CBSE Class 9 Mathematics Chapter 1 अपने आप को दिशा देना: निर्देशांकों का उपयोग वर्कशीट उत्तर सहित

यह कार्यपत्रक मध्यम कठिनाई स्तर पर डिज़ाइन किया गया है, जो NCERT Class 9 गणित के अध्याय 1 के मानदंड के अनुरूप है। यह मानता है कि आपने अध्याय पढ़ा है और कार्तीय तल, क्रमित युग्म, चतुर्थांश और दूरी सूत्र की बुनियादी अवधारणाओं को समझा है। प्रश्न सरल स्मरण (बहुविकल्पीय और रिक्त स्थान) से लेकर अनुप्रयोग (लघु उत्तर) और उच्च-स्तरीय चिंतन (HOTS लंबे उत्तर और केस स्टडी) तक प्रगति करते हैं। इस कार्यपत्रक को पूरा करने के लिए कुल सुझाया गया समय परीक्षा जैसी परिस्थितियों में 60 मिनट है। अपने समय को इस प्रकार बाँटें: खंड A (बहुविकल्पीय) — 10 मिनट, खंड B (रिक्त स्थान) — 5 मिनट, खंड C (मिलान/सत्य-असत्य) — 5 मिनट, खंड D (लघु उत्तर) — 20 मिनट, खंड E (लंबे उत्तर) — 15 मिनट, केस स्टडी — 5 मिनट। यह गति 2025 CBSE बोर्ड परीक्षा पैटर्न को दर्शाती है जहाँ गति और सटीकता दोनों महत्वपूर्ण हैं। एक रूलर, पेंसिल और कैलकुलेटर पास रखें। सर्वोत्तम परिणामों के लिए इस कार्यपत्रक को A4 कागज़ पर प्रिंट करें, या इसे अपनी नोटबुक में हल करें, प्रश्न संख्याएँ स्पष्ट रूप से लिखते हुए। सभी खंडों को पूरा करने के बाद, अंत में दिई गई उत्तर कुंजी का उपयोग स्व-मूल्यांकन के लिए करें और अधिक अभ्यास की आवश्यकता वाले क्षेत्रों की पहचान करें।

इससे पहले कि आप कार्यपत्रक से निपटें, अध्याय 1 से इन मूल विचारों को ताज़ा करें। कार्तीय समन्वय प्रणाली को बीजगणित और ज्यामिति को मिलाने के लिए विकसित किया गया था। दो लंबवत संख्या रेखाएँ — x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) — मूल O(0,0) पर प्रतिच्छेद करती हैं। समतल में कोई भी बिंदु P एक क्रमित युग्म (x, y) द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है, जहाँ x, y-अक्ष से लंबवत दूरी है और y, x-अक्ष से लंबवत दूरी है। समतल चार चतुर्थांशों में विभाजित है: चतुर्थांश I (दोनों निर्देशांक धनात्मक), चतुर्थांश II (x ऋणात्मक, y धनात्मक), चतुर्थांश III (दोनों ऋणात्मक), चतुर्थांश IV (x धनात्मक, y ऋणात्मक)। अक्षों पर स्थित बिंदु स्वयं किसी भी चतुर्थांश से संबंधित नहीं हैं। एक बिंदु को आलेखित करने के लिए, पहले क्षैतिज रूप से, फिर ऊर्ध्वाधर रूप से चलें। एक ही क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा पर दो बिंदुओं के बीच दूरी परिवर्तनशील निर्देशांक का पूर्ण अंतर है। किन्हीं दो बिंदुओं A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) के लिए, दूरी AB सूत्र √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] द्वारा दी जाती है, जो बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय से निकला है। अक्षों के पार प्रतिबिंब एक निर्देशांक के चिह्न को बदलते हैं: y-अक्ष प्रतिबिंब x को −x में बदलता है; x-अक्ष प्रतिबिंब y को −y में बदलता है। तीन बिंदुओं की संरेखता की जाँच यह सत्यापित करके की जा सकती है कि क्या दो दूरियों का योग तीसरी के बराबर है। ये विचार उच्च कक्षाओं में सभी समन्वय ज्यामिति का आधार हैं, इसलिए अभी इनमें महारत हासिल करना आवश्यक है।

प्रत्येक प्रश्न के लिए सही विकल्प चुनें। प्रत्येक बहुविकल्पीय प्रश्न 1 अंक का है। अपनी उत्तर पत्रक में केवल विकल्प अक्षर (A/B/C/D) लिखें। ये प्रश्न स्मरण, अवधारणा स्पष्टता और समन्वय नियमों को जल्दी लागू करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं। प्रत्येक प्रश्न को सावधानीपूर्वक पढ़ें, स्पष्ट रूप से गलत विकल्पों को समाप्त करें और निर्देशांक और चतुर्थांशों के लिए चिह्न परंपराओं की दोबारा जाँच करें। याद रखें कि मूल (0,0) किसी भी चतुर्थांश में नहीं है, और अक्षों पर बिंदु भी किसी भी चतुर्थांश से संबंधित नहीं हैं। ऋणात्मक निर्देशांक चतुर्थांश II, III और IV में दिखाई देते हैं। दूरी सूत्र हमेशा एक गैर-ऋणात्मक परिणाम देता है क्योंकि वर्गों के योग का वर्गमूल होता है। 'कौन सा चतुर्थांश एक बिंदु को... के साथ नहीं रखता' या 'y-अक्ष पर एक बिंदु का x-निर्देशांक है...' जैसे धूर्त शब्दों से सावधान रहें।

