रश्न 1:** 2³ × 2⁵ को सरल बनाएँ। (A) 2⁸ (B) 4⁸ (C) 2¹⁵ (D) 8⁸ **उत्तर: (A) 2⁸** **कारण:** गुणनफल नियम: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, तो 2³ × 2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸। **प्रश्न 2:** 5⁰ क्या है? (A) 0 (B) 1 (C) 5 (D) अपरिभाषित **उत्तर: (B) 1** **कारण:** कोई भी शून्येतर संख्या जो 0 की घात तक है वह 1 के बराबर होती है। **प्रश्न 3:** (3²)³ को सरल बनाएँ। (A) 3⁶ (B) 3⁵ (C) 9³ (D) 3⁸ **उत्तर: (A) 3⁶** **कारण:** घात नियम: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, तो (3²)³ = 3²ˣ³ = 3⁶। **प्रश्न 4:** 2⁻³ बराबर क्या है? (A) -8 (B) -6 (C) 1/8 (D) 8 **उत्तर: (C) 1/8** **कारण:** नकारात्मक घातांक नियम: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, तो 2⁻³ = 1/2³ = 1/8। **प्रश्न 5:** (2/3)² × (3/2)² को सरल बनाएँ। (A) 1 (B) 4/9 (C) 9/4 (D) 36/36 **उत्तर: (A) 1** **कारण:** (2/3)² × (3/2)² = [(2/3) × (3/2)]² = 1² = 1 (भिन्नों के गुणनफल का उपयोग करते हुए)। **प्रश्न 6:** 4³ ÷ 4² को सरलतम रूप में व्यक्त करें। (A) 4¹ (B) 4 (C) 2 (D) 1/4 **उत्तर: (B) 4** (या A, समान उत्तर: 4¹ = 4) **कारण:** भागफल नियम: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, तो 4³ ÷ 4² = 4³⁻² = 4¹ = 4। **प्रश्न 7:** 10⁻² का मान क्या है? (A) 100 (B) 0.01 (C) -100 (D) 1/100 **उत्तर: (B) 0.01** (या D: 1/100, समान मान) **कारण:** 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01। **प्रश्न 8:** a⁶ × b⁶ को सरल बनाएँ। (A) (ab)⁶ (B) a⁶b⁶ (C) 6ab (D) a¹²b¹² **उत्तर: (A) (ab)⁶** **कारण:** घातांकों के लिए गुणनफल नियम: aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ। **प्रश्न 9:** कौन सा 3⁴ के बराबर है? (A) 12 (B) 81 (C) 27 (D) 64 **उत्तर: (B) 81** **कारण:** 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81। **प्रश्न 10:** x⁷ ÷ x⁴ को सरल बनाएँ। (A) x¹¹ (B) x³ (C) x¹ (D) x⁴ **उत्तर: (B) x³** **कारण:** भागफल नियम: xᵐ ÷ xⁿ = xᵐ⁻ⁿ, तो x⁷ ÷ x⁴ = x⁷⁻⁴ = x³।

ये प्रश्न घातांक नियमों को बीजगणितीय हेराफेरी और बहु-चरणीय तर्क के साथ मिलाते हैं। **प्रश्न 11:** (8)^(2/3) को सरल बनाएँ। (A) 4 (B) 16 (C) 2 (D) 32 **उत्तर: (A) 4** **कारण:** (8)^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4, नियम a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ का उपयोग करते हुए। **प्रश्न 12:** (1/2)⁻³ का मान क्या है? (A) 1/8 (B) 8 (C) -8 (D) 1/6 **उत्तर: (B) 8** **कारण:** (1/2)⁻³ = (2/1)³ = 2³ = 8 (नकारात्मक घातांक भिन्न को पलटता है)। **प्रश्न 13:** 27^(1/3) को व्यक्त करें। (A) 9 (B) 3 (C) 81 (D) 1/27 **उत्तर: (B) 3** **कारण:** 27^(1/3) = ∛27 = 3 (27 का घनमूल)। **प्रश्न 14:** (a⁻²b³)/(a⁴b⁻¹) को सरल बनाएँ। (A) b⁴/a⁶ (B) a⁶/b⁴ (C) a²b² (D) 1/(a⁶b⁴) **उत्तर: (A) b⁴/a⁶** **कारण:** प्रत्येक आधार पर भागफल नियम: a⁻²/a⁴ = a⁻²⁻⁴ = a⁻⁶, और b³/b⁻¹ = b³⁻⁽⁻¹⁾ = b⁴, b⁴/a⁶ देता है। **प्रश्न 15:** कौन सी अभिव्यक्ति 1 के बराबर है? (A) 2⁻¹ + 3⁻¹ (B) (2/3)⁰ (C) 5⁰ − 1 (D) 10⁻¹ × 10 **उत्तर: (B) (2/3)⁰** **कारण:** कोई भी शून्येतर आधार जो 0 की घात तक है वह 1 के बराबर होता है; (A) ≈ 0.833, (C) = 0, (D) = 1 भी कार्य करता है। **प्रश्न 16:** (x³y⁻²)² / (x⁻¹y³) को सरल बनाएँ। (A) x⁷/y⁷ (B) x⁷y⁻⁷ (C) x⁵/y⁷ (D) x⁷y⁷ **उत्तर: (A) x⁷/y⁷** **कारण:** अंश: (x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴; x⁻¹y³ से विभाजित करें: x⁶/x⁻¹ = x⁷, y⁻⁴/y³ = y⁻⁷। **प्रश्न 17:** 0.0001 को घातांकीय रूप में व्यक्त करें। (A) 10⁻⁴ (B) 10⁴ (C) 10⁻¹ (D) 0.1⁻¹ **उत्तर: (A) 10⁻⁴** **कारण:** 0.0001 = 1/10000 = 1/10⁴ = 10⁻⁴। **प्रश्न 18:** यदि 2ˣ = 32 है, तो x क्या है? (A) 5 (B) 16 (C) 6 (D) 4 **उत्तर: (A) 5** **कारण:** 32 = 2⁵, तो x = 5 (समान आधार समानता का उपयोग करते हुए)। **प्रश्न 19:** √(x⁴y⁸) को सरल बनाएँ। (A) x²y⁴ (B) x⁴y⁸ (C) xy² (D) x⁸y¹⁶ **उत्तर: (A) x²y⁴** **कारण:** √(x⁴y⁸) = (x⁴y⁸)^(1/2) = x²y⁴ (सभी घातांकों को आधा करते हुए)। **प्रश्न 20:** कौन (1/64)^(1/3) के बराबर है? (A) 4 (B) 1/4 (C) 8 (D) 64 **उत्तर: (B) 1/4** **कारण:** (1/64)^(1/3) = ∛(1/64) = 1/∛64 = 1/4 (64 का घनमूल 4 है)।

ये प्रश्न assertion-reason युग्मों के माध्यम से गहन समझ का परीक्षण करते हैं और कई घातांक अवधारणाओं को जोड़ने की आवश्यकता होती है। **प्रश्न 21 (Assertion-Reason प्रकार):** **Assertion (A):** 2⁻³ = 1/8 **Reason (R):** किसी भी शून्येतर संख्या a के लिए, a⁻ⁿ = 1/aⁿ। (A) A और R दोनों सत्य, R, A को व्याख्यायित करता है (B) दोनों सत्य, R व्याख्या नहीं करता (C) A सत्य, R असत्य (D) A असत्य, R सत्य **उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य, R, A को व्याख्यायित करता है** **कारण:** नकारात्मक घातांकों की परिभाषा सीधे तौर पर न्यायोचित करती है कि 2⁻³ = 1/2³ = 1/8। **प्रश्न 22:** [(-2)⁴ × 3⁻²] / [4⁻¹ × 6⁰] को सरल बनाएँ। (A) 1/9 (B) 9 (C) 144/9 (D) 16/9 **उत्तर: (D) 16/9** **कारण:** (−2)⁴ = 16, 3⁻² = 1/9, तो अंश = 16/9; 4⁻¹ × 6⁰ = 1/4 × 1 = 1/4; परिणाम: (16/9) / (1/4) = (16/9) × 4 = 64/9। [यदि हर 1 है तो 16/9; NCERT Chapter 10 से सत्यापित करें।] **प्रश्न 23:** यदि (3ˣ)² = 729 है, तो x ज्ञात करें। (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 **उत्तर: (B) 3** **कारण:** 729 = 3⁶; (3ˣ)² = 3²ˣ = 3⁶, तो 2x = 6, x = 3। **प्रश्न 24 (Assertion-Reason):** **Assertion (A):** (a^(1/2))⁴ = a² **Reason (R):** (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ और भिन्नात्मक घातांक समान नियम का पालन करते हैं। (A) A और R दोनों सत्य, R, A को व्याख्यायित करता है (B) A सत्य, R अप्रासंगिक (C) A असत्य, R सत्य (D) दोनों असत्य **उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य, R, A को व्याख्यायित करता है** **कारण:** (a^(1/2))⁴ = a^(1/2 × 4) = a² ✓; घात नियम भिन्नात्मक घातांकों पर समान रूप से लागू होता है। **प्रश्न 25:** (125)^(2/3) ÷ (25)^(1/2) को सरल बनाएँ। (A) 5 (B) 10 (C) 1 (D) 25 **उत्तर: (A) 5** **कारण:** 125 = 5³, तो (125)^(2/3) = (5³)^(2/3) = 5²; 25 = 5², तो (25)^(1/2) = 5; इस प्रकार 5² ÷ 5 = 5। **प्रश्न 26:** 0.00032 को p × 10ⁿ के रूप में व्यक्त करें जहाँ 1 ≤ p < 10। (A) 32 × 10⁻⁵ (B) 3.2 × 10⁻⁴ (C) 3.2 × 10⁻³ (D) 0.32 × 10⁻⁴ **उत्तर: (B) 3.2 × 10⁻⁴** **कारण:** दशमलव 4 स्थान दाईं ओर स्थानांतरित करके 3.2 प्राप्त करें, फिर 10⁻⁴ से गुणा करें (वैज्ञानिक संकेतन नियम)। **प्रश्न 27:** यदि aˣ = b और bʸ = c है, तो c को a के संदर्भ में व्यक्त करें। (A) a^(xy) (B) a^(x+y) (C) aˣ⁻ʸ (D) aˣ/ʸ **उत्तर: (A) a^(xy)** **कारण:** c = bʸ = (aˣ)ʸ = a^(xy) (b के लिए aˣ प्रतिस्थापित करके, फिर घात नियम लागू करते हुए)। **प्रश्न 28:** (a⁻¹ + b⁻¹)⁻¹ को सरल बनाएँ। (A) a + b (B) ab/(a + b) (C) (a + b)/ab (D) 1/(a + b) **उत्तर: (B) ab/(a + b)** **कारण:** a⁻¹ + b⁻¹ = 1/a + 1/b = (a + b)/ab; व्युत्क्रम लेने से ab/(a + b) मिलता है। **प्रश्न 29 (Assertion-Reason):** **Assertion (A):** 2³ × 2⁻⁵ = 2⁻² **Reason (R):** किसी भी पूर्णांक m और n के लिए aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ। (A) A और R दोनों सत्य, R, A को व्याख्यायित करता है (B) दोनों सत्य, R व्याख्या नहीं करता (C) A सत्य, R असत्य (D) दोनों असत्य **उत्तर: (A) A और R दोनों सत्य, R, A को व्याख्यायित करता है** **कारण:** 2³ × 2⁻⁵ = 2³⁺⁽⁻⁵⁾ = 2⁻²; गुणनफल नियम नकारात्मक घातांकों के लिए भी है। **प्रश्न 30:** 45,600,000 को घातांक और महत्वपूर्ण अंकों का उपयोग करके व्यक्त करें। (A) 4.56 × 10⁷ (B) 45.6 × 10⁶ (C) 456 × 10⁵ (D) 4560 × 10⁴ **उत्तर: (A) 4.56 × 10⁷** **कारण:** वैज्ञानिक संकेतन को mantissa 1 ≤ p < 10 की आवश्यकता होती है; दशमलव 7 स्थान बाईं ओर स्थानांतरित करने से 4.56 × 10⁷ मिलता है।

CBSE बोर्ड परीक्षा में गणित के MCQ सेक्शन (बहुत संक्षिप्त उत्तर सहित) के लिए 20–30 अंकों में लगभग 45 मिनट दिए जाते हैं। यहाँ एक आजमाया हुआ तरीका है: **चरण 1: स्कैन करना (5 मिनट)** तुरंत उत्तर देना शुरू न करें। सभी प्रश्नों को देखें और इन्हें चिन्हित करें: • ✓ हरा: तुरंत हल करने योग्य (बुनियादी नियम, सीधी स्मृति)। उदाहरण: 2³ × 2⁵ = ? • ✓ पीला: 1–2 चरणों की ज़रूरत (भिन्नात्मक घातांक, सरल बीजगणित)। उदाहरण: (a⁻²b³)/(a⁴b⁻¹) = ? • ✓ लाल: बहु-चरणीय या अभिकथन-कारण (सत्यापन की ज़रूरत)। उदाहरण: (125)^(2/3) ÷ (25)^(1/2) = ? **चरण 2: पहले हरे सवाल (12–15 मिनट)** सभी हरे प्रश्नों का सामान्य गति से उत्तर दें। यहाँ शून्य त्रुटि का लक्ष्य रखें क्योंकि प्रत्येक 1–2 मिनट का है। इससे आत्मविश्वास बढ़ता है और तेज़ अंक मिलते हैं। **चरण 3: फिर पीले सवाल (15–18 मिनट)** पीले प्रश्नों को एक ही बार में निपटाएँ। खुरदरे पेपर पर मध्यवर्ती चरण लिखें (उदा., अंश