प्रत्येक वाक्य को सही शब्द, संख्या या अभिव्यक्ति के साथ पूरा करें। प्रत्येक रिक्त स्थान 1 अंक का है। अपने उत्तर स्पष्ट रूप से लिखें। यह खंड सटीक शब्दावली और संख्यात्मक सटीकता का परीक्षण करता है। NCERT से सटीक शब्दों का उपयोग करें — उदाहरण के लिए, 'क्रमित युग्म' लिखें केवल 'युग्म' नहीं, और 'कार्तीय तल' लिखें 'समन्वय तल' नहीं। संख्यात्मक उत्तर भरते समय, यदि प्रश्न संदर्भ दूरी का अर्थ देता है तो इकाइयाँ शामिल करें (जैसे 'इकाई')। चिह्न पर ध्यान दें: यदि कोई निर्देशांक ऋणात्मक है, तो ऋण चिह्न शामिल करें। प्रयास करने से पहले मूल, अक्षों, चतुर्थांशों और दूरी सूत्र की परिभाषाओं की समीक्षा करें। वर्तनी और सटीक वाक्यांश महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से 'बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय' और 'संरेखित' जैसी शर्तों के लिए।

भाग 1 — निम्नलिखित को मिलाएँ: कॉलम A में प्रत्येक वस्तु को कॉलम B में सही वस्तु से मिलाएँ। अपनी उत्तर पत्रक में युग्म लिखें (उदा. 1–D, 2–A)। प्रत्येक सही मिलान 1 अंक का है। भाग 2 — सत्य या असत्य: प्रत्येक कथन को सावधानीपूर्वक पढ़ें। यदि कथन सत्य है तो T लिखें, यदि असत्य है तो F लिखें। प्रत्येक 1 अंक का है। असत्य कथनों के लिए, आपसे उत्तर कुंजी व्याख्या में उन्हें सही करने के लिए कहा जा सकता है। यह खंड समान-सुनने वाली अवधारणाओं के बीच अंतर करने की क्षमता का परीक्षण करता है (जैसे x-अक्ष बनाम y-अक्ष प्रतिबिंब, चतुर्थांश चिह्न)। निर्देशांक चिह्नों और परिभाषाओं के सटीक शब्दों की दोबारा जाँच करें। एक भी चिह्न त्रुटि कथन को असत्य बना देगी। याद रखें कि संरेखता और लंबवतता विभिन्न ज्यामितीय गुण हैं, और दूरी हमेशा गैर-ऋणात्मक है।

निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर 2–4 वाक्यों में दें या संक्षिप्त कार्य दिखाएं। प्रत्येक प्रश्न 2 या 3 अंकों का है जैसा कि दर्शाया गया है। अंक सही विधि, सही प्रतिस्थापन और सही अंतिम उत्तर के लिए दिए जाते हैं। भले ही आपका अंतिम उत्तर गलत हो, आप सही चरणों के लिए आंशिक अंक अर्जित कर सकते हैं, इसलिए हमेशा अपना कार्य दिखाएं। जहाँ आवश्यक हो दूरी सूत्र का उपयोग करें, और मान प्रतिस्थापित करने से पहले इसे लिखें। बिंदुओं को प्लॉट करते समय, दिशा को स्पष्ट रूप से वर्णित करें (जैसे '3 इकाई बाईं ओर, 2 इकाई ऊपर')। निर्देशांक की पहचान के लिए, चतुर्थांश बताएं और x और y के संकेतों से न्यायसंगत ठहराएं। उत्तरों को दो दशमलव स्थानों तक केवल तभी गोल करें जब प्रश्न में कहा गया हो; अन्यथा, यदि सटीक हो तो उत्तरों को surd (वर्गमूल) रूप में छोड़ दें। इकाइयों की जाँच करें: यदि प्रश्न में 'इकाई' का उल्लेख है, तो इसे अपने उत्तर में शामिल करें। ये प्रश्न CBSE बोर्ड परीक्षाओं में लघु-उत्तरीय खंड को प्रतिबिंबित करते हैं, इसलिए संक्षिप्त लेकिन पूर्ण रूप से लिखने का अभ्यास करें।