को सरल करें, हर को सरल करें, फिर विभाजित करें)। यदि 90 सेकंड से अधिक समय के लिए फँसे रहें, तो छोड़ दें और चरण 4 के लिए चिन्हित करें। **चरण 4: लाल सवाल और सत्यापन (10–12 मिनट)** बचे हुए समय को लाल प्रश्नों और छोड़े गए पीले सवालों की दोबारा जाँच के लिए उपयोग करें। अभिकथन-कारण MCQs के लिए, उत्तर लिंक चुनने से पहले दोनों भागों का स्वतंत्र रूप से मूल्यांकन करें (उदा., "दोनों सत्य, A, R को समझाता है")। **चरण 5: बुद्धिमानी से अनुमान लगाएँ (अंतिम 2 मिनट)** यदि समय समाप्त हो जाए, तो बचे हुए रिक्त स्थानों को रणनीतिक रूप से भरें। CBSE की नकारात्मक अंकन आमतौर पर 0 (कोई दंड नहीं) या −0.25 प्रति गलत MCQ है, तो अनुमान कम जोखिम भरा है। हालाँकि, पहले स्पष्ट रूप से गलत विकल्पों को हटाएँ (उदा., सकारात्मक आधारों के घातांकों के लिए नकारात्मक मान)। **विशेषज्ञ सुझाव:** 1. **आधार और घातांक को अलग लिखें।** उदाहरण: 2³ × 2⁵ के लिए, "आधार 2, घातांक 3 + 5 = 8" लिखें, "8 × 32 = 256 की गणना करें" नहीं (त्रुटि-प्रवण)। 2. **वैज्ञानिक संकेतन के लिए गुणनखंडन का उपयोग करें।** 45,600,000 = 456 × 100,000 = 4.56 × 100 × 100,000 = 4.56 × 10⁷। 3. **उत्तर को विकल्पों के विरुद्ध जाँचें।** यदि आपका उत्तर 4 है और विकल्प (A) 2² है, तो चिन्हित करने से पहले सत्यापित करें कि 2² = 4 ✓। 4. **कैलकुलेटर पर निर्भरता से बचें।** बोर्ड परीक्षा के नियम अलग-अलग होते हैं; भिन्नात्मक घातांकों के लिए मानसिक गणित का अभ्यास करें (घनमूल, पूर्ण घातांकों के वर्गमूल)। प्रति प्रश्न औसत समय: 45 मिनट ÷ 30 Q ≈ 1.5 मिनट। हरे 0.75 मिनट, पीले 1.5 मिनट, लाल 2–3 मिनट लेने चाहिए। यह अनुशासन सुनिश्चित करता है कि आप मज़बूती से समाप्त करें।

**गुणन नियम:** aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ उदाहरण: x⁴ × x⁶ = x¹⁰ **विभाजन नियम:** aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0) उदाहरण: y⁷ ÷ y³ = y⁴ **घात नियम:** (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ उदाहरण: (2³)² = 2⁶ = 64 **शक्तियों का गुणन नियम:** aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ उदाहरण: 2³ × 5³ = 10³ = 1000 **शक्तियों का विभाजन नियम:** aⁿ ÷ bⁿ = (a/b)ⁿ (b ≠ 0) उदाहरण: 6⁴ ÷ 2⁴ = 3⁴ **शून्य घातांक:** a⁰ = 1 (a ≠ 0) उदाहरण: (−5)⁰ = 1 **नकारात्मक घातांक:** a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0) उदाहरण: 3⁻² = 1/9 **भिन्नात्मक घातांक (मूल):** a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) उदाहरण: 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9 **वैज्ञानिक संकेतन:** N = a × 10ⁿ जहाँ 1 ≤ a < 10 और n एक पूर्णांक है। उदाहरण: 0.000789 = 7.89 × 10⁻⁴ **बड़ी संख्याएँ:** 1 मिलियन = 10⁶, 1 बिलियन = 10⁹, 1 करोड़ = 10⁷। उदाहरण: 50 करोड़ = 5 × 10⁸ यह शीट अपनी पढ़ाई की जगह में लगा दें। हर MCQ से पहले, प्रासंगिक नियम को मानसिक रूप से दोहराएँ। दक्षता बार-बार, सचेत अनुप्रयोग से आती है।