निम्नलिखित प्रश्नों का विस्तार से उत्तर दें, सभी कार्य और तर्क दिखाते हुए। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है। ये उच्च क्रम की चिंतन कौशल (HOTS) समस्याएं हैं जिनमें आपको कई अवधारणाओं को जोड़ना, गैर-नियमित परिस्थितियों में दूरी सूत्र लागू करना, निर्देशांकों का उपयोग करके ज्यामितीय गुणों को सत्यापित करना, या दूरी शर्तों के आधार पर अज्ञात निर्देशांकों को हल करना आवश्यक है। अंकों का वितरण इस प्रकार है: सही सूत्र/विधि के लिए 1 अंक, सही प्रतिस्थापन और बीजगणितीय हेराफेरी के लिए 2 अंक, सही अंकगणित के लिए 1 अंक, उचित निष्कर्ष या सत्यापन के साथ अंतिम उत्तर के लिए 1 अंक। हमेशा दी गई जानकारी को स्पष्ट रूप से लिखकर शुरुआत करें, कौन सा सूत्र या प्रमेय उपयोग कर रहे हैं यह बताएं, सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें (संकेतों पर ध्यान दें!), चरण-दर-चरण सरल करें, और अपने अंतिम उत्तर को बॉक्स करें या रेखांकित करें। यदि प्रश्न 'सत्यापित करें' या 'दिखाएं' माँगता है, तो आपको दिए गए परिणाम तक बिल्कुल पहुँचना चाहिए। यदि यह 'खोजें' माँगता है, तो पूरी तरह से हल करें और जहाँ संभव हो वापस प्रतिस्थापित करके अपने उत्तर की जाँच करें। ये प्रश्न परीक्षण करते हैं कि क्या आप निर्देशांकों को बीजगणित और ज्यामिति के बीच एक पुल के रूप में वास्तव में समझते हैं, केवल सूत्र रटने के बजाय।

निम्नलिखित केस स्टडी को ध्यान से पढ़ें और उत्तर दें। केस स्टडी अब CBSE बोर्ड परीक्षाओं में एक नियमित विशेषता है, जो वास्तविक परिस्थितियों में गणितीय अवधारणाओं को लागू करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करती है। सही व्याख्या, सूत्रों का सही उपयोग, और स्पष्ट तर्क के लिए अंक दिए जाते हैं। सभी कार्य दिखाएं, यहाँ तक कि 1 अंक वाले उप-भागों के लिए भी। नीचे दिया गया केस स्टडी शहर नियोजन और निर्देशांक ज्यामिति को शामिल करता है, जो अध्याय 1 में आपने सीखा है इसका एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है। केस को पढ़ते समय, दिए गए निर्देशांकों को रेखांकित करें या नोट करें, पहचानें कि क्या माँगा जा रहा है (दूरी, चतुर्थांश, संरेखता, आदि), और यदि यह आपको लेआउट को कल्पना करने में मदद करता है तो एक मोटा स्केच बनाएं। प्रत्येक उप-प्रश्न का उत्तर दिए गए क्रम में दें, क्योंकि कभी-कभी बाद के भाग पहले के उत्तरों पर निर्भर करते हैं।

यह इस कार्यपत्रक के सभी खंडों के लिए संपूर्ण उत्तर कुंजी है। प्रत्येक उत्तर में सही प्रतिक्रिया और एक संक्षिप्त व्याख्या या कार्य शामिल है। कार्यपत्रक को पूरा करने के बाद इस कुंजी का उपयोग अपने उत्तरों की जाँच करने के लिए करें। अपने आप को ईमानदारी से अंक दें: MCQ और रिक्त स्थान के लिए, यह या तो सही है या गलत है। लघु और दीर्घ उत्तरों के लिए, दी गई अंकन योजना का उपयोग करके आंशिक क्रेडिट दें यदि आपकी विधि सही थी लेकिन अंतिम उत्तर में एक छोटी त्रुटि थी। इस उत्तर कुंजी का उद्देश्य केवल यह नहीं है कि आपको सही उत्तर बताया जाए, बल्कि यह समझने में मदद करना है कि यह सही क्यों है और आप कहाँ गलत हुए होंगे। यदि आपने कुल मिलाकर 70 प्रतिशत से कम अंक प्राप्त किए, तो NCERT अध्याय को फिर से देखें, विशेष रूप से हल किए गए उदाहरणों को, और उन खंडों को फिर से हल करने का प्रयास करें जो आपको मुश्किल लगे। यदि आपने 85 प्रतिशत से अधिक अंक प्राप्त किए, तो आपको अध्याय 1 की अवधारणाओं की एक मजबूत समझ है। अतिरिक्त HOTS समस्याओं की खोज करने पर विचार करें या गहन अभ्यास के लिए संदर्भ पुस्तकों से अभ्यास आजमाएं। व्यक्तिगत संदेह-समाधान और फोटो अपलोड के साथ चरण-दर-चरण समाधान के लिए, CBSETUTOR.ai कक्षा 6-12 के सभी विषयों के लिए मात्र ₹999/माह पर 24×7 AI ट्यूटरिंग प्रदान करता है, शुरुआत करने के लिए 3-दिन का निःशुल्क परीक्षण दिया जाता